自錨式懸索橋吊索力缺失分析

蔣俊秋，劉祥宇，陳桂成

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶市 400074； 2.重慶中設(shè)工程設(shè)計(jì)股份有限公司)

近年來(lái)，自錨式懸索橋作為一種新的橋梁結(jié)構(gòu)形式，由于其具有不需要設(shè)置龐大的地錨、對(duì)地基要求相對(duì)較低等優(yōu)勢(shì)，成為中小跨橋梁結(jié)構(gòu)中的熱門橋型。

自錨式懸索橋是一種自平衡體系，其受力變化比地錨式懸索橋更復(fù)雜。目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)地錨式懸索橋的研究已經(jīng)相對(duì)成熟，而對(duì)自錨式懸索橋的研究較少。故應(yīng)結(jié)合自錨式懸索橋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步研究。對(duì)于自錨式懸索橋這一類纜索橋梁，隨著時(shí)間的推移難免會(huì)出現(xiàn)索力缺失的情況，從而影響整體結(jié)構(gòu)受力。與新橋修建時(shí)缺乏吊索不同：一方面，自錨式懸索橋修建時(shí)有各種臨時(shí)設(shè)施保證施工階段的結(jié)構(gòu)受力與安全，而后期吊索力缺失時(shí)沒(méi)有這些臨時(shí)設(shè)施；另一方面，新橋修建時(shí)吊索是按照特定的順序進(jìn)行張拉，而后期吊索力缺失具有隨機(jī)性，兩者之間受力模式有所區(qū)別且前者更不利于結(jié)構(gòu)受力。因此，有必要對(duì)其吊索力缺失進(jìn)行分析。

在自錨式懸索橋索力缺失情況中最不利是斷索(即吊索力損失100%)，而其他索力損失的情況(如錨頭松動(dòng)，吊索松弛、老化，以及施工過(guò)程中各種因素可能會(huì)對(duì)吊索損失產(chǎn)生的影響)，可按其索力損失的比例，參考斷索情況進(jìn)行插值參考計(jì)算。同時(shí)，由于多根吊索的斷裂可由單根吊索依次進(jìn)行疊加計(jì)算(各吊索斷裂處索力為零)。因此，該文僅以自錨式懸索橋中出現(xiàn)單根吊索斷裂的情況為例進(jìn)行計(jì)算分析，多根吊索力缺失可參照此方法進(jìn)行逐一疊加計(jì)算。

該文旨在分析自錨式懸索橋的索力缺失對(duì)全橋結(jié)構(gòu)的影響，通過(guò)理論推導(dǎo)，得到相應(yīng)理論解，完善自錨式懸索橋設(shè)計(jì)理論并對(duì)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 計(jì)算原理

該文考慮纜-梁聯(lián)合作用，將自錨式懸索橋拆分為主纜與加勁梁兩部分獨(dú)立分析，兩者通過(guò)吊索的變形協(xié)調(diào)條件進(jìn)行耦合，如圖1所示。

圖1 計(jì)算方法原理圖

令原成橋狀態(tài)為工況1，去掉某一吊索后狀態(tài)為工況2。

主纜部分主要通過(guò)工況1給定的各吊點(diǎn)間索段的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度以及吊索間距，求得滿足工況2要求的主纜線形，同時(shí)求出工況2狀態(tài)下，主纜端部反力、吊索索力。

將加勁梁從整體結(jié)構(gòu)中分離出來(lái)采用膜理論進(jìn)行分析。忽略梁體剪切變形、吊索的伸縮和傾斜變形對(duì)結(jié)構(gòu)受力的影響，將離散的吊索力簡(jiǎn)化為連續(xù)的均布荷載，作用于加勁梁上。因此，吊索力損失可簡(jiǎn)化為加勁梁相應(yīng)位置所增加的附加荷載，將其直接施加于加勁梁上，得到吊索力損失后加勁梁所受的附加彎矩、撓度變形等。

2 主纜的幾何非線性分析

在考慮主纜非線性分析中，主纜的彎曲剛度可忽略不計(jì)，吊索力、索夾自重都以等效集中力Ti′方式作用在其相應(yīng)位置上，并注意到計(jì)算的是主纜有應(yīng)力平衡位置，其變形已基本完成，因此在主纜計(jì)算過(guò)程中不伸長(zhǎng)。

如圖2，取主纜吊索間一段無(wú)伸長(zhǎng)的自由懸索，其坐標(biāo)為yi向下為正，單位纜長(zhǎng)重為q，任一處的Lagrange坐標(biāo)為s，相應(yīng)笛卡爾坐標(biāo)為(x,y)，則任意索自由索段端點(diǎn)力與坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系需滿足：

