一類數(shù)字半群容許的型

潘 萍，孫廣人，吳 琳，凌 燕

（安慶師范大學數(shù)理學院，安徽安慶246133）

令?是所有非負整數(shù)構成的集合，若?的子集S包含0，對加法封閉，且S在?中補集有限，則稱S是數(shù)字半群。S中最小的非零整數(shù)稱為S的重數(shù)，用m(S)表示。S的導子是唯一的整數(shù)c∈S，使得c-1?S且c+N∈S[1]。不屬于S的最大正整數(shù)稱為S的Frobenius數(shù)，用F(S)表示，F(xiàn)(S)=c-1。令x?S，若對任意的正整數(shù)s∈S，有x+s∈S，則稱x是S的偽Frobenius 數(shù)，用PF(S)表示。令A是 ? 的非空子集，由A??生成的?的幺子半群是最小的包含A的幺子半群，通常用A表示，即

不難證明當且僅當A中元素的最大公約數(shù)為1時，A是數(shù)字半群[2]。因為當A中元素的最大公約數(shù)大于1時，A在?中的補集不是有限的，故在此情況下A不是數(shù)字半群。若S是數(shù)字半群且A是S的子集，則A是S的生成元系，即A=S。若沒有A的其他真子集生成S，則稱A是S的極小生成元系，用E(S)表示。每個數(shù)字半群都有唯一的極小生成元系，且極小生成元系具有有限多個元素[3]，稱極小生成元系的基數(shù)為S的嵌入維數(shù)，用e(S)來表示。

目前數(shù)字半群及其理想的型（pattern）是一個研究熱點問題[4-9]。文獻[4]中引入了數(shù)字半群的型的概念，并描述了至少可以被一個數(shù)字半群容許的型，并定義為可容許型，還介紹了減法型以及布爾型；文獻[5]研究了非齊次線性型被容許的條件；文獻[7]介紹了數(shù)字半群的理想的型。本文是在此基礎上，研究形如的數(shù)字半群所容許的型。

文中集合{ 0 ,m,→ }中的“→”表示m后續(xù)的所有自然數(shù)都屬于這個集合表示數(shù)字半群S中的非零元素n的 Apéry 集，即{x∈S|x-n?S}；amodb表示a除以b的余數(shù)；I-J表示集合對任意的a∈J}；nM(S)表示幾個M(S)集合相加，即集合。

1 型

長度為n的型p是關于x1,x2,…,xn的具有非零元系數(shù)的線性多項式，即若對數(shù)字半群S中的任意n元非增序列(x1,x2,…,xn)，有p(x1,x2…,xn)∈S，則稱數(shù)字半群S容許型p(x1,x2…,xn)。當a0=0時，稱型p為齊次線性型；a0≠0時，則稱型p為非齊次線性型。

命題1給定一個型則下列條件等價：（1）存在一個數(shù)字半群容許p，（2）?容許p，（3）對任意n′≤n，有滿足這3個條件中的任意一個條件的型稱為可容許型。

定義1[4]給定一個型設

若p是容許型，且p′也是容許型，則稱型p是強容許型。

命題2[4]令是長度為n的強容許型，則對任意的x1≥x2≥…≥xn，有p(x1,x2,…,xn)≥x1≥…≥xn。

定義2若除最后一項系數(shù)為-1外，其余項系數(shù)都為1，則稱型p為減法型，且減法度為n-1。

定義3若型的系數(shù)全為1或-1，則稱型為布爾型。

命題3[4]若型p具有有限正容許度k，則型p為

其中，f中所有系數(shù)為正，g，h都是可容許的，且g中所有系數(shù)之和為0，h中系數(shù)之和非負。

稱數(shù)字半群{ 0 ,m,→ }為常半群，即半群{ 0 ,m,→ }={ 0 }?{z∈ ?|z≥m}。令q∈Q，定義是所有整數(shù)的集合）。

引理1令m為正整數(shù)，則是數(shù)字半群。

證明已知顯然 0 ∈S。對任意的a,b∈S，滿足a+b∈S，因此可得S對加法封閉。又因為{ 0 ,m,→ }是數(shù)字半群，{ 0 ,m,→ }?S，故S在?中補集有限。因此，S是數(shù)字半群。

