常見壽命分布組件初始貯存方案評估及優(yōu)化

徐立，張寧，李華，阮旻智，周亮

1. 海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院， 武漢 430033

2. 海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院， 武漢 430033

3. 海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力國防科技重點實驗室, 武漢 430033

現(xiàn)代航天、航空等領(lǐng)域的武器、裝備以及戰(zhàn)儲器材通常具有“長期貯存、一次使用”的特點，如某重點型號設(shè)定的服役年限為30年，分解到元器件級要求其貯存期為32年。元器件經(jīng)長期貯存會出現(xiàn)主要參數(shù)漂移、材料性能下降等問題[1]。隨著貯存時間的增長，元器件性能的變化必然給其所屬單元帶來影響，導(dǎo)致貯存單元及裝備可用數(shù)量降低。裝備貯存單元的完好情況直接影響著保障部門日常維護保養(yǎng)工作能否正常開展，也決定著裝備的完好數(shù)量能否滿足要求。

針對貯存期內(nèi)各類單元性能下降及故障對裝備造成的影響，國內(nèi)外開展了大量研究。在考慮不同環(huán)境及使用條件下的可靠性評估方面，文獻[2]研究了非恒定溫度場合性能退化型部件貯存可靠性評估模型。文獻[3]研究了火箭等航天裝備在貯存和運輸階段的可靠度評估問題。文獻[4]基于Bootstrap算法對貯存系統(tǒng)的可靠度進行了置信限評估。文獻[5-7]基于導(dǎo)彈多部件退化數(shù)據(jù)，開展導(dǎo)彈關(guān)鍵性能參數(shù)研究，給出多部件競爭失效的可靠度評估模型。在考慮不同類型、不同可靠性結(jié)構(gòu)的壽命單元可靠性評估方面，文獻[8]基于導(dǎo)彈儀器設(shè)備的貯存可靠性和貯存使用過程中采取的技術(shù)準(zhǔn)備措施，提出了一種以能執(zhí)行任務(wù)率為判據(jù)的導(dǎo)彈貯存壽命評估方法。文獻[9-10]構(gòu)建了多類部件組成系統(tǒng)的貯存可靠度模型，研究使平均可靠度最大的檢修策略。文獻[11]針對貯存壽命和使用壽命均服從指數(shù)分布的部件，通過將貯存時間轉(zhuǎn)化為使用時間，對貯存可靠性置信下限進行了估計。在綜合考慮貯存延壽及保障費用優(yōu)化方面，文獻[12-13]建立了包含不同壽命分布組件的系統(tǒng)混合檢測模型，并用仿真方法確定了長期運行的可用度和費用率。文獻[14-17]對于定期檢測與機會檢測、隨機檢測結(jié)合的維修更換模型的費用進行了對比分析。文獻[18]以固定貯存期內(nèi)的費用率最低為目標(biāo)，對檢測周期以及更換周期進行了綜合優(yōu)化。文獻[19]在分析部件瞬態(tài)貯存可用度變化規(guī)律基礎(chǔ)上，研究了系統(tǒng)的平均貯存可用度，建立了貯存壽命的評估與優(yōu)化模型。

目前，考慮裝備子單元貯存方案對裝備完好數(shù)量影響的文獻較少，難以建立單元貯存數(shù)量、貯存時間和裝備可用數(shù)量之間的關(guān)系，缺乏貯存方案的優(yōu)化方法。本文以貯存期內(nèi)裝備完好數(shù)量為著眼點，分析常見壽命分布單元的貯存可靠度，建立初始貯存方案下的裝備完好數(shù)量評估模型；以達標(biāo)概率指標(biāo)為約束條件，貯存單元購置費用為優(yōu)化目標(biāo)，建立單元初始貯存方案優(yōu)化模型，給出相應(yīng)的優(yōu)化算法。為裝備保障部門制定不同壽命分布單元貯存方案提供理論支撐。

1 問題描述及模型假設(shè)