(1)

(2)

圖2 索形力學(xué)模型簡(jiǎn)化圖

吊索間任一索段都必須滿足式(1)、(2)，令Vi=V，Hi=H，于是：

(3)

(4)

式中：Li為i號(hào)梁段吊索間距；Hi為i號(hào)梁段主纜吊點(diǎn)高差；si為i號(hào)梁段主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度。

成橋狀態(tài)有：

(5)

通常情況下有：Lm-1=Lm

對(duì)僅有垂直吊桿的情況：

Vm=Vm-1-(Tm+qsm-1)

(6)

3 主纜分析

3.1 主纜方程的求解

(7)

故，可令：

Vm-1=a(Vm-1-qsm-1)+x，可得：

(8)

(9)

將式(8)代入式(9)：

(10)

整理可得：

4a2x2+4a(Vm-1-qsm-1)(a2-1)x-(a2-1)H2=0

(11)

將式(8)代入式(11)，整理得：

4a2x2-4aqsm-1(a+1)x+(a2-1)H2=0

(12)

此方程的解為：

(13)

(14)

(15)

對(duì)Vm-1有如下取值：

若hm-1>0時(shí)(m-1梁段主纜吊點(diǎn)左高右低)：

(16)

若hm-1<0時(shí)(m-1梁段主纜吊點(diǎn)左低右高)：

(17)

3.2 主纜水平分力變化分析

索力損失后，(m-1、m)節(jié)段合二為一，如圖3所示。參考結(jié)構(gòu)力學(xué)中位移法的思想，采取如下方法進(jìn)行求解：

圖3 工況2索形力學(xué)模型簡(jiǎn)化圖

(1) 首先取出(m-1、m)節(jié)段，并將m-1、m兩點(diǎn)固定[固定后(m-1、m)節(jié)段受力變化不影響主纜其他節(jié)段]，即：主纜Vi通過(guò)(m-1、m)節(jié)段前后與原成橋狀態(tài)保持不變。

(2) 令原成橋階段m點(diǎn)處的吊索力為Tm，由于主纜豎向分力V的變化與其節(jié)段無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度呈線性關(guān)系，故將Tm按主纜節(jié)段無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度進(jìn)行分配，顯然可得：

由式(16)可得：

正是由于Tm的改變使得H、V發(fā)生了變化。

易知：

Vm-1=qsm-1+Vm+Tm

(18)

(19)

可得：

(20)

(21)

(3) 根據(jù)上述分析，固定m-1、m兩點(diǎn)后，m-1、m兩節(jié)段主纜水平分力應(yīng)滿足式(21)；對(duì)于主纜的其他節(jié)段，應(yīng)滿足式(20)。

去掉m-1、m處固定約束后，自錨式懸索橋各主纜節(jié)段間相互連續(xù)，整個(gè)主纜所受的水平分力H′應(yīng)處處相等。因此，對(duì)式(20)、(21)進(jìn)行修正。

(4) 主纜各節(jié)段水平方向剛度與其主纜節(jié)段矢跨比有關(guān)(可以認(rèn)為主纜節(jié)段水平剛度與相應(yīng)主纜節(jié)段水平分力線性相關(guān))，因此，可將式(20)、(21)中的主纜水平分力按其相應(yīng)主纜節(jié)段間的水平距離以及水平剛度進(jìn)行分配。

對(duì)于吊索等間距的情況，可令主纜總共分為n個(gè)節(jié)段，故有：

(22)

(23)

通過(guò)式(23)可知：索力損失后吊索水平分力較原成橋狀態(tài)有所下降。這是由于吊索力的損失，對(duì)主纜來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于卸載，導(dǎo)致主纜內(nèi)力減小，從而使其水平分力減小。

索力損失對(duì)主纜影響程度與自錨式懸索橋主纜被吊點(diǎn)分割數(shù)n(表現(xiàn)主纜與加勁梁聯(lián)系的緊密程度，聯(lián)系越緊密影響越小)、索力損失處吊點(diǎn)原成橋階段豎向分力Vm與損失的吊索力Tm及其主纜相鄰節(jié)段無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)sm-1與sm密切相關(guān)。

自錨式懸索橋主纜、加勁梁共同承擔(dān)荷載，荷載不變的情況下，主纜受力的減小勢(shì)必會(huì)增加加勁梁的受力、變形。其中，當(dāng)主跨跨中吊索力出現(xiàn)損失時(shí)，加勁梁產(chǎn)生的撓度、附加彎矩最大，對(duì)加勁梁最不利。

