求解三維邊坡安全系數(shù)的最小勢能法研究

孫加平，魏星，詹鳳程

求解三維邊坡安全系數(shù)的最小勢能法研究

孫加平，魏星，詹鳳程

(江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 能源工程學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337055)

為有效評價巖土體的穩(wěn)定性，運用最小勢能法進行三維邊坡的穩(wěn)定性分析。通過引入土彈簧模型、依據(jù)滑體整體靜力平衡方程，計算滑體系統(tǒng)的彈性壓縮勢能以及剪切勢能?；谖矬w在自重作用下沿斜面運動規(guī)律，確定微面下滑方向，將整個滑體的潛在運動方向視為微面滑動方向的矢量和。將邊坡的安全系數(shù)定義為沿著滑動方向得到的抗滑力與下滑力的比值。為驗證文中計算方法的合理性，計算了一個經(jīng)典算例的安全系數(shù)。研究結(jié)果表明：文中計算方法得到的解答與其他算法的相對誤差在10%范圍內(nèi)，表明文中計算方法可用于三維邊坡的穩(wěn)定性分析；隨著土體抗剪強度指標(biāo)的增大，邊坡的安全系數(shù)呈現(xiàn)線性增大的趨勢；當(dāng)三維滑體的橫向尺寸與縱向尺寸之比大于5時，可以將三維邊坡的穩(wěn)定性分析視為平面應(yīng)變問題處理。

邊坡；穩(wěn)定性；最小勢能法；下滑方向；安全系數(shù)

最小勢能法作為邊坡穩(wěn)定性分析的一種方式，該方法依據(jù)系統(tǒng)勢能最小時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，通過求解使得系統(tǒng)勢能處于最小狀態(tài)下的虛位移，最后通過力與虛位移之間的關(guān)系進行安全系數(shù)的計算[1?2]。總體而言，該方法具有無需劃分條塊、安全系數(shù)無需迭代等優(yōu)點，逐步被一些學(xué)者重 視[3?4]。目前，基于最小勢能原理的二維邊坡穩(wěn)定性分析方法的研究已經(jīng)趨于成熟[5?6]。因此，運用最小勢能法進行三維邊坡穩(wěn)定性的分析有助于該理論體系的完善[7]。將最小勢能法從二維擴展至三維，主要有以下2個問題需要解決：其一，系統(tǒng)勢能由彈性壓縮勢能、剪切勢能以及外力勢能組成，彈性勢能以及外力勢能容易獲得，而計算剪切勢能的焦點在于如何獲得滑面上的剪應(yīng)力；其二，一般而言，坡體的潛在滑動方向沿著滑裂面的切向。對于二維邊坡的分析，滑面上的一點的切向是確定的。然而，對于三維滑面，過滑面上任意一點的切向不具有唯一性。因此，如何確定三維滑體的運動方向是邊坡穩(wěn)定性分析的亟需解決的問題。針對上述問題，溫樹杰等[7?8]進行了初步的研究，通過取微單元體為研究對象，假設(shè)主滑面進行滑面上剪應(yīng)力的計算。同時，將坡體的潛在滑動方向視為使得系統(tǒng)勢能最小的虛位移方向。雖然得到了一些有益的結(jié)論，但對于滑面上剪應(yīng)力的計算過程較為復(fù)雜，且將潛在滑動方向視為虛位移方向值得商榷。因此，針對上述2個主要問題，本文在作者已有研究成果[9]的基礎(chǔ)上，將二維邊坡穩(wěn)定性分析方法擴展至三維。通過滑體整體沿著虛位移方向的靜力平衡方程確定滑面上的剪應(yīng)力，以此確定滑體系統(tǒng)儲存的剪切勢能。同時，依據(jù)運動學(xué)的觀點確定滑體微單元的潛在滑動方向，將滑體整體運動方向視為微單元滑動方向的矢量和。最后，把作用于滑體上的力沿著滑動方向投影分別得到抗滑力與下滑力，將二者的比值作為邊坡的安全系數(shù)。為了驗證本文計算方法的合理性，運用本文方法計算了一個經(jīng)典邊坡算例的安全系數(shù)，并將得到的安全系數(shù)與其余算法進行對比。同時，探究土體的抗剪強度指標(biāo)、滑裂面形狀對邊坡安全系數(shù)的影響規(guī)律。

1 穩(wěn)定性分析模型

1.1 構(gòu)建勢能函數(shù)