1.1 貯存過程描述

裝備通常具有多層級的結(jié)構(gòu)特點，按照從低到高的次序，常見的層級劃分有：元器件、零部件、組件、裝備、分系統(tǒng)、系統(tǒng)等。本文將裝備劃分為2層，由高到低分為裝備層和組件層。各組件之間的關(guān)系以可靠性連接關(guān)系進行描述，常見的連接關(guān)系有串聯(lián)、并聯(lián)、混聯(lián)等。若按照是否關(guān)重件的標(biāo)準(zhǔn)對裝備各組件可靠性結(jié)構(gòu)進行劃分，對于由一般數(shù)量規(guī)模關(guān)重件組成的裝備系統(tǒng)，可簡化為由多項關(guān)重組件串聯(lián)而成。裝備結(jié)構(gòu)如圖1所示。

對于“長期貯存，一次使用”的裝備而言，在貯存期內(nèi)需對其進行檢測維護，及時修復(fù)或更換出現(xiàn)故障或到壽組件以維持裝備性能，保證貯存期內(nèi)裝備的完好數(shù)量。為了使得貯存期間的檢修、修復(fù)工作順利進行，對于分段貯存或整體貯存的裝備系統(tǒng)，在裝備交付的同時需配備一定數(shù)量的組件。裝備組件在貯存過程中，受環(huán)境因素和維修管理措施的影響，會引起貯存組件失效或性能下降，導(dǎo)致不可用，組件完好的數(shù)量隨著貯存時間的增長呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢，如圖2所示，圖中：t為貯存時間；n為組件完好數(shù)量；N0為初始組件完好的數(shù)量。

圖1 裝備組織結(jié)構(gòu)

圖2 組件可用數(shù)量隨時間變化

1.2 模型假設(shè)

一般情況下，新型裝備技術(shù)密集，信息化、集約化程度高，在新型裝備批量交付初期，裝備保障部門難以配齊相應(yīng)的維修設(shè)備和具有對應(yīng)維修能力的技術(shù)人員。在裝備保障現(xiàn)場，較難開展故障組件的維修和裝備原位維修，對裝備的維修僅具備換件維修能力。另外一方面，裝備的重要組件通常為非貨架產(chǎn)品，需要組織專門的生產(chǎn)線進行生產(chǎn)，訂貨周期通常較長。因此，在裝備交付時，需建立組件的初始庫存以滿足貯存期內(nèi)裝備的故障維修。為了方便研究，本文在進行建模和優(yōu)化時做如下假設(shè)：① 貯存期內(nèi)不考慮組件的再補給；② 裝備發(fā)生故障僅進行換件維修；③ 貯存期內(nèi)的故障組件無法修復(fù)；④ 裝備是否處于完好狀態(tài)僅與各組件是否處于完好狀態(tài)有關(guān)；⑤ 當(dāng)組件到壽或故障后，必然出現(xiàn)故障，如有組件可換，故障裝備可及時恢復(fù)完好；⑥ 在裝備修復(fù)過程中，裝備是不完好的。

在裝備保障領(lǐng)域，戰(zhàn)備完好率是裝備保障部門關(guān)注的重要綜合性指標(biāo)，對于一定數(shù)量的裝備而言，戰(zhàn)備完好率的要求可以轉(zhuǎn)換成裝備完好數(shù)量上的要求。為了衡量貯存期內(nèi)任意時刻提供某一具體數(shù)量可用裝備的能力，本文引入達標(biāo)概率這個指標(biāo)。達標(biāo)概率定義為貯存期t內(nèi)，裝備完好數(shù)量n大于等于某一規(guī)定數(shù)量M的概率，記為P(n≥M)。達標(biāo)概率反映的是裝備戰(zhàn)備完好率達到某一水平的概率，衡量的是裝備戰(zhàn)備完好性水平。若將達標(biāo)概率的門限值記為P0，P0為對組件初始貯存方案的達標(biāo)概率指標(biāo)要求，只有滿足P(n≥M)≥P0的貯存方案才是合格的方案。

2 初始貯存方案評估模型

裝備組件從交付入庫到其無法正常工作之間的時間間隔稱為貯存壽命。貯存壽命呈現(xiàn)出一定的規(guī)律如服從指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布等常見分布[20]。