4 吊索、加勁梁分析

4.1 吊索力分析

吊索力缺失后，缺失點(diǎn)附近主纜節(jié)段的水平距離必然會(huì)發(fā)生變化，因此，不能直接進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)采用如下方法分析(令n#吊點(diǎn)索力缺失)：

(1) 根據(jù)自錨式懸索橋主纜位移的弱相干性，用缺失后的主纜水平分力H′替換原水平分力H1代入式(6)、(15)，計(jì)算得到一組新的吊索力Ti′，同時(shí)將n處的Tn′根據(jù)其相鄰主纜節(jié)段無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度分為Tn′L與Tn′R(Tn′=Tn′L+Tn′R)。

(2)n#吊點(diǎn)左側(cè)吊索力分析。

故有：

因此，可得：

(24)

從而通過(guò)式：Ti=ΔiL+Ti′(i

n#吊點(diǎn)右側(cè)各吊索力參照步驟(2)進(jìn)行計(jì)算，不再贅述。

4.2 加勁梁受力近似分析

由于加勁梁受力與普通梁的受力相類似，具有較大的剛度，且吊索力分布較為均勻，可對(duì)加勁梁在吊索力缺失的受力進(jìn)行近似分析：

考慮加勁梁整體模型，忽略梁體剪切變形、吊索伸縮以及傾斜變形對(duì)結(jié)構(gòu)受力的影響，將離散的吊桿簡(jiǎn)化為一連續(xù)膜。

成橋后，加勁梁主要受自重荷載qc(方向向下)、吊索力荷載qp(方向向上)以及主纜水平分力H′共同作用。對(duì)于豎向荷載，由于吊索力分布基本均勻，可視為均布荷載，故作用于加勁梁上的荷載為：

q′=qc-qp

圖4為某3跨自錨式懸索橋加勁梁受力圖示(邊跨跨徑為l1，中跨跨徑為l2，令l2=al1)。

圖4 自錨式懸索橋加勁梁受力圖示

圖5 索力損失后加勁梁受力圖示

根據(jù)之前的分析可知：跨中吊索力損失對(duì)加勁梁最不利。因此，以跨中吊索力缺失為例，分析加勁梁受力情況(取加勁梁無(wú)預(yù)拱度的情況)。

由于加勁梁受力是線性的，可在原成橋狀態(tài)的基礎(chǔ)上求得各附加荷載后根據(jù)力的疊加原理，將各附加荷載分別進(jìn)行疊加，如圖6所示。

圖6 加勁梁所受附加荷載圖示

其中Δq=qp-qp′，考慮到吊索間距Li《l2，可以將原跨中的均布荷載簡(jiǎn)化為一集中荷載F進(jìn)行近似分析，F(xiàn)=(qc-Δq)Li-2ΔT′，見(jiàn)圖7。

圖7 加勁梁所受附加荷載簡(jiǎn)化圖示

通過(guò)位移法求得圖7結(jié)構(gòu)彎矩圖，如圖8所示。

圖8 加勁梁所受附加荷載彎矩圖(1)

M1～M6即為跨中吊索力損失后豎向荷載作用下加勁梁所增加的附加彎矩，與加勁梁水平荷載產(chǎn)生的彎矩相疊加即可得到其最終附加彎矩，令l2=al1。

取圖8所示坐標(biāo)系：

可得：

(25)

式中：

取圖9所示坐標(biāo)系：

圖9 加勁梁所受附加荷載彎矩圖(2)

BC段彎矩為：

BC段邊界條件(根據(jù)轉(zhuǎn)角連續(xù)性)：

(26)

式中：

由此，在分析吊索力缺失對(duì)加勁梁整體受力影響時(shí)，將索力缺失轉(zhuǎn)換為附加荷載作用于加勁梁上，并與加勁梁原受力狀態(tài)進(jìn)行疊加，從而得到其受到影響后的最終狀態(tài)。

此外，由于加勁梁所受的吊索力并非完全的均布荷載(具有離散性)。因此，在對(duì)其進(jìn)行彎矩、剪力計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)各吊索力進(jìn)行求解。同時(shí)，加勁梁為壓彎構(gòu)件，在計(jì)算時(shí)須對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定分析，通過(guò)對(duì)各加勁梁節(jié)段進(jìn)行分析可知：加勁梁上各吊點(diǎn)對(duì)加勁梁會(huì)產(chǎn)生約束作用，有利于加勁梁的穩(wěn)定；某吊點(diǎn)索力缺失后，缺失點(diǎn)附近節(jié)段合二為一，其有效計(jì)算長(zhǎng)度增加，穩(wěn)定性變?nèi)酢?/p>

