基于分數(shù)階拓展算子GM(1,1)模型的高速公路養(yǎng)護成本預測

向紅艷, 徐蓮怡

(重慶交通大學 交通運輸學院，重慶市 400074)

隨著中國高速公路里程的快速增長，未來將全面進入高速公路網(wǎng)絡(luò)化運營。高速公路的大量建設(shè)必然帶來后期巨大的公路養(yǎng)護和維護任務(wù)。該文通過對歷年高速公路養(yǎng)護成本數(shù)據(jù)的分析，嘗試對養(yǎng)護成本的復雜性和隨機性進行研究，探索各類別養(yǎng)護成本的變化趨勢，對未來的養(yǎng)護成本進行預測。對高速公路運營管理具有重要意義，有利于成本管理從事后核算向事前、事中控制逐步轉(zhuǎn)變。

目前，國內(nèi)外研究人員在高速公路養(yǎng)護成本預測方面開展了廣泛的研究。朱合利等運用系統(tǒng)工程學方法，對高速公路養(yǎng)護成本影響因素進行了識別，構(gòu)建了養(yǎng)護成本分析的解釋結(jié)構(gòu)模型(ISM)和多級遞階因素結(jié)構(gòu)模型，對成本要素的邏輯關(guān)系進行了研究；于英等運用邊際成本原理，將高速公路劃分為若干單元，建立了高速公路交通流量、道路長度、車道數(shù)、匝道數(shù)、材料設(shè)備與養(yǎng)護成本之間的多元回歸分析數(shù)學模型，結(jié)果表明，養(yǎng)護成本隨交通流量和道路長度成對數(shù)變化；邱兆文等在高速公路養(yǎng)護費用測算方法中，構(gòu)建了養(yǎng)護維修率指標體系，提出了基于綜合路況的單公里養(yǎng)護維修費用計算模型，為養(yǎng)護經(jīng)費的合理分配提供決策依據(jù)。

上述模型對養(yǎng)護成本的構(gòu)成和影響因素進行了充分研究，但由于影響因素的量化和數(shù)據(jù)收集十分困難，模型精度有限。該文基于大量歷史成本數(shù)據(jù)，運用灰色模型處理數(shù)據(jù)，建立更為精準的養(yǎng)護成本預測模型，以利于解析養(yǎng)護成本的變化趨勢，提高預測精度。

1 高速公路養(yǎng)護成本的特征分析

高速公路建設(shè)的技術(shù)標準高，其養(yǎng)護工作涉及面廣、工作量大，往往需要使用多種設(shè)備，機械費用高，以上因素造成高速公路養(yǎng)護綜合成本較高。隨著高速公路運營時間增長，交通量逐年增加、大型貨車超載行駛，對高速公路的破壞不斷增多，給養(yǎng)護工作帶來很大困難。

1.1 養(yǎng)護成本構(gòu)成分析

高速公路養(yǎng)護是對路基工程、路面工程、橋梁隧道工程、交通工程、綠化工程、收費設(shè)施工程等附屬設(shè)施的養(yǎng)護，通過養(yǎng)護維修保養(yǎng)使得高速公路達到較好的服務(wù)水平。通過多部門數(shù)據(jù)進行匯總整理，按不同性質(zhì)歸類口徑，形成有研究價值的成本數(shù)據(jù)。主要養(yǎng)護成本可分為：公路日常養(yǎng)護成本、公路專項中修養(yǎng)護成本、公路大修養(yǎng)護成本3類，其養(yǎng)護分類、養(yǎng)護主要內(nèi)容、特點見表1。

表1 高速公路養(yǎng)護成本的構(gòu)成分析

1.2 養(yǎng)護成本變化趨勢及特征

高速公路投資周期長，為了使高速公路保持一定的服務(wù)水平，在公路運營期間，需不斷投入資金，對公路進行定期的日常養(yǎng)護與大、中修養(yǎng)護。高速公路養(yǎng)護成本具有大規(guī)模、多類別、低價值密度和多變化等特點，其成本構(gòu)成復雜、涉及面廣、影響因素較多。