2.1 常見壽命分布組件可靠度

2.1.1 指數(shù)型組件可靠度

將貯存壽命T服從指數(shù)分布的組件稱為指數(shù)型組件，記作T～Exp(μ)，其中μ為平均貯存壽命，則該單元在貯存時間t的可靠度函數(shù)為

(1)

2.1.2 對數(shù)正態(tài)型組件可靠度

將貯存壽命T服從對數(shù)正態(tài)分布的組件稱為對數(shù)正態(tài)型組件，記作T～LN(μ,σ2)，其中μ為對數(shù)均值，σ為對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。該組件在貯存時間t的可靠度函數(shù)為

(2)

2.1.3 威布爾型組件可靠度

將貯存壽命T服從威布爾分布的組件稱為威布爾型組件，記作T～W(α,b)，其中尺度參數(shù)α>0，在工程上形狀參數(shù)b≥1。該組件在貯存時間t的可靠度函數(shù)為

(3)

2.2 初始貯存方案評估模型

若組件i的初始貯存數(shù)量為si，該組件在貯存時間t內(nèi)的任意時刻完好數(shù)量為n，則該組件完好的數(shù)量n≥M的達標(biāo)概率為

(4)

式中:Ri(t)為組件i在t時刻的貯存可靠度函數(shù)；M為規(guī)定的最低完好數(shù)量，顯然需si≥M。

對于由I類組件構(gòu)成的裝備，各組件之間為串聯(lián)關(guān)系，若各組件的初始貯存方案為s=[s1,s2,…,si,…sI],在t時間內(nèi)的任意時刻，該類裝備完好的數(shù)量為n，n≥M的達標(biāo)概率為

(5)

3 初始貯存方案優(yōu)化模型與算法設(shè)計

對于初始貯存方案優(yōu)化問題，建立模型時以貯存時間t內(nèi)的任意時刻，完好裝備數(shù)量大于M的概率指標(biāo)為約束條件，以尋求組件初始貯存方案的購置費用最低為優(yōu)化目標(biāo)。數(shù)學(xué)模型為

(6)

式中:ci為單個第i項組件的購置費用。

本文以達標(biāo)概率值為約束條件，運用邊際優(yōu)化方法求解上述模型，具體步驟如下：

步驟1初始化所有組件的貯存數(shù)量，令各組件貯存的初始數(shù)量，即方案s各項元素為M。

步驟2計算第i項組件的邊際效益值：

δ(i)={P(s+ones(i)|n≥M)-P(s|n≥M)}/ci

式中：ones(i)為一維數(shù)組，第i項元素為1，其他元素皆為0。

步驟3將δ(i)最大值所對應(yīng)的組件i配置數(shù)量加1,由此得到新的組件初始貯存方案矩陣s。

步驟4計算在新的貯存方案下，裝備在貯存時間t內(nèi)的任意時刻，裝備完好數(shù)量n大于M的概率P，并與規(guī)定的概率P0比較，如果P≥P0，算法結(jié)束，此時s為最優(yōu)配置結(jié)果；反之則轉(zhuǎn)步驟2繼續(xù)迭代運算。

邊際優(yōu)化算法相比其他優(yōu)化算法操作簡單、運算速度快、結(jié)果精度高，其最大優(yōu)勢在于算法迭代的整個過程中不丟失最優(yōu)解，即能夠保障整個費效曲線上的每個點都是最優(yōu)解，便于決策人員對結(jié)果進行分析和調(diào)整[21]。該算法在以備件短缺數(shù)為約束條件的備件優(yōu)化配置研究中得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了良好的效果。

4 算法復(fù)雜度分析

衡量算法是否具有較高的計算效率需要分析其算法復(fù)雜性。算法復(fù)雜性中，時間復(fù)雜度是衡量其計算效率的有效度量。針對3種可能的優(yōu)化方法，算法復(fù)雜性分析如下：

2) 智能優(yōu)化算法。若采用遺傳算法為主程序生成組件配置方案。設(shè)嵌套法需迭代iter次，每代產(chǎn)生種群大小為num，則其時間復(fù)雜度T2=O(iter·num·(log2num+1))，其中，O(iter·num·log2num)為遺傳算法本身的時間復(fù)雜度。