5 其他吊索力缺失與插值計(jì)算

5.1 吊索有效截面減小

由于受到各方面因素的影響(如吊索先天缺陷、管養(yǎng)不到位、銹蝕等)，可能會(huì)引起吊索有效截面的減小，從而引起吊索力發(fā)生變化影響全橋受力。

此類工況可進(jìn)行簡(jiǎn)化分析，根據(jù)先前的結(jié)論，吊索力發(fā)生變化時(shí)，取相應(yīng)吊索對(duì)應(yīng)的部分節(jié)段進(jìn)行分析。

當(dāng)n#吊索有效截面出現(xiàn)缺失時(shí)：

(1) 首先，固定n#吊索對(duì)應(yīng)的主纜以及加勁梁節(jié)段吊點(diǎn)，使得該處主纜、吊索、加勁梁各部分間受力變化互不影響。同時(shí)令n#吊索有效截面積減小后與先前之比為v，且該吊索原索力為Tn。

此時(shí)，主纜、加勁梁線形與n#吊索有效截面缺失前一樣，因此在n#吊索主纜與加勁梁吊點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的吊索力為Tn；對(duì)于n#吊索，由于其有效截面與原截面之比為v，且吊索索長(zhǎng)未發(fā)生變化，因此，在此狀態(tài)下n#吊索的索力為vTn。

(2) 釋放n#吊索對(duì)應(yīng)的固定約束，由于Tn>vTn，此時(shí)，主纜、吊索、加勁梁吊點(diǎn)處吊索力重分布，從而達(dá)到平衡。

在此過(guò)程中，相應(yīng)主纜吊點(diǎn)向上移動(dòng)，加勁梁吊點(diǎn)向下移動(dòng)，吊索伸長(zhǎng)，即n#吊索所對(duì)應(yīng)的主纜與加勁梁吊點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的吊索力由Tn減小，n#吊索力由vTn增大。達(dá)到平衡時(shí)，Tn′∈[vTn,Tn)。

由之前的分析可得，吊索力缺失，對(duì)主纜來(lái)說(shuō)相當(dāng)于卸載，且對(duì)加勁梁會(huì)產(chǎn)生不利影響，應(yīng)重點(diǎn)分析此類工況對(duì)加勁梁的影響。出于對(duì)橋梁設(shè)計(jì)偏安全考慮，可取Tn′=vTn，根據(jù)前文的等效附加荷載分析插值進(jìn)行計(jì)算。

5.2 吊索力缺失的插值計(jì)算

該文考慮自錨式懸索橋的纜-梁聯(lián)合作用，將自錨式懸索橋拆分為主纜與加勁梁兩部分獨(dú)立分析。

對(duì)于加勁梁部分，由于其剛度較大，且材料均處于彈性階段，滿足線彈性理論與疊加原理，因此，可根據(jù)吊索力的實(shí)際損失與其斷索時(shí)的計(jì)算分析對(duì)其進(jìn)行線性插值。

對(duì)于主纜部分，雖然其受幾何非線性的影響，但針對(duì)單根吊索的索力缺失對(duì)主纜整體影響非常有限。可認(rèn)為，單根吊索力缺失對(duì)主纜結(jié)構(gòu)的影響是滿足線性理論的，可根據(jù)此吊索力的實(shí)際損失與其斷索時(shí)的計(jì)算分析對(duì)其進(jìn)行線性插值。

針對(duì)實(shí)際工程中可能出現(xiàn)的多根吊索力缺失情況，計(jì)算時(shí)應(yīng)逐一對(duì)每一根吊索進(jìn)行迭代計(jì)算，不可直接疊加。

6 算例分析

某自錨式懸索橋，跨徑布置為(150+406+150) m，邊跨索距為(14.5+9×13.5+14) m，加勁梁錨固點(diǎn)與主纜理論頂點(diǎn)高差85 m；中跨索距布置為(14+28×13.5+14) m。

加勁梁：慣性矩I=4.428 675 m4；彈性模量E=2.1×105MPa；一期+二期恒載q=132 kN/m。

主纜：截面面積A=0.103 8 m2；彈性模量E=1.95×105MPa；主纜自重q=8.145 kN/m；矢跨比f(wàn)/L=1/5.8。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略索夾及吊索自重，且不作索鞍修正，僅以主纜理論頂點(diǎn)計(jì)算，經(jīng)過(guò)計(jì)算，其成橋階段主纜水平反力為H=40 433.8 kN，取其主跨分析，如圖10所示。

圖10 某自錨式懸索橋總體布置圖(單位:m)