(1) 日常養(yǎng)護費用特征

一般情況下，公路運營初期，車流量較小，無專項中修、大修養(yǎng)護成本支出，日常養(yǎng)護成本的路基、路面、橋涵、隧道的養(yǎng)護費用呈逐年緩慢增加趨勢，占日常養(yǎng)護費用約30%，安全設(shè)施維護占日常養(yǎng)護費用約20%，公路災(zāi)害防御及搶修費用僅在發(fā)生年限支出，具有不可抗性和不可預測性。

(2) 專項中修費用特征

隨著運營年限增長，交通量亦快速增長。高速公路病害越來越多，需定期對公路進行專項中修，專修費用在總養(yǎng)護費用中所占比例越來越大。專項中修所產(chǎn)生的費用跟交通量、建設(shè)時期的技術(shù)水平、施工水平、材料及養(yǎng)護管理水平有關(guān)。

(3) 大修費用特征

大修工程費用一般在公路運營10年后產(chǎn)生，隨著運營后期高速公路及其附屬設(shè)施達到其服務(wù)周期，一般按照12～15年一次的頻率考慮綜合修理，使之全面恢復至原設(shè)計狀態(tài)。

2 基于分數(shù)階拓展算子的養(yǎng)護成本預測灰色模型

2.1 建模思路

高速公路養(yǎng)護成本預測，其影響因素十分復雜，且數(shù)據(jù)在記錄過程中存在計算誤差、人工誤差、設(shè)備誤差等多種誤差?；疑A測模型在應(yīng)對數(shù)據(jù)缺失或信息不足方面，較之其他預測方法具有先天的優(yōu)勢，對高速公路大數(shù)據(jù)養(yǎng)護成本預測優(yōu)勢更為明顯。

灰色模型是鄧聚龍教授于1984年首次提出，隨后陳錦云、劉思峰、李寶林、宋中民、王義鬧、謝乃明、王正新、崔杰等研究人員以經(jīng)典GM(1,1)模型為基礎(chǔ)，將單序列拓展到多序列，將一階拓展到多階，形成以GM(n,h)模型為主要類型的灰色預測模型。如今，灰色預測模型灰色預測已經(jīng)在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、社會、經(jīng)濟、交通、能源、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，成功地解決了生產(chǎn)、科研、管理中的大量現(xiàn)實問題。灰色模型是通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求其變化規(guī)律，避免了各因素之間的影響，只考慮總體的發(fā)展趨勢，且灰色序列生成可弱化表象復雜、數(shù)據(jù)離散的客觀系統(tǒng)的隨機性，挖掘出其蘊含的內(nèi)在規(guī)律。高速公路養(yǎng)護成本影響因素多而復雜，考慮成本的構(gòu)成體系、各因素對成本的影響，以歷史數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過對數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性和內(nèi)在特征的分析，提取有顯著規(guī)律的成本初始數(shù)據(jù)，采用分數(shù)階拓展算子的灰色預測模型，得到精度更高的預測結(jié)果。建模過程中設(shè)置調(diào)節(jié)分子階數(shù)和迭代算法，不斷生成新的目標成本序列，并多次迭代得到預測結(jié)果，可大大提高養(yǎng)護成本預測值的準確度。

2.2 養(yǎng)護成本預測建模

基于灰色理論的養(yǎng)護成本預測算法是將實測數(shù)據(jù)X(0)作為輸入，將X(0)的r分數(shù)階累加生成序列X(r)進行均值處理后的Z(r)作為建模數(shù)據(jù)，X(r)預測值經(jīng)過r分數(shù)階累減還原為原始序列X(0)的預測值。

假設(shè)X(0)={x0(1),x0(2),…,x0(n)}為原始養(yǎng)護成本數(shù)據(jù)，其中n為序列長度，對其進行r階累加生成處理：

X(r)={x(r)(1),x(r)(2),…x(r)(n)}

(1)

其中：

(2)

x(r)(k)+ax(r)(k)=b

(3)

當r=1時，x(0)(k)+ax(r)(k)=b變?yōu)閤(0)(k)+ax(1)(k)=b。

使用X(0)的r分數(shù)階累加生成序列X(r)、進行均值處理的Z(r)={z(0)(1),z(0)(2),…,z(0)(n)}作為建模數(shù)據(jù)，其中：

(4)

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(5)