3) 本文算法。由第3節(jié)模型優(yōu)化步驟可知，在算法迭代過程中，每次迭代均需遍歷計算每類組件的邊際效益值，其時間復(fù)雜度為O(J)；而優(yōu)化方法的迭代次數(shù)同樣與組件種類密切相關(guān)，組件種類越多，迭代次數(shù)越多，迭代過程的時間復(fù)雜度為O(J)，本文優(yōu)化算法的時間復(fù)雜度為T3=O(J2)。

縱觀3種算法的時間復(fù)雜度，當(dāng)組件種類和數(shù)量規(guī)模較大時，有T1>T2>T3，而現(xiàn)有保障方案涉及組件種類和數(shù)量一般較多，上述不等式顯然成立，可得本文算法計算效率較高。

5 算例分析

假設(shè)某裝備由6類組件組成，各組件的壽命分布類型及參數(shù)如表1所示。

表1 裝備組件清單及相關(guān)參數(shù)

初始貯存期一般為1～3年， 令貯存期為t=3年，在建立初始庫存時，各組件的數(shù)量均為10，則在貯存期內(nèi)，各組件的可用數(shù)量變化如圖3所示。由圖3可知，隨著貯存時間的增長，各類組件的可用數(shù)量逐漸降低，不同類型的組件失效規(guī)律不同，組件2的可用數(shù)量下降幅度最高，組件6的可用數(shù)量下降幅度最低。裝備可用數(shù)量與可用數(shù)量最低的組件保持一致。若在建立的初始庫存中各組件的配置數(shù)量不加區(qū)分地同等看待，即各組件的配置數(shù)量相同，并不能保證裝備的可用數(shù)量一定最大。在組件貯存過程中應(yīng)結(jié)合其貯存失效規(guī)律合理配置組件的種類和數(shù)量，以使在組件采購費用最低的情況下裝備可用數(shù)量最高。

圖3 不同組件完好數(shù)量隨時間變化曲線

若裝備由6類不同類型的組件組成，其分布類型和可靠性參數(shù)如表1所示，組件初始貯存方案為[16,18,14,12,13,15]，在3年貯存期內(nèi)的任意時刻，將各組件的可用數(shù)量大于或等于11的達標(biāo)概率評估結(jié)果與模擬貯存過程進行多次仿真的結(jié)果進行對比，表1中指數(shù)型、對數(shù)正態(tài)型及威布爾型3種不同類型的組件，分別取一型進行分析，如圖4 ～圖6所示。將整個貯存期內(nèi)裝備可用數(shù)量大于或等于11的達標(biāo)概率的評估結(jié)果與模擬貯存過程進行多次仿真的結(jié)果進行比較，如圖7所示。

圖4 指數(shù)型組件1達標(biāo)概率評估曲線

圖5 對數(shù)正態(tài)型組件3達標(biāo)概率評估曲線

圖6 威布爾型組件5達標(biāo)概率評估曲線

圖7 裝備達標(biāo)概率評估曲線

將各圖解析算法的計算結(jié)果與仿真結(jié)果進行對比可知，本文建立的模型能夠較好地對各種不同壽命分布的組件及裝備在給定貯存方案下，貯存期內(nèi)任意時刻的達標(biāo)概率進行評估，具有較高的精度，與仿真結(jié)果基本重合，解析結(jié)果真實可信。

對于各組件參數(shù)由表1描述的裝備，要求在貯存期t內(nèi)的任意時刻，裝備完好數(shù)n≥M的概率P(n≥M)不低于閾值P0。已知：t=3，M=11，P0=0.91，按照第3節(jié)邊際優(yōu)化的算法，計算滿足要求的各組件最小貯存量。

