有序Hadamard型分數(shù)階積分微分方程解的存在性

李耀紅，張海燕,2

（1.宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州234000；2.安徽大學數(shù)學學院，安徽合肥230601）

近年來，分數(shù)微分方程模型在理論和應用上廣受關注，它是處理力學、控制理論、信號和圖像處理等領域中數(shù)學問題精確描述的一個重要工具，相關研究有許多優(yōu)秀成果[1-5]。需要指出的是，目前大多數(shù)已有研究結果都是就Riemann-Liouville或Caputo分數(shù)階定義的微分方程，而基于Hadamard分數(shù)階定義的微分方程問題研究相對較少。Hadamard 分數(shù)階定義中包含以對數(shù)函數(shù)為底的冪指函數(shù)，計算復雜，但其在解決某些涉及對數(shù)運算的分數(shù)階方程模型時十分有效[6-7]。最近，文獻[8]研究了一類有序Caputo分數(shù)階微分方程組解的存在性，文獻[9]討論了幾類有序Hadamard分數(shù)階微分方程初值問題，并利用變參數(shù)技巧獲得相應問題解的存在性。

受上述文獻結果的啟發(fā)，本文考慮如下有序Hadamard分數(shù)階微分方程：

這里D(?)和I(?)分別定義為 Hadamard 分數(shù)階導數(shù)和積分是一個連續(xù)函數(shù)。和文獻[8-10]相比，本文非線性項中含有Hadamard分數(shù)階積分和導數(shù)，這和已有研究問題顯著不同，而且研究結果在應用上更為方便，同時邊值條件為Hadamard分數(shù)階積分形式，其涵蓋多點邊值條件，適用范圍更廣。特別地，通過引入一些記號，簡化了解存在性的研究過程。

1 預備知識

定義1[1]函數(shù)g:[1,+∞)→?的α階Hadamard分數(shù)階積分定義為

定義2[1]函數(shù)g:[1,+∞)→?的α階Hadamard分數(shù)階導數(shù)定義為

其中n-1＜α＜n,n=[α]+1。

引理1[1]若α＞ 0，u∈C[1,e]?L[1,e]，則IαIβu(t)=Iα+βu(t),Dα(Iαu(t))=u(t),

其中ci∈?(i=1,2,…,n),n如定義2所述。

引理2若y(t)∈C([1,e],?）且1＜α≤2,則有序分數(shù)階微分方程

在邊值條件（2）下有唯一解

其中A≠B,且,

證明對（3）式兩邊利用積分算子Iα積分，從引理1可知方程（2）的通解為

由邊值條件u(1)=0,可知c2=0。接著對（5）式求導，則

在（6）式兩邊乘積分因子tk，化簡得

對（7）式兩邊同時積分知

又由邊值條件u(e)=Iγu(η)知

故

將c1代入（8）式即得（4）式，引理得證。

引理3（Banach壓縮不動點定理）[11]設D是Banach空間X的閉子集，T:D→D是一個嚴格的壓縮映射，即?x,y∈D,|Tx-Ty|≤k|x-y|成立，其中0 ＜k＜ 1，則F在E中有唯一不動點。

引 理 4（Leray-Schauder 抉 擇 原 理 ）[11]設T:D→D是 一 個 全 連 續(xù) 算 子 ，令M={x∈D:x=λT(x),0 ＜λ＜1 }，則要么M是E中無界集，要么T在D中至少有一個不動點。

2 主要結果

記X={u|u∈ C([1,e],? )且Dβu∈C([1,e],? )}，顯然X在范數(shù)

下是一Banach空間。依據(jù)引理2，定義算子T:X→X如下：

則有序Hadamard分數(shù)階微分方程(1)和(2)有解等價于算子Tu(t)=u(t)在X中有不動點。為方便計算和表示，記：

引理5若任意y∈C[0,1]，則有

證明（i）由于則

從而（i）式得證。類似計算易證(ii)和(iii)結論成立。

定理1假若g:[1,+∞)→?是一個連續(xù)函數(shù)且對任意xi,yi,zi∈?(i=1,2)滿足下面

Lipschitz條件：

且λHF＜1，則有序分數(shù)階微分方程（1）和（2）在X中存在唯一解。

證明令定義

則TMr?Mr。事實上，對任意u∈Mr，根據(jù)（11）式可知

于是由引理5知|Tu(t)|≤G(λFr+r′)。

又注意到

類似于（13）式有

結合（14）和（15）式有

注意到λHF＜1，故T是壓縮算子。從而由引理3知算子T在Mr中有唯一不動點，即有序Hadamard分數(shù)階微分方程（1）和（2）在X中存在唯一解。

定理2假若g:[1,+∞)→?是一個連續(xù)函數(shù)且存在實數(shù)μi＞0(i=0,1,2,3)，使得

成立且HL＜1，則有序分數(shù)階微分方程邊值問題（1）和（2）在X中至少有一個解，這里

證明首先分3個步驟證明算子T在X中是全連續(xù)的。首先，根據(jù)函數(shù)f的連續(xù)性易知算子T也是連續(xù)的；接著，任取有界集其中l(wèi)＞Hμ0(1-HL)-1，則對?u∈Ml，依據(jù)（16）式知

同時，當t2→t1時，有

因此當t2→t1時，由（18）和（19）式有

即||(Tu)(t2)-(Tu)(t1)||X→0，則T在Ml上是等度連續(xù)的。依據(jù)以上3步結果，由Arzela-Ascoi′s 定理可知算子T在Ml上是全連續(xù)的。

下面再證明算子T在X中具有不動點。記M={u(t)|u∈X,u=θ(Tu),θ∈(0,1)}，故M是有界的。這是因為，對?t∈[1,t],u∈M，由(16)式有

又因為HL＜1，故M是有界集，于是由引理4知算子T在X中至少有一個不動點，即有序分數(shù)階微分方程（1）和（2）在X中至少存在一個解。

例考慮如下有序Hadamard分數(shù)階微分方程積分

這里

則

3 總 結

本文利用Banach壓縮不動點定理和Leray-Schauder抉擇原理,結合一些新引入的函數(shù)簡記符號，研究了一類具有Hadamard積分邊值條件的有序Hadamard分數(shù)階積分微分方程邊值問題,獲得了該問題解存在唯一性的充分條件，并通過例子說明結果的應用。特別地，當（2）式中η=1 時，則u(1)=0,u(e)=0，問題（1）（2）為典型的分數(shù)階微分方程兩點邊值問題，因此本文研究問題是兩點邊值問題的推廣，具有更廣泛的應用價值。