當r=1時，x(r-1)(k)+az(r)(k)=b變?yōu)閤(0)(k)+az(1)(k)=bX(-r)={x(-r)(1),x(-r)(2),…,x(-r)(n)}為X(0)的r階累減生成算子，其中：

(6)

2.3 參數(shù)標定

(7)

其中Y、B分別為：

(8)

(9)

分數(shù)階拓展算子GM(1,1)模型x(r-1)(k)+az(r)(k)=b的時間響應(yīng)序列為：

(10)

還原值為：

(11)

(12)

2.4 預測效果評價

為評價模型的預測效果，該文運用結(jié)果比較法，即通過觀測數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)相比較，計算預測誤差。設(shè)ε(k)表示預測誤差，則：

(13)

令Δk為相對誤差，Δ為養(yǎng)護成本序列的平均相對誤差，則x(0)(k)序列的平均相對誤差檢驗公式為：

(14)

(15)

令S(X)為序列均方根誤差，則x(0)(k)序列的均方根誤差檢驗公式為：

(16)

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

以某高速公路歷年養(yǎng)護成本數(shù)據(jù)為例，按照1.1節(jié)中所述成本結(jié)構(gòu)進行統(tǒng)計。得到18類共8年的數(shù)據(jù)。利用缺失數(shù)據(jù)填補和異常數(shù)據(jù)剔除等方法對數(shù)據(jù)進行預處理，得到初始成本時間序列。選取數(shù)據(jù)樣本較多且具有周期性變化的日常養(yǎng)護成本數(shù)據(jù)，除去具有不可抗性的公路災(zāi)害防御及搶修和其他兩類成本，剩余10類成本分類數(shù)據(jù)見表2。利用10組數(shù)據(jù)建立灰色預測模型，得到預測結(jié)果并分析。

3.2 預測結(jié)果及分析

以路面養(yǎng)護成本預測為例，取r=0.9，用分數(shù)階拓展算子GM(1,1)模型對其進行模擬，得：X(0.9)={21.80,199.78,199.76,297.65,418.09,553.56,707.13,846.59}；計算發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，取a=-0.094 5，b=81.100 4，計算GM(1,1)模型對應(yīng)的微分方程，得：

表2 相關(guān)養(yǎng)護成本數(shù)據(jù)

表3 預測結(jié)果及誤差分析

由表3可知：r=1的GM(1,1)模型平均相對誤差、均方根誤差略大于r=0.9的分數(shù)階拓展算子GM(1,1)模型?？傮w來說，經(jīng)過殘差檢驗，分數(shù)階算子GM(1,1)模型預測精度都達到了合格標準，擬合精度較好，預測模型的可信度較高，可用此模型預測高速公路運營期養(yǎng)護維修保養(yǎng)費用(圖1)。

圖1 路面養(yǎng)護成本預測結(jié)果

由圖1可知：分數(shù)階拓展算子GM(1,1)模型對高速公路隧道養(yǎng)護成本的預測較準確?？傮w來看，路面維修保養(yǎng)費用不斷增加，且遞增幅度在不斷提高。r=0.9時，2010年養(yǎng)護成本預測值與實際值誤差最小，相對誤差為0.68%；2015年預測誤差較大，最大相對誤差約為14.30%。預測結(jié)果為高速公路養(yǎng)護計劃的制定與成本控制提供了科學依據(jù)。

4 結(jié)論

中國未來的高速公路養(yǎng)護任務(wù)重，難度高。該文通過建立多類別、結(jié)構(gòu)化公路養(yǎng)護成本體系，分析成本的影響因素和特征。建立了基于歷史數(shù)據(jù)的高速公路養(yǎng)護成本GM(1,1)灰色預測模型，設(shè)計了分子階數(shù)調(diào)整方法和預測迭代過程，其模型精度提高，并得到以下研究結(jié)論：

(1) 高速公路養(yǎng)護成本表現(xiàn)出明顯的增長趨勢，隨著運營時間增長，遞增幅度不斷增大。

(2) 日常養(yǎng)護成本、專項中修成本、大修成本具有不同的變化趨勢，與高速公路自身交通量構(gòu)成、使用年限有關(guān)。

(3) 灰色GM(1,1)模型對路面日常養(yǎng)護成本的預測效果良好，初期預測誤差較小，隨著預測時間增長，精度下降。