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    基于Hanning Window 設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字高通濾波器*

    2020-06-08 10:09:26陳紹榮沈建國(guó)朱行濤
    通信技術(shù) 2020年5期
    關(guān)鍵詞:沖激響應(yīng)頻率特性傅里葉

    陳紹榮,徐 舜,沈建國(guó),朱行濤

    (陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校,重慶 400035)

    0 引 言

    一般有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器均要求設(shè)計(jì)成具有線性相位。國(guó)內(nèi)《數(shù)字信號(hào)處理》著作[1-3], 對(duì)四種線性相位濾波器的頻率特性,均是先研究有限長(zhǎng)對(duì)稱序列的z變換及其零極點(diǎn)分布,再研究有限長(zhǎng)對(duì)稱序列在單位圓周上的z變換具有的特征,即序列的傅里葉變換具有的特征,其過(guò)程十分冗長(zhǎng)?;谥鱗4],本文提出了一種研究線性相位FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的簡(jiǎn)潔方法,首先揭示了偶對(duì)稱和奇對(duì)稱的線性相位FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn),然后研究了矩形窗函數(shù)對(duì)線性相位理想數(shù)字低通濾波器幅頻特性的影響,最后介紹了利用Hanning Window 來(lái)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字高通濾波器的步驟及方法。

    1 線性相位FIR 數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)

    1.1 實(shí)序列的傅里葉變換具有的特征

    序列h(n)的傅里葉變換定義為:

    式(1)表明,一個(gè)序列h(n)的傅里葉變換H(ejω)是一個(gè)周期為2π的周期函數(shù)。通常將區(qū)間[-π,π] 稱為H(ejω)的主值區(qū)間。

    若序列h(n)為實(shí)序列,則有:

    考慮到式(2),由式(1)可得:

    式(3)表明,實(shí)序列的傅里葉變換具有的特征是:實(shí)序列的傅里葉變換的反褶與傅里葉變換取共軛等價(jià)。

    1.2 線性相位條件

    (1)偶對(duì)稱情況

    若FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)是n定義在0 ≤n≤N-1 的N點(diǎn)長(zhǎng)序列,并且滿足:

    由于h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2),…,因此,稱h(n)為偶對(duì)稱序列,并將n=(N-1)/2 稱為偶對(duì)稱軸。

    若h(n)是實(shí)序列,對(duì)式(4)兩邊取DTFT,并注意到式(3),則FIR數(shù)字濾波器的頻率特性可寫成:

    記:

    式中,Hg(ω)稱為幅度函數(shù),φ(ω)稱為相位函數(shù)。注意,這里的Hg(ω)是ω的實(shí)函數(shù),可為正值,也可為負(fù)值,即Hg(ω)=±|H(ejω)|。

    考慮到式(6),則式(5)可寫成:

    由式(7)可得:

    由式(8)可得線性相位函數(shù),即:

    將式(9)代入式(6),可得FIR數(shù)字濾波器的頻率特性,即:

    (2)奇對(duì)稱情況

    若FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)是n定義在0 ≤n≤N-1 的N點(diǎn)長(zhǎng)序列,并且滿足:

    由于h(0)=-h(N-1),h(1)=-h(N-2),…,因此,稱h(n)為奇對(duì)稱序列,并將n=(N-1)/2稱為奇對(duì)稱軸。

    若h(n)是實(shí)序列,對(duì)式(11)兩邊取DTFT,并注意到式(3),則FIR數(shù)字濾波器的頻率特性可寫成:

    記:

    考慮到式(13),則式(12)可寫成:

    由式(14)可得:

    由式(15)可得線性相位函數(shù),即:

    將式(16)代入式(13),可得FIR數(shù)字濾波器的頻率特性,即:

    1.3 偶對(duì)稱線性相位數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)

    考慮到式(10),則有:

    考慮到式(74)及式(75),并注意到WR(ω)為偶函數(shù),由式(77)可得:

    于是:

    由式(80)可知,所設(shè)計(jì)的線性相位FIR 數(shù)字高通濾波器滿足阻帶最小衰減指標(biāo)的要求。

    4 結(jié) 語(yǔ)

    本文提出了一種研究線性相位FIR 數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的簡(jiǎn)潔方法。首先揭示了偶對(duì)稱和奇對(duì)稱的線性相位FIR 數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn);然后研究了矩形窗函數(shù)對(duì)線性相位理想數(shù)字低通濾波器幅頻特性的影響,并得到了一些有益的結(jié)論;最后給出了基于Hanning Window 來(lái)設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字高通濾波器的實(shí)例。

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