圖1 邊坡示意圖

根據(jù)假定(2)可得微面d法向由于彈性壓縮變形產(chǎn)生的法向力大小

式中：x為微面法向產(chǎn)生的彈性壓縮變形量，m。

則系統(tǒng)的彈性壓縮勢能U為

為了計算系統(tǒng)的剪切勢能，從圖1中滑床上取高度為h微元體進行分析，如圖2所示。

系統(tǒng)的剪切勢能為

式中：′為在合外力作用下微面d上的剪應(yīng)力，kPa；為與′對應(yīng)的剪應(yīng)變，rad；d微元體體積，且d=d，m3。

顯然，為了求解剪切勢能必須確定′和，通過圖2可得

式中：′為微面d上的剪切位移，m；為微面d上的抗滑剪力單位向量，且=(1,2,3)。

因此，能否正確進行的計算，關(guān)鍵在于′。孫加平等[8]通過取圖1中的單元體為研究對象，基于單元體的靜力平衡關(guān)系求解，然而在建立平衡方程時忽略了單元體的條間力的影響。通過上文所述可知，滑體發(fā)生一個虛位移，滑體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則滑體中任取的單元體亦平衡。由于局部處處平衡，故而整體必定平衡。因此，可以通過滑體整體沿著虛位移方向的靜力平衡關(guān)系，確定微面d上的剪應(yīng)力。通過分析可知，滑體在合外力、剪切力以及法向力作用下保持平衡，即

則微面上的剪應(yīng)力為

式中：d為作用于微面上的合外力，kN。

將式(5)變形可得

由式(3)，(4)和(6)得

則系統(tǒng)總勢能為

則在給定的外力條件下，總勢能對虛位移的一階偏導(dǎo)需滿足

式(10)是一個線性方程組，虛位移易求得，則根據(jù)力與位移的關(guān)系，可求解微面d上的法向應(yīng)力，即

1.2 確定微面抗滑方向t

解方程組(13)可得

1.3 確定三維邊坡的安全系數(shù)

式中：為土體的黏聚力，kPa；為土體的內(nèi)摩擦角，rad。

通過分析可知，滑體上的合外力提供下滑力，滑面上的法向力、剪切力提供抗滑力，則安全系數(shù)s為

2 算例驗證分析

眾多學(xué)者為了驗證三維邊坡穩(wěn)定性分析方法的合理性，均采用文獻[12]中的經(jīng)典算例。算例具體信息如下：潛在滑裂面為旋轉(zhuǎn)橢球面，即

其中：，，且該橢球滑體在xoz平面上的投影如圖3所示，已知：土體的容重γ=18.8 kN/m3，黏聚力c=29 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，坡高為12.2 m，B(10,0)。

由于研究表明[7?8,13]，對于均質(zhì)邊坡安全系數(shù)的計算結(jié)果與無關(guān)，因此算例中并未給出具體數(shù)值。經(jīng)計算可得滑體體積為1.209 8×104m3，滑面提供的抗滑力大小為3.762 6×105kN，下滑力大小為1.753 27×105kN，則運用本文方法得到的安全系數(shù)為s=2.146，其他方法得到的結(jié)果見表1。

表1 不同方法計算的安全系數(shù)

從表1可以看出文中的計算方法與已有研究給出的解答較為接近，相對誤差在10%范圍內(nèi)，滿足工程上的精度要求，表明文中計算方法具有一定的合理性。此外，文中計算方法相比于文獻[11]、文獻[8]安全系數(shù)要小，工程應(yīng)用偏安全。并且，文中關(guān)于剪應(yīng)力、滑體下滑趨勢的計算模型，相比于文獻[7?8]，無需事先假定主滑面，計算過程更為簡便，便于工程應(yīng)用。同時，可以看出本文計算方法結(jié)果不同于屬于極限平衡法范疇的文獻[11?12]給出的結(jié)果，作者認(rèn)為原因如下：1) 極限平衡法在進行穩(wěn)定性分析解答時，需將滑體進行離散化，且對土條間的作用力的進行了假定，安全系數(shù)需要迭代計算，而本文方法基于最小勢能原理，以滑體整體為研究對象，給出了法向力的顯式解，無需迭代進行安全系數(shù)的計算；2) 本文方法與極限平衡法的建模假定不同，極限平衡法認(rèn)為滑體整體為剛體，而最小勢能法僅僅認(rèn)為滑體內(nèi)部不發(fā)生變形，但是在滑面上假定其為彈性，通過引入土彈簧模型進行建模分析?？傮w而言，最小勢能法與極限平衡法應(yīng)屬于同一范疇內(nèi)的分析方法，二者均是通過靜力平衡關(guān)系建立安全系數(shù)求解模型，唯一不同的是二者求解法向應(yīng)力的方式，致使2種分析方法呈現(xiàn)出不同的特點。

為了進一步探究影響邊坡穩(wěn)定性的因素，在保持=18.8 kN/m3不變的情況下，采用控制變量法研究其與土體的抗剪強度指標(biāo)、滑面形態(tài)(即/的值)之間的關(guān)系，結(jié)果如圖4所示。

