二次B樣條曲線及其應(yīng)用

王 芳，白根柱,2*

(1.浙江長(zhǎng)征職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，杭州 310023；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 28043)

0 引言

曲線曲面造型技術(shù)起源于航空工業(yè)、汽車制造、船舶的外形零件的設(shè)計(jì).Hoffmann和Hopcroft[1]對(duì)隱式代數(shù)曲面光滑拼接方法進(jìn)行了總結(jié)和推廣，給出了光滑拼接兩個(gè)一般二次曲面次數(shù)較低的拼接曲面；Warren[2]介紹了隱式代數(shù)曲面幾何連續(xù)性的一種新定義，并用代數(shù)理想生成元的方法得到光滑拼接兩個(gè)曲面的生成元；吳文俊和王定康[3]用吳文俊特征列方法構(gòu)造了代數(shù)曲面拼接曲面；朱漢東和金通光[4]用母線過(guò)度法構(gòu)造光滑拼接曲面；陳法來(lái)[5]用分片代數(shù)曲面構(gòu)造光滑拼接曲面；Hartmann[6]構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來(lái)拼接兩個(gè)共面曲線，進(jìn)而構(gòu)造光滑拼接圓管道的拼接曲面；婁文平等[7]用Groebner基方法構(gòu)造代數(shù)拼接曲面；程進(jìn)三和高小山[8]在兩個(gè)待拼接曲面的拼接線具有參數(shù)形式或可參數(shù)化時(shí)，給出了一階光滑拼接曲面的構(gòu)造方法；李耀輝[9]用代數(shù)結(jié)式方法構(gòu)造了拼接曲面.上述方法可以用來(lái)解決一大類問(wèn)題.但是，大多數(shù)方法都假定待拼接曲面有特定的形狀，從而它們解決的問(wèn)題有了局限性.這些局限性包括要求假定拼接線是平面曲線，待拼接曲面是二次曲面，拼接線是環(huán)線的或者要求待拼接曲面有交線或者軸線相交.即在代數(shù)曲面光滑拼接時(shí)，求理想的交或求齊次線性方程組的非零解等等.對(duì)于兩個(gè)管道軸線異面的情形不是很湊效.雷娜等[10]用構(gòu)造輔助圓柱的方法將軸線異面管道拼接問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)軸線共面的管道拼接問(wèn)題.白根柱[11-12]給出了兩個(gè)軸線異面圓柱面存在三次拼接曲面的充要條件，并給出了存在光滑拼接三次曲面時(shí)，兩個(gè)圓柱面系數(shù)之間的關(guān)系以及證明了兩個(gè)軸線異面的圓柱面在與軸線斜交的平面截口處若干種情形不存在光滑拼接曲面.白根柱提出基于軸線光滑拼接的管道拼接方法，王涵等[13]以圓柱螺旋線、圓錐螺旋線和空間Bezier曲線為軸線的廣義管道拼接了軸線異面的管道.白根柱[14-16]用錐面交線為軸線的圓管道拼接了粗細(xì)相同和粗細(xì)不同圓管道拼接了軸線異面管道，王芳等[17-19]分別用有理Bezier曲線、擬三次Bezier曲線和帶有兩個(gè)形狀參數(shù)的Bezier曲線為軸線的管道光滑拼接了軸線異面管道.烏仁高娃等[20-21]用帶有兩個(gè)形狀參數(shù)的Bezier曲線、Hartmann函數(shù)為軸線的圓管道和橢圓管道拼接了軸線異面管道，白根柱[22]用均勻三次B樣條曲線分三段光滑連接軸線異面管道軸線的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了軸線異面管道分三段光滑拼接.本文研究利用二次均勻B樣條曲線為軸線的管道來(lái)光滑拼接兩個(gè)軸線異面管道拼接問(wèn)題.

設(shè)兩個(gè)軸線異面管道的參數(shù)表達(dá)式為:

其中當(dāng)a1=a2=b1=b2時(shí)，Φ1和Φ2是粗細(xì)相同的兩個(gè)圓管道，當(dāng)a1=a2≠b1=b2時(shí)，Φ1和Φ2是粗細(xì)不同的兩個(gè)圓管道，當(dāng)a1=b1、a2=b2時(shí)，Φ1和Φ2是兩個(gè)橢圓管道.Ni=(Ni1,Ni2,Ni3),Bi=(Bi1,Bi2,Bi3),i=1,2分別是s=0和s=1時(shí)的主法矢和副法矢.

是兩個(gè)管道的軸線，其中L1位于OXY平面上與X軸相交，L2位于OYZ平面上與Y軸相交.

設(shè)V0(x0,y0,0)、V1(x1,y1,0)是L1上的兩個(gè)點(diǎn)，V2(0,y2,0)、V3(0,y3,z3)是L2上的兩個(gè)點(diǎn)，則以V0、V1、V2、V3為控制頂點(diǎn)形成一個(gè)空間控制多邊形.

1 二次B樣條曲線性質(zhì)及其應(yīng)用

定義1給定n+1個(gè)控制頂點(diǎn)V0,V1,V2,…,Vn，二次(三階)B樣條曲線的表達(dá)式:

是參數(shù)為s的二次分段多項(xiàng)式.其中:

為二次均勻B樣條基函數(shù).

端點(diǎn)性質(zhì)：

1) 兩端點(diǎn)的位置矢量:

2) 兩端點(diǎn)的切矢:

r′(0)=V1-V0,r′(1)=V2-V1.