引理2令m為正整數(shù)，則數(shù)字半群具有極大嵌入維數(shù)。

證明①當m為奇數(shù)時，有，

其中

②當m為偶數(shù)時，有，

其中

引理3令m為正整數(shù)，則數(shù)字半群是Arf數(shù)字半群。

證明已知故c=m-1。要證明S是Arf數(shù)字半群，需證明對任意的x,y,z∈S且x≥y≥z，有x+y-z∈S[10]。

①若x≥m-1，則對任意的x,y,z∈S且x≥y≥z，故y-z≥ 0，因此有x+y-z≥x≥m-1∈S；

②若x＜m-1，因為x,y,z∈S且x≥y≥z，所以有。又因為S是數(shù)字半群，故S對加法封閉，因此對任意的x,y,z∈S且x≥y≥z，有x+y-z∈S。綜上所述，對任意的x,y,z∈S，x≥y≥z，有x+y-z∈S，故S是Arf數(shù)字半群。又由文獻[7]可知Arf數(shù)字半群容許Arf型，因此數(shù)字半群容許Arf型。

定理1令m為正整數(shù)，則數(shù)字半群容許任意的強容許型。

證明令是強容許型。已知由命題2可知，對S中任意的非增序列(x1,x2,…,xn)，有p(x1,x2,…,xn)≥x1≥…≥xn。

①若x1≥m-1，則p(x1,x2,…,xn)≥m-1∈S。

②若x1＜m-1，則對任意的有因此分3種情況討論：

（i）當x1=0=x2=…=xn時，有；

綜上所述，數(shù)字半群S容許任意的強容許型。

定理2令m為正整數(shù)，則數(shù)字半群容許任意的減法度大于等于2的減法型。

證明令型p(x1,x2,…,xn-1,xn)=x1+x2+…+xn-1-xn是減法度為k的減法型，即

假設k≥ 2，且(x1,x2,…,xk+1)是S的非增序列。要證p(x1,x2,…,xk,xk+1)∈S，則需要分2種情況討論：

正如假設的k≥ 2，則p(x1,x2,…,xk,xk+1)≥( 2 -1 )(m-1 )=m-1。又由引理2可知F(S)=m-2，因此p(x1,x2,…,xk,xk+1)＞F(S)，故p(x1,x2,…,xk+1)∈S。

假 設k＜ 2 ，且 數(shù) 字 半 群S容 許 型p。 由x1=m，x2=m-1 可 得p(x1,x2)∈S。 然 而m-(m-1 )=1?S，這與上述條件矛盾，故S不容許任意的減法度小于2的減法型。

定理3令m為正整數(shù)，則數(shù)字半群容許任意的可容許度大于等于2的布爾型。

工程高邊坡危害后果分析是通過對邊坡影響范圍內(nèi)的承災體進行識別，分析承災體價值、災害到達承災體概率、承災體時空概率、承災體易損性，進而估算人身傷害損失和財產(chǎn)損失[15]。

證明令型p是長為n、可容許度為k的布爾型。令f、g、h如命題3所示，f中所有系數(shù)為正，g中所有系數(shù)之和為0，且h中的系數(shù)之和非負，記為X。

假設k≥ 2，且(x1,x2,…,xn)是S的非增序列。要證p(x1,x2,…,xn)∈S，則分2種情況討論：① 若，則因此可得，其 中b,c∈? 。 于 是 有p(x1,x2,…,xn)=f(x1,x2,…,xk-1)+。

