一個(gè)函數(shù)不等式恒成立問題的兩種解法

曹 彬

(貴州省黔西第一中學(xué) 551500)

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，是歷年高考的熱點(diǎn)，函數(shù)題常常作為高考?jí)狠S題出現(xiàn).以研究函數(shù)性質(zhì)為主要解題手段的不等式稱為函數(shù)不等式，函數(shù)不等式恒成立問題是高考函數(shù)題中的重點(diǎn)，在高考試卷上較為常見.通常以一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考察函數(shù)的圖象與性質(zhì)，滲透換元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)新性，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到積極的作用.

函數(shù)不等式恒成立問題都要轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，但對(duì)于解析式較復(fù)雜的函數(shù)，學(xué)生普遍感到難以找到解決問題的切入點(diǎn)和突破口.本文旨在介紹洛必達(dá)法則應(yīng)用的同時(shí)，多種解法求一類特殊函數(shù)不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍.

一、問題的提出

已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若對(duì)任意x∈(1,+∞)，都有f(x)>0恒成立，求常數(shù)a的取值范圍.

這種問題通常轉(zhuǎn)化成討論f(x)在(1,+∞)上的最小值，而且常常用參變分離方法.如果仔細(xì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)f(1)=0，這種問題的解法就有數(shù)形結(jié)合法、參變分離法，下面分別介紹這兩種解法.

二、問題的解答

1.解法一(數(shù)形結(jié)合法)

因?yàn)閤>1，所以g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，且g(1)=f′(1)=2-a.

當(dāng)2-a≥0，即a≤2時(shí)，f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).由于f(1)=0，故滿足f(x)>0在(1,+∞)上恒成立.

綜上，a≤2.

評(píng)析這種解法就是參考答案給出的常規(guī)解法，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，通過討論函數(shù)在指定范圍內(nèi)是否有零點(diǎn)，逐步縮小參數(shù)的范圍并最終確定，但是找區(qū)間的端點(diǎn)是難點(diǎn).

2.解法二(參變分離法)

洛必達(dá)法則 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足：

(2)函數(shù)f(x)，g(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′(x)≠0；

評(píng)析這是最容易找到入手點(diǎn)的解法，但在最后階段卻出現(xiàn)疑惑，因?yàn)樵趚=1處的函數(shù)值不能直接解出，所以要用洛必達(dá)法則求極限值.

運(yùn)用上述兩種解法，可解決如下同類型題：已知函數(shù)f(x)=(1-x2)ex，當(dāng)x≥0時(shí)，都有f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范圍.

函數(shù)題的得分率歷來不高，學(xué)生普遍感到困難，分析有如下原因：需要對(duì)證明的等式或者不等式進(jìn)行變形，此過程需要技巧，經(jīng)驗(yàn)性很高，學(xué)生一般很難掌握；含有參數(shù)的問題需要分類討論，討論的類別較多，運(yùn)算量大還容易遺漏；對(duì)研究的函數(shù)不能畫出圖象，難以構(gòu)造出直觀模型輔助思考；很多函數(shù)題需要多次求導(dǎo).

所以，如果用高中知識(shí)解答高考函數(shù)題，對(duì)學(xué)生的思考靈活性、思維嚴(yán)密性、表達(dá)邏輯性等方面的要求較高，難度較大.