Schwarz Christoffel 變換在曲流河地質(zhì)建模中的應(yīng)用

王玉風(fēng)，陳昭衡

（1.隴東學(xué)院能源工程學(xué)院，甘肅慶陽 745100；2.中國石油天然氣股份有限公司長慶油田分公司第八采油廠，陜西西安 710021）

曲流河致密砂巖儲層物性非均質(zhì)強，物性分布復(fù)雜，如何精確模擬曲流河沉積相致密砂巖儲層是油藏開發(fā)階段研究的一個核心內(nèi)容，但模擬要基于地質(zhì)靜態(tài)的地質(zhì)模型，地質(zhì)模型是對油氣藏的類型、幾何形態(tài)、規(guī)模大小、油藏內(nèi)部結(jié)構(gòu)、儲層參數(shù)及流體分布的高度概括，同時也是油藏綜合評價的地質(zhì)基礎(chǔ)、油藏數(shù)值模擬的必要參數(shù)以及油藏開發(fā)調(diào)整方案的直接依據(jù)。國內(nèi)對于曲流河的地質(zhì)建模方法，一般都是基于常規(guī)的地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法進行建模研究[1-5]?；诘刭|(zhì)統(tǒng)計學(xué)的屬性數(shù)據(jù)模擬，這些屬性數(shù)據(jù)分布的趨勢與變差函數(shù)有著密切的關(guān)系。在曲流河沉積的區(qū)域，河道多次變遷、改向使得很難用變差函數(shù)來控制約束屬性數(shù)據(jù)的方向。為此提出了Schwarz Christoffel 映射變換模型，將曲流河沿著河道映射到矩形區(qū)域，在矩形區(qū)域中按照常規(guī)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法進行模型建立并預(yù)測屬性參數(shù)。Schwarz Christoffel 變換能夠把一個二維空間上復(fù)雜邊界幾何體映射到另一個二維空間上形狀簡單的幾何體，從而可以簡化工程中復(fù)雜邊界問題的處理。因此借助Schwarz Christoffel 變換方法，把曲流河沿著河道方向映射到矩形區(qū)域，映射后的模型保證河道方向唯一性。在Schwarz Christoffel 變換方面，諸多學(xué)者做了大量的研究。從多邊形帶狀區(qū)域到矩形區(qū)域的Schwarz Christoffel 變換映射，需要借助帶狀過度區(qū)域輔助完成映射。先將多邊形帶狀區(qū)域映射到上半平面的兩端開口的帶狀過度區(qū)域，帶狀過度區(qū)域的高度為1，然后借助雅克比橢圓函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，將帶狀過度區(qū)域邊界映射到矩形區(qū)域邊界[7]。在Schwarz Christoffel 映射變數(shù)值計算時，多邊形帶狀區(qū)域形狀與矩形區(qū)域的形狀差異大，或映射點選擇不當(dāng)，將導(dǎo)致計算速度慢，計算結(jié)果精度低[8，9]。多邊形帶狀區(qū)域到帶狀過度區(qū)域的Schwarz Christoffel 變換數(shù)值計算時，存在奇異積分方程的計算。對于奇異積分方程處理時，需要借助高斯雅克比積分方法進行求解。高斯雅克比積分求解時的難點在于如何選擇積分節(jié)點數(shù)量及積分的路徑長度，Tobin A 和Eugenio Costamagna 提出了解決辦法[9，10]。Schwarz Christoffel 邊界映射計算都要受到邊界映射點位的約束，要遵循黎曼原理。王玉風(fēng)等根據(jù)文獻[11，12]對實參數(shù)的變換方法，結(jié)合文獻[7]變換思想，建立復(fù)參數(shù)與實參數(shù)的變換關(guān)系，解決了邊界映射參數(shù)的約束問題。