假設k＜2且S容許型p。由文獻[4]中命題43可知減法度為k的減法型誘導可容許度為k的布爾型，因此S也容許減法度小于2的減法型。然而，由定理2可知S不容許減法度小于2的減法型，這與前面的條件矛盾。故S不容許可容許度小于2的布爾型。即S容許任意的可容許度大于等于2的布爾型。

例1令m=8，有數(shù)字半群S={ 0 ,4,7,→ }，則S容許型p=x1+x2-x3+x4-x5。

命題4令m為正整數(shù)，則數(shù)字半群被S容許，則對任意的a0∈S，有S容許型。

例2令m=10，有數(shù)字半群S={ 0 ,5,9,→ }，則S容許型p=x1+x2-x3+11。但因為有0 ∈p(S),所以只有滿足a0＞0時，非齊次線性型是可容許型。因此，若要研究a0＜0，則需要在S的理想上進行研究。

數(shù)字半群S的相對理想是滿足對d∈S，有H+S∈H且H+d∈S的集合H，H∈?。S中包含的相對理想是S的理想，若S的理想不同于S，則稱這個理想是S的真理想。S的真理想集中的最大元素稱為S的極大理想，即S的非零元素集，用M( )S表示[7]。

命題5令m為正整數(shù)，則被S的極大理想M(S)容許，則對a0∈PF(S)，有S的極大理想M(S)容許型。

定義4[7]令I和J是數(shù)字半群S的兩個理想。對于d∈?{ 0 }，定義集合

且稱PFd(I,J)為從I相對于J的距離為d的元素集。

數(shù)字半群S相對于它的真理想J的李普曼半群是L(S,J)= ∪h≥1(hJ-hJ)[10-11]，這也稱為J的單相交。半群L(S)=L(S,M(S))也稱為S的李普曼半群或S的單相交。若存在h0≥1,使得對每一個h≥h0，L(S,J)= (hJ-hJ)或(h+1)J=hJ+m(J)成立，則稱h0為J的約化數(shù)。

定理4當數(shù)字半群S具有極大嵌入維數(shù)時，則PFn(S,M(S))=E(S)-nm(S)。

證 明定 義D(d,M(S))={z∈ ?|z+dM(S)?S,z+dM(S)?dM(S) }，即D(d,M(S))={z∈ ?|z+dM(S)?S,z+dM(S)?(SdM(S))≠ ?}。

對n進行歸納假設。當n=1時，結果顯然成立。假設n-1時，結果也成立。下面證明當n時結果也成立。

根據(jù)定義，若d使得L(S)= (dM(S)-dM(S))，則(S-dM(S))=L(S)?D(d,M(S))。當S具有極大嵌入維數(shù)時，則對任意h≥1，S的李普曼半群L(S)= (hM(S)-hM(S) )[7]。因為

故有D(n,M(S))D(n-1,M(S))={z∈ ?|z+nM(S)?S,z+nM(S)?nM(S),z+ (n-1)M(S)?S},則PFn(S,M(S))= (S-nM(S))(S-(n-1)M(S))=D(n,M(S))D(n-1,M(S))=

推論令m為正整數(shù)，數(shù)字半群則對任意

例3令m=9，有S={ 0 ,4,8,→ }，則M(S)容許型p=2x1-x2+x3-1。因為-1∈E(S)-3m(S)={-8,-3,-2,-1 }。因此，M(S)也容許p=2x1-x2+x3-8。

4 總 結

目前數(shù)字半群理論與交換代數(shù)、組合學、圖論、代數(shù)幾何以及編碼理論等領域聯(lián)系緊密，而對于數(shù)字半群上的型的研究可用于探索容許它們的數(shù)字半群的性質(zhì)。本文針對文獻中引入的數(shù)字半群上的型的概念以及數(shù)字半群容許型所需要滿足的條件，將研究對象推廣到具體的數(shù)字半群S=上，探究其容許的齊次線性型和非齊次線性型。