表2為貯存方案的優(yōu)化過程，給出了每一步迭代計算的各組件的邊際效益值和增加組件的編號。如在原始貯存方案[11,11,11,11,11,11]下，組件1～6的邊際效益值分別為7.1×10-7，1.7× 10-6，5.6×10-7，1.2×10-6，1.2×10-6，1.2× 10-7，如表2所示，選取邊際效益值最大的組件即組件2數(shù)量加1，得到貯存方案[11,12,11,11,11,11]，計算其達標(biāo)概率是否滿足指標(biāo)要求，若不滿足則繼續(xù)迭代，計算各組件的邊際效益值，將邊際效益值最大的組件加1；若滿足則停止迭代，輸出對應(yīng)的組件貯存方案，如此循環(huán)迭代，最終得到貯存方案[18,20,15,17,16,13]即為滿足指標(biāo)要求的最優(yōu)方案。按照該方案配置各組件的貯存數(shù)量，裝備在3年的貯存期內(nèi)，可用數(shù)量大于11的概率為0.916，大于指標(biāo)要求，組件購置費用為3 598.6萬元。

表2 各組件貯存方案優(yōu)化過程

對比圖3表示的各可用組件數(shù)量隨貯存時間的變化情況，組件可用數(shù)量下降幅度由高到低依次為組件2、組件1、組件4、組件5、組件3和組件6。相應(yīng)地，若需要配置的組件數(shù)量滿足可用裝備數(shù)量大于某一固定值的要求，則需要配置的組件數(shù)量由高到低對應(yīng)的組件編號依次為組件2、組件1、組件4、組件5、組件3和組件6。觀察所得優(yōu)化方案[18,20,15,17,16,13]，各組件的初始貯存數(shù)量符合這一規(guī)律，較為合理。

在該算例中，如果采用窮舉法，待選方案數(shù)量至少為106個；采用本文算法，則最多只需33×5= 165次計算即可得到滿足要求的、效費比高的貯存方案。圖8中黑色曲線上的各數(shù)據(jù)點表示表2中優(yōu)化迭代過程每一步所得貯存方案的費用及其對應(yīng)的達標(biāo)概率，顯示了各優(yōu)化方案對應(yīng)的達標(biāo)概率和費用的變化過程，可用于回答“當(dāng)達標(biāo)概率指標(biāo)要求P0確定后，至少需要多少經(jīng)費采購組件”的問題。圖8藍色曲線各數(shù)據(jù)點表示的是以窮舉法產(chǎn)生的組件貯存方案對應(yīng)的達標(biāo)概率和購置費用，由該圖可知，本文優(yōu)化過程形成的曲線是采用窮舉法形成曲線的外包絡(luò)曲線。這意味著同等購置費用下，優(yōu)化后的方案的達標(biāo)率最高，即為性價比最高的方案。

圖8 窮舉法及本文算法計算的貯存方案效費曲線對比

分別采用窮舉法、智能優(yōu)化算法和本文算法求取符合達標(biāo)概率指標(biāo)要求的最優(yōu)組件配置方案，求取結(jié)果和計算時間如表3所示。由3種不同算法的計算結(jié)果可知，3種方法均能求得符合要求的最優(yōu)方案，但本文算法的計算時間最少，這與第4節(jié)進行的算法復(fù)雜性分析的結(jié)果一致。當(dāng)涉及組件種類較多，配置數(shù)量較大時，本文算法的優(yōu)勢將更加明顯，具有更強的適用性。

表3 各優(yōu)化算法的運行結(jié)果時間對比

6 結(jié) 論

1) 針對“長期貯存，一次使用”的裝備，開展組件初始貯存方案評估及優(yōu)化問題研究。分析了不同壽命分布貯存單元的可靠度模型，建立了貯存期內(nèi)組件及裝備完好數(shù)量評估模型；該模型能夠在組件貯存方案確定之后，評估貯存期內(nèi)各組件以及裝備完好數(shù)量滿足某一規(guī)定數(shù)值的概率。

2) 以裝備數(shù)量達標(biāo)概率指標(biāo)為約束條件，組件購置費用為優(yōu)化目標(biāo)，建立了組件初始貯存方案優(yōu)化模型，提出了基于邊際效益值的方案優(yōu)化算法。該優(yōu)化算法能夠在組件購置費用最低的情況下選出符合約束條件的方案，具有較高的計算效率，適合計算多種類、大批量的組件初始貯存方案。提出的模型和優(yōu)化算法可擴展至2層以上的裝備結(jié)構(gòu)，為裝備保障人員制定合理的裝備組件貯存方案提供決策支持。