借鑒這些學(xué)者的研究成果，根據(jù)曲流河的特點，將帶狀不規(guī)則曲流河邊界進行離散，形成封閉的多邊形帶狀區(qū)域。根據(jù)Schwarz Christoffel 變換的基本思想及曲流河形狀與矩形區(qū)域形狀的相似關(guān)系，將曲流河邊界沿著河流的流向映射到矩形規(guī)則區(qū)域，曲流河中的井位等相關(guān)參數(shù)映射到規(guī)則矩形區(qū)域進行地質(zhì)模型的建立與分析。經(jīng)過映射之后，規(guī)則區(qū)域中河流的流向與矩形邊界平行或垂直，因此對于映射后的矩形區(qū)域油藏而言，儲層物性沿著河道的分布方向基本統(tǒng)一。通過上述映射變換的模擬，使得模擬的結(jié)果更加符合實際的沉積情況。

1 基本數(shù)學(xué)原理

在復(fù)平面w（封閉多邊形區(qū)域）上有N（N≥4）邊形，它的頂點與內(nèi)角分別為wb（k）和παk（k=1，2，…N）。將帶狀區(qū)域z 邊界上的點映射到復(fù)平面w 多邊形區(qū)域頂點的Schwarz Christoffel 映射公式為：

式中：A-伸縮系數(shù)；C-映射中心，m；wb（k）-多邊形區(qū)域邊界點，m；zb（k）-帶狀過度區(qū)域邊界點，m；fj（ξ）-分段函數(shù)，具體表達式如下：

式中：i-虛數(shù)單位；M-帶狀區(qū)域下邊界點的總個數(shù)；N-復(fù)平面w 多邊形區(qū)域頂點的總個數(shù)；θ+-帶狀區(qū)域左邊的無限遠點的角度，rad，則θ+=π；θ--帶狀區(qū)域右邊的無限遠點的角度，rad，則θ-=-π。

若已知矩形基本參數(shù)，即映射模量，則矩形區(qū)域邊界到帶狀區(qū)域邊界的Schwarz Christoffel 映射可由（3）式表示：

式中：ub（k）-矩形區(qū)域邊界點位，m；l-第一類橢圓函數(shù)的映射模量，由選擇映射的矩形頂點決定。關(guān)于（2）式與（3）式邊界映射的計算方法在文獻[6]中已有詳細論述。

2 實例分析

2.1 X 油藏基本情況

X 油田2000 年發(fā)現(xiàn)，位于鄂爾多斯盆地，其勘探開發(fā)主要經(jīng)歷了三個階段，第一階段15×104t 方案編制實施、第二階段全油田20×104t 方案編制實施滾動增儲上產(chǎn)、第三階段全油田50×104t 產(chǎn)能方案編制及實施。到2017 年7 月，X 油田砂巖油藏共鉆井78 口，其中直井50 口，水平井28 口，目前采油井70 口，累積采油24.48×104m3。2006 年8 月開始注水，目前注水井8 口，累積注水6.68×104m3。

X 砂巖油藏屬于河流相沉積，屬于小型的地層加背斜構(gòu)造復(fù)合圈閉，油藏整體無統(tǒng)一的油水界面，含油面積79.6 km2。含油范圍既受巖性尖滅線限制，也受構(gòu)造控制。針對X 砂巖油藏，采用測井曲線組合對比的方法，首先從取心井的骨架剖面出發(fā)，確定全區(qū)閉合的精細地層劃分對比方案，進而擴展到全區(qū)78 口直井，建立X 砂巖油藏精細的地層格架。研究區(qū)內(nèi)X 砂巖油藏厚度為8 m～26 m，總體上具有由西向東、由南向北逐漸減薄的趨勢。X 砂巖油藏地層自下而上劃分為5個砂層。X 砂巖油藏共計有78 口井，其中部分直井與斜井位于同一個位置，因此在建模過程中，選出本區(qū)域具有代表性的38 口井進行建模。

