非線性四階Schr?dinger方程的守恒差分格式

李德生, 李 華

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

本文考慮非線性四階Schr?dinger方程的周期初邊值問(wèn)題:

其中:i2=-1,α,β,γ為常數(shù);u(x,t)為一光滑的復(fù)值函數(shù);u0(x)是已知的光滑函數(shù)。方程(1)滿足如下的電荷守恒律和能量守恒律:

非線性Schr?dinger方程的數(shù)值解法一直受到廣泛關(guān)注,并且已經(jīng)取得許多成果[1-8]。但是目前對(duì)于上述帶三次項(xiàng)的非線性四階Schr?dinger方程的數(shù)值研究還不多。文獻(xiàn)[9]結(jié)合分裂算法與多辛算法,構(gòu)造了該方程的一個(gè)分裂多辛格式;文獻(xiàn)[10]將辛歐拉方法與擬譜方法相結(jié)合,導(dǎo)出了一個(gè)多辛擬譜格式;文獻(xiàn)[11]構(gòu)造了一個(gè)非線性的二層守恒格式。本文將采用有限差分方法對(duì)方程(1)構(gòu)造一個(gè)線性守恒差分格式。

1 格式的構(gòu)造及相關(guān)引理

本文使用的記號(hào)如下:

現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題(1)～(4)構(gòu)建如下的差分格式:

下面,將給出本文中常用的引理。

引理1[12]周期邊界條件下,有以下恒等式成立:

(11)

‖u‖∞≤c1‖un‖+c2‖ux‖

引理3[14](離散Gronwall不等式)設(shè)w(k)和ρ(k)是非負(fù)網(wǎng)格函數(shù),若c>0,ρ(k)不減且

則對(duì)任何0≤k≤N成立ω(k)≤ρ(k)eckτ。

引理5[15]對(duì)[0,L]上任意一個(gè)網(wǎng)格函數(shù){uj},j=0,1,2,…,J成立不等式

2 差分格式的電荷守恒性及能量守恒性

定理1 差分格式(7)～(10)滿足如下守恒律

這是對(duì)(5)和(6)式的數(shù)值模擬。

證明 令式(7)與un+1+un-1作內(nèi)積并取虛部得

(14)

令式(7)與un+1-un-1作內(nèi)積并取實(shí)部得

令

遞推即得式(13)。在上述證明的計(jì)算中應(yīng)用了引理1 。

證明 由式(12),可知‖un‖≤C.再由式(13)可知

上述證明過(guò)程應(yīng)用了引理2,4,5。

3 差分格式的收斂性

定理3 設(shè)定解問(wèn)題(1)～(4)的解u(x,t)∈C4,3((xL,xR)×[0,T]),則差分格式(7)～(10)的解在平方模的意義下一下收斂于問(wèn)題(1)～(4)的解,且收斂階為O(τ2+h2)。

(16)

(21)

現(xiàn)估計(jì)式(21)左端最后一下和右端項(xiàng)。

P的表達(dá)式等價(jià)于

由此可得

代入式(21)整理可得

即

上式對(duì)n求和,可得

這里

‖en‖2≤C(‖e1‖2+‖e0‖2+‖Rn‖2)

(22)

e1可由其他二階方法求得,如文獻(xiàn)[11]]中的方法。綜上可知‖en‖2≤O(τ2+h2)。

類似的,可以證明該格式是穩(wěn)定的

4 數(shù)值結(jié)果

對(duì)方程(1)的周期初邊值問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),在方程(1)中取

α=1,β=-1,γ=1,u0(x)=x2(1-x)2,x∈[0,1],t∈[0,1]。

本文是三層格式,不是自啟動(dòng)的,需要用其他的同階格式算出u1(如文獻(xiàn)[11]中的格式),由于該方程的周期精確解未知,但是可以根據(jù)柯西準(zhǔn)則,來(lái)證明該格式的有效性。分別取h=0.1,h=0.2,時(shí)間步長(zhǎng)取定τ=0.05,可以求得2個(gè)數(shù)值解U1,U2,然后計(jì)算2個(gè)數(shù)值解在不同的時(shí)間層上的誤差,其誤差用‖‖∞估計(jì),得到表1。

表1 誤差估計(jì)Table 1 Error estimation

由表1可知,最大誤差不超過(guò)2.188 9e-04,遠(yuǎn)小于O(τ2+h2)。綜上,本文的差分格式是有效的。

5 結(jié) 論

利用有限差分法對(duì)非線性四階Schr?dinger方程構(gòu)建了一個(gè)三層的線性有限差分格式,與文獻(xiàn)[11]的非線性格式相比,在具有相同收斂階的前提下,大大減少了計(jì)算量,并且該格式依舊具有電荷守恒及能量守恒的性質(zhì),且該格式在一定條件下是穩(wěn)定的,數(shù)值例子證明了該格式是非常有效的。