(a) φ=20°時；(b) c=29 kPa時

從圖4可以看出：1) 土體的抗剪強度指標(biāo)、滑裂面形態(tài)均影響著邊坡的穩(wěn)定性，其中隨著抗剪強度指標(biāo)的增加，邊坡的安全性逐步增大，且呈二者之間呈線性關(guān)系；2) 滑裂面的形態(tài)對邊坡安全性的影響較為顯著，在/處于低水平時，邊坡安全系數(shù)的計算結(jié)果較大。隨著/的增大，安全系數(shù)呈現(xiàn)非線性降低的規(guī)律。當(dāng)/≥5時，邊坡的安全系數(shù)趨于穩(wěn)定，即滑體橫向?qū)挾冗_(dá)到一定水平后，可將其視為平面應(yīng)變問題進行分析，這與文獻[15]的結(jié)論一致，表明文中計算方法的合理性。3) 應(yīng)用理正巖土分析軟件Bishop法計算可得，本算例的二維安全系數(shù)解答為2.090，而本文三維分析方法得到的結(jié)果為2.139(/=10時)，二者相對誤差僅為2.3%。同時，可知本文的計算結(jié)果在略高于二維Bishop法，主要是由于三維的尺寸效應(yīng)對計算結(jié)果的影響。由此可見，三維的分析結(jié)果會比二維的計算結(jié)果偏大，即二維的分析結(jié)果過于保守。同時，當(dāng)三維滑體的橫向尺寸較大時，三維尺寸效應(yīng)對穩(wěn)定性分析結(jié)果影響較小，可以將其視為平面問題進行處理。

3 結(jié)論

1) 三維邊坡穩(wěn)定性分析的最小勢能法相比于原有的研究，在對剪切勢能函數(shù)的建立、微面抗滑剪力的方向上具有以下2點不同：①通過滑體的整體靜力平衡確定滑面上的剪應(yīng)力函數(shù)，避免了劃分條塊時的條間力假定，降低了運算難度；②通過物體在斜面上的運動學(xué)規(guī)律，將微面的抗滑力方向假定為垂直于滑面與水平面的交線，避免了假定主滑面確定其抗滑方向，便于工程應(yīng)用。

2) 將滑體整體運動方向視為微面抗滑方向矢量和的相反方向，借鑒矢量和法的思想定義邊坡的安全系數(shù)，物理意義明確，相比于三維極限平衡法無需迭代計算。

3) 算例驗證結(jié)果表明，本文的三維分析方法與其余算法的相對誤差在10%范圍內(nèi)，滿足計算精度要求，可以用于三維邊坡的穩(wěn)定性分析計算。

4) 土體的抗剪強度指標(biāo)、滑面形態(tài)對邊坡的穩(wěn)定性存在影響，且邊坡的穩(wěn)定性隨著，值的增大而線性提高。此外，當(dāng)/≥5時，安全系數(shù)的計算結(jié)果與二維分析結(jié)果十分接近，表明此時可以將其簡化為平面問題處理。

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Study on minimum potential energy method for solving safety coefficient of three-dimensional slope

SUN Jiaping, WEI Xing, ZHAN Fengcheng

(Institute of Energy Technology, Jiangxi Vocational College of Industrial & Engineering, Piangxiang 337055, China)

In order to evaluate the stability of rock and soil effectively, the minimum potential energy method was used to analyze the stability of three-dimensional slope. The elastic compression potential energy and shear potential energy of the sliding body system were calculated by introducing the soil spring model and the overall static balance equation of the sliding body. At the same time, the sliding direction of the micro-plane was determined according to the law of motion of the object along the inclined plane under the action of gravity. The potential moving direction of the whole sliding body was regarded as the vector sum of the sliding direction of the micro-plane. Finally, the safety factor of slope was defined as the ratio of anti-sliding force to sliding force along the sliding direction. In order to verify the rationality of the calculation method in this paper, the safety factor of a classical example was calculated. The results show that the relative error between the solution and the other methods is within 10%, which indicates that the calculation method in this paper can be used for the stability analysis of three-dimensional slope. With the increase of the shear strength index of soil, the safety factor of slope presents a linear increase trend When the ratio of the lateral dimension to the longitudinal dimension of the three-dimensional sliding mass is greater than 5, the stability analysis of the three-dimensional slope can be treated as a plane strain problem.

slope; stability; minimum potential energy method; sliding direction; safety factor

TU473

A

1672 ? 7029(2020)05 ? 1156 ? 06

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190702

2019?08?06

江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究資助項目(GJJ181562)

詹鳳程(1977?)，男，內(nèi)蒙古赤峰人，副教授，從事巖土體的穩(wěn)定性監(jiān)測與分析方面的工作；E?mail：285388307@qq.com

(編輯 涂鵬)