根據(jù)X 砂巖油藏沉積相分布情況，確定油藏的邊界，并將油藏的邊界進行離散。X 砂巖油藏邊界及井位分布（見圖1）。根據(jù)圖1 油藏邊界的形狀，按照第1 部分的方法確定矩形油藏邊界四個頂點，第一頂點為37號點，第二頂點為16 號點，第三頂點為17 號點，第四頂點為36 號點。

2.2 矩形區(qū)中地質(zhì)模型建立及物性參數(shù)的建立與分析

為了使映射后建立的矩形區(qū)域的模型與原地質(zhì)模型在尺度上具有一致性，對矩形區(qū)域中的地質(zhì)模型進行縮放。由于矩形邊界的第一點（37 點）位于坐標(biāo)原點，不存在平移，因此只需對帶狀區(qū)域邊界及帶狀區(qū)域中的井位乘以相應(yīng)的伸縮系數(shù)即可。根據(jù)映射伸縮系數(shù)的計算方法，計算得到x 方向的伸縮系數(shù)為2 462.986，y 方向的伸縮系數(shù)為22 230.606。因此在建立矩形區(qū)域的地質(zhì)模型時，對映射后矩形區(qū)域的井位及邊界點數(shù)據(jù)，分別乘以x 方向和y 方向?qū)?yīng)的伸縮系數(shù)，同時分別除以矩形寬度和矩形的高度。在構(gòu)造、地層模型的控制下，通過不同模擬方法比較，最終選用了砂層厚度控制的序貫高斯模擬方法，模擬了X 砂巖油藏在映射后矩形區(qū)域油藏中的孔隙度參數(shù)場的分布（見圖2），孔隙度沿著矩形區(qū)域油藏的高度方向呈現(xiàn)條帶狀的分布。

圖1 油藏邊界映射為矩形區(qū)域的頂點選擇結(jié)果

圖2 矩形區(qū)域中X 砂巖油藏孔隙度分布模擬結(jié)果圖

2.3 矩形區(qū)域地質(zhì)模型與原區(qū)域模型的比較

針對原始油藏的數(shù)據(jù)，在構(gòu)造、地層模型的控制下，采用序貫高斯模擬方法，模擬了X 砂巖油藏映射前的孔隙度參數(shù)場的分布模型（見圖3）。從圖3 四個圖采用序貫高斯模擬孔隙度的方向與變差函數(shù)分析的方向基本一致，在河流改向后有一段與孔隙度的變化方向與河流流向垂直，造成這種結(jié)果的主要原因是由于變差函數(shù)的方向性引起的。在第2 小層、第3 小層和第5 小層的模擬中，孔隙度都呈現(xiàn)出明顯的方向性，而且這個方向由變差函數(shù)的方向決定。

圖3 X 砂巖油藏映射變換前的孔隙度分布圖

圖4 從矩陣區(qū)域還原到實際油藏邊界的X 砂巖油藏孔隙度分布圖

將區(qū)域的地質(zhì)模型通過Schwarz Christoffel 逆變換，將屬性參數(shù)還原到原油藏的實際邊界區(qū)域中，還原后的孔隙度分布情況（見圖4）。通過圖4 可以看出，進行映射變換處理，孔隙度變化方向基本沿著河道方向，符合基本的地質(zhì)規(guī)律。矩形油藏的規(guī)則正交網(wǎng)格也被映射到實際油藏的模型中，也保持了一定的正交性。

3 結(jié)論及建議

根據(jù)Schwarz Christoffel 變換基本原理，建立曲流河邊界映射到矩形區(qū)域邊界的積分方程的數(shù)學(xué)模型。以鄂爾多斯盆地曲流河沉積的X 砂巖油藏為例，選擇了研究區(qū)域的38 口直井進行分析，得出直接采用變差函數(shù)分析，原地質(zhì)模型物性分布依賴于變差函數(shù)，而通過Schwarz Christoffel 映射變換，可以減弱變差函數(shù)對物性依賴性。通過適當(dāng)選擇的變換點位，使得曲流河中物性分布更加符合地質(zhì)規(guī)律。