例1 設(shè)軸線異面管道的軸線分別為 和二次B樣條曲線的控制多邊形的頂點(diǎn)可選為V0(1,-2,0)、V1(1,0,0)、V2(0,1,0)、V3(0,1,2)，則與Φ1和Φ2的軸線光滑拼接的兩段C1連續(xù)二次均勻B樣條曲線的參數(shù)表達(dá)式分別為：

(1)

拼接效果如圖1所示.

圖1 兩段二次B樣條曲線與兩個(gè)軸線拼接效果圖Fig.1 Blending effect drawing of two-stage quadratic B-spline curves and two axes

2 構(gòu)造與軸線異面的管道Φ1和Φ2光滑拼接的兩段光滑管道

以兩段二次B樣條曲線為軸線的光滑拼接兩個(gè)軸線異面管道的拼接管道的表達(dá)式為[16]:

(2)

其中[xi(s),yi(s),zi(s)]是B樣條曲線的參數(shù)表示，N=(Ni1(s),Ni2(s),Ni3(s))，B=(Bi1(s),Bi2(s),Bi3(s)),(i=1,2)分別是兩段B樣條曲線在點(diǎn)s處的主法矢和副法矢.

當(dāng)a1≥a2、b1≥b2時(shí)，

δ11(s)=a1+(c1-a1)s,δ12(s)=b1+(d1-b1)s,a1≥c1≥a2,b1≥d1≥b2；

δ21(s)=c1+(a2-c1)s,δ22(s)=d1+(b2-d1)s,a1≥c1≥a2,b1≥d1≥b2.

反之亦然.

1) 當(dāng)a1=b1=a2=b2時(shí)，p1(s,φ)和p2(s,φ)是兩個(gè)軸線異面圓管道的分兩段拼接管道.

2) 當(dāng)a1=b1≠a2=b2或a1≠b1,a2≠b2時(shí)，分別為兩個(gè)半徑不同軸線異面圓管道或橢圓管道的分兩段C0拼接曲面.

為了使拼接管道與兩個(gè)軸線異面的管道光滑拼接，可用軸線光滑拼接和母線光滑拼接技術(shù)達(dá)到C1拼接.

(3)

因?yàn)樵谂c軸線垂直的平面上構(gòu)造橢圓，橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸分別在主法矢和副法矢構(gòu)成的活動(dòng)坐標(biāo)系上，需要時(shí)時(shí)調(diào)整橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸[22].

假如橢圓管道p1(s,φ)在s=1處和p2(s,φ)在s=0處長(zhǎng)半軸和短半軸不相對(duì)應(yīng)，則可以調(diào)整p1(s,φ)的走向使其與p2(s,φ)在s=0處的長(zhǎng)半軸和短半軸相對(duì)應(yīng)(也可以調(diào)整p2(s,φ)的走向與p1(s,φ)在s=1處的長(zhǎng)半軸和短半軸相對(duì)應(yīng)).這時(shí)調(diào)整后拼接管道的表達(dá)式為:

其中:

當(dāng)調(diào)整p1(s,φ)的走向時(shí)，θ=θ1+(θ2-θ1)s，其中θ1=〈N1(0),N1(1)〉,θ2=〈N1(1)，N2(0)〉；當(dāng)調(diào)整p2(s,φ)的走向時(shí)，θ=θ1+(θ2-θ1)s，其中θ1=〈N1(1),N2(0)〉,θ2=〈N2(0),N2(1)〉.

3 拼接實(shí)例

例2 兩個(gè)軸線異面管道軸線分兩段光滑拼接二次B樣條曲線為式(2).

1) 當(dāng)a1=b1=a2=b2時(shí)，光滑拼接兩個(gè)軸線異面圓管道的兩段光滑拼接的管道的參數(shù)表達(dá)式分別為:

和

其中a1=b1=a2=b2=0.2，拼接管道的效果圖為圖2.

圖2 軸線異面粗細(xì)相同的圓管道兩段光滑拼接效果圖Fig.2 Effect drawing of smooth blending of two sections of circular tubes with the same radiuses and non-coplanar axes

圖3 軸線異面粗細(xì)不同的圓管道兩段光滑拼接效果圖Fig.3 Effect drawing of smooth blending of two sections of circular tubes with different radiuses and non-coplanar axes

圖4 軸線異面橢圓管道的分兩段光滑拼接效果圖Fig.4 Effect drawing of smooth blending of two sections of elliptical tubes and non-coplanar axes

2) 當(dāng)a1=b1≠a2=b2時(shí)，光滑拼接軸線異面管道的某兩個(gè)母線的分兩段二次B樣條曲線為:

(4)

光滑拼接兩個(gè)粗細(xì)不同軸線異面圓管道的拼接管道的效果圖為圖3，其中a1=b1=0.4,a2=b2=0.2.

和

其光滑拼接效果如圖4.

4 結(jié)語(yǔ)

在用軸線光滑拼接的兩段C1連續(xù)二次均勻B樣條曲線的基礎(chǔ)上，以光滑拼接的兩段C1連續(xù)二次均勻B樣條曲線為軸線的管道分兩段光滑拼接了兩個(gè)軸線異面的管道.這樣的拼接管道表達(dá)式簡(jiǎn)潔，拼接效果非常好，更易于應(yīng)用.在構(gòu)造軸線異面管道的光滑拼接橢圓管道時(shí)，依賴于曲線上活動(dòng)坐標(biāo)軸的選取.分兩段光滑拼接時(shí)，需要三個(gè)拼接接口處橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸相對(duì)應(yīng)，有時(shí)在每一點(diǎn)處都要對(duì)活動(dòng)坐標(biāo)系作旋轉(zhuǎn)變換.具體應(yīng)用時(shí),為了滿足拼接管道的光順性，還需要作更多的處理.