帶小參數(shù)的半線性橢圓方程Dirichlet邊值問(wèn)題的可解性

石 曼，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

文獻(xiàn)[1]利用上下解等方法，研究了問(wèn)題

正解的存在性和唯一性，并證明了當(dāng)參數(shù)充分大時(shí)，其正解不存在，這里區(qū)域Ω是洞型區(qū)域，Γ1、Γ2分別是Ω的內(nèi)外邊界，參數(shù)λ1＞ 0,λ2＞ 0。

文獻(xiàn)[2]研究了問(wèn)題

正解的存在性與不存在性，其中參數(shù)λ＞0，Ω是Rn中的有界光滑域，非線性函數(shù)f是次線性的。

文獻(xiàn)[3]討論了問(wèn)題

正解的存在性。

受文獻(xiàn)[1-3]的啟發(fā)，本文利用不動(dòng)點(diǎn)定理在實(shí)體區(qū)域上研究半線性橢圓方程邊界值問(wèn)題

的可解性，并且在一定條件下研究了解的唯一性與不存在性。這里Ω是?n中有界光滑域，參數(shù)λ＞0，非線性項(xiàng)f(x,u)滿足的條件比文獻(xiàn)[1-3]中的非線性項(xiàng)更為一般?，F(xiàn)假設(shè)問(wèn)題(1)中的函數(shù)滿足或部分滿足下列條件：(H1)f(x,u)＞ 0,x∈Ω且f(x,u)連續(xù)為遞減的。

引理1若條件(H1)成立，則問(wèn)題(1)的解為正解。

證明由(H1)知-Δu＞0,x∈Ω，又由上調(diào)和函數(shù)極值原理及知u≥ 0。

引理2當(dāng)參數(shù)λ充分小時(shí)，問(wèn)題

僅存在平凡解u≡0。

證明在（3）式兩邊乘以u(píng)，并在Ω上積分，同時(shí)利用Green第一恒等式及Poincare不等式得：

引理3（不動(dòng)點(diǎn)定理）[4]設(shè)X是一個(gè)Banach空間，B是X的一個(gè)閉凸子集。若T是B到B的一個(gè)緊映射，R為一個(gè)正常數(shù)。使對(duì)滿足的任意u∈B有u≠tT(u)，0 ≤t≤ 1，則T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u∈B且。

下面討論問(wèn)題（1）解的存在性。

定理1設(shè)條件(H1)(H2)成立，且λ充分小時(shí)，則問(wèn)題（2）也就是問(wèn)題（1）至少存在一個(gè)有界正解。

證明記則K為X的一個(gè)閉凸子集。定義算子

T:K→K為由F(x,u)非負(fù)連續(xù)，L-1是緊正算子[5]，T:K→K可以斷定存在一個(gè)常數(shù)R＞ 0，使對(duì)滿足‖u‖=R的?u∈K和有u≠tT(u)。

若不然，則在( 0,1 ]中存在序列tn和K中滿足‖un‖→+∞(n→ +∞)的序列，有

即這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為問(wèn)題（1）的解。下面討論（1）式的唯一性與不存在性。

定理2若條件（H2）成立，則問(wèn)題（1）最多只有一個(gè)解。

證明設(shè)u1,u2為問(wèn)題（1）的兩個(gè)解，則

可得：

結(jié)合條件(H2)知u1=u2。

定理3若條件(H2)成立且當(dāng)參數(shù)λ充分大時(shí)，問(wèn)題（1）無(wú)有界正解。

證明記為-Δ算子在區(qū)域Ω中0-Dirichlet 邊值問(wèn)題的第一特征值，φ為相應(yīng)的特征函數(shù)，記在方程-Δu=λf(x,u)兩邊乘以φ，同時(shí)在Ω上積分，并利用Green第二恒等式及條件(H2)得從而所以于是當(dāng)λ充分大時(shí)，問(wèn)題（1）無(wú)有界正解。

下面給出實(shí)例說(shuō)明所得結(jié)果的有效性。

例考察問(wèn)題的可解性，其中Ω為不包含原點(diǎn)的有界光滑域，這時(shí)從而滿足條件(H1)；又關(guān)于s∈(0,+∞)為遞減的，從而滿足條件(H2)。由定理1知，當(dāng)參數(shù)λ充分小時(shí)，問(wèn)題至少存在一個(gè)有界正解。又由定理2知，解唯一。當(dāng)參數(shù)λ充分大時(shí)，由定理3知無(wú)有界正解。

綜上所述，本文利用不動(dòng)點(diǎn)定理、算子理論、調(diào)和函數(shù)極限原理、Green第一恒等式等相關(guān)理論討論了一類帶小參數(shù)的半線性橢圓方程Dirichlet邊值問(wèn)題正解的存在性、唯一性以及不存在性，并給出了實(shí)例證明了相關(guān)定理的有效性。