以跨中26#吊索斷索(索力缺失100%)為例，分析索力缺失對(duì)自錨式懸索橋結(jié)構(gòu)的影響。

6.1 由成橋狀態(tài)驗(yàn)證上述計(jì)算方法

原成橋狀態(tài)初始水平分力通過(guò)式(20)計(jì)算。

根據(jù)算例條件可得：

q=8.145 kN/m

s25=13.503 4 m

T26=1 767.7 kN

L=13.5 m

代入式(20)，可得：

有限元計(jì)算：

H1=40 980.6 kN

故有：

通過(guò)H、si、q、Li按各主纜節(jié)段分別計(jì)算，得到各吊索力如表1所示。

6.2 吊索力缺失分析

(1) 吊索缺失后水平分力計(jì)算

跨中吊索力缺失后，主纜水平分力通過(guò)式(22)計(jì)算。得：

表1 吊索力計(jì)算結(jié)果對(duì)比

H1′=40 926 kN

故有：

吊索力缺失后，主纜水平分力稍有減小，主纜整體受力減小。

(2) 吊索力損失后吊索力計(jì)算

計(jì)算可得跨中吊索力缺失后，各吊索力如表2及圖11所示。

表2 索力缺失后吊索力計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖11 吊索力分布圖

(3) 索力缺失對(duì)加勁梁影響近似計(jì)算

計(jì)算圖示見(jiàn)圖12。

圖12 加勁梁所受附加荷載圖示

根據(jù)4.2節(jié)分析，可得，qp=qc=132 kN/m。同時(shí)，將之前所計(jì)算的索力缺失后各吊索力(除缺失點(diǎn)相鄰吊索)進(jìn)行均攤，可得qp′=131.708 kN/m。

因此，可得：

H′=41 490.986 kN

ΔT=874.793 kN

Δq=qp-qp′=0.292 kN/m

F=(qc-Δq)Li-2ΔT′=28.472 kN

yc=0.046 m

有限元計(jì)算：

yc1=0.047 m

根據(jù)索力缺失后各吊索具體索力對(duì)加勁梁進(jìn)行分析，得到索力缺失后加勁梁剪力圖、彎矩圖如圖13、14所示。

由圖13、14可知：

圖13 加勁梁剪力圖

圖14 加勁梁彎矩圖

(1) 吊索力缺失后，主纜水平分力稍有減小，主纜整體受力減小。

(2) 跨中吊點(diǎn)相鄰兩側(cè)附近吊索力明顯增大，而遠(yuǎn)離索力缺失點(diǎn)的吊索力較原成橋狀態(tài)有所減??；跨中吊索缺失后其相鄰吊索力增大20%～30%。

(3) 雖然加勁梁在索力缺失的吊點(diǎn)處出現(xiàn)較小的撓度，但加勁梁彎矩較成橋狀態(tài)有較大變化，且加勁梁穩(wěn)定性變差，應(yīng)引起重視。其受力變化與加勁梁邊中跨比、加勁梁材料與結(jié)構(gòu)形式以及吊索力及分布有關(guān)。

此外，索力損失對(duì)自錨式懸索橋受力、變形影響還與主纜與加勁梁聯(lián)系的緊密程度相關(guān)。主纜加勁梁聯(lián)系越緊密，式中n越大，索力缺失所造成的影響越小，反之，則越大。

綜上所述：該文計(jì)算方法準(zhǔn)確、可靠、滿足精度要求。公式化的近似理論解，對(duì)完善自錨式懸索橋設(shè)計(jì)理論，提高對(duì)結(jié)構(gòu)整體力學(xué)性能的把握具有參考價(jià)值。

7 結(jié)論

(1) 基于分段懸鏈線理論及膜理論提出自錨式懸索橋成橋階段以及吊索力缺失影響分析方法，可準(zhǔn)確分析自錨式懸索橋成橋階段受力以及吊索力缺失后橋梁結(jié)構(gòu)的受力與變形。

(2) 考慮纜-梁聯(lián)合作用，對(duì)分段懸鏈線理論方程結(jié)合自錨式懸索橋受力特點(diǎn)進(jìn)行求解，考慮非線性，得到主纜節(jié)段受力的近似理論解，在此基礎(chǔ)上，對(duì)結(jié)構(gòu)吊索力缺失的各種情況進(jìn)行分析，為完善自錨式懸索橋設(shè)計(jì)理論，提高對(duì)結(jié)構(gòu)整體力學(xué)性能的把握具有參考價(jià)值。

(3) 從計(jì)算方法、過(guò)程及結(jié)果與有限元法對(duì)比可以看出：該方法較為可靠，精度較高；公式化的計(jì)算方法，便于對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論分析以及編程計(jì)算，簡(jiǎn)化了自錨式懸索橋非線性計(jì)算。