考慮廣義時間價值的串行退化生產(chǎn)系統(tǒng)維護(hù)更新策略

杜 煜，李雨青，張秀芳，潘爾順

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200240)

隨著現(xiàn)代制造類企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，對生產(chǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性的要求越來越高，因此，良好的維護(hù)和更新策略對于生產(chǎn)系統(tǒng)的健康運行有著至關(guān)重要的作用.串行系統(tǒng)是一類常見的生產(chǎn)加工系統(tǒng)(如汽車發(fā)動機(jī)5C件生產(chǎn)線)，對于多工序流水生產(chǎn)線，機(jī)會維護(hù)策略可以有效節(jié)省因設(shè)備維護(hù)產(chǎn)生的停產(chǎn)損失，提高生產(chǎn)的連續(xù)性，故采用機(jī)會維護(hù)策略進(jìn)行維護(hù)，并在維護(hù)策略的基礎(chǔ)上制定系統(tǒng)的更新策略.關(guān)于多設(shè)備系統(tǒng)的維護(hù)策略，許多學(xué)者進(jìn)行了研究.余佳迪等[1]以帶緩存的兩設(shè)備串行系統(tǒng)為研究對象，考慮上下游設(shè)備同時故障的情況，構(gòu)建了系統(tǒng)總成本最小的設(shè)備預(yù)防性維護(hù)模型.Lu等[2]針對具有中間緩沖的多設(shè)備串行系統(tǒng)進(jìn)行了建模優(yōu)化.以上研究均考慮緩存空間，但沒有考慮設(shè)備退化時引起的次品率上升的問題.陶紅玉等[3]用Gamma分布描述設(shè)備的退化過程，構(gòu)建了隨機(jī)退化串行系統(tǒng)的機(jī)會維護(hù)模型，并確定了最優(yōu)檢測周期，但其結(jié)果是在設(shè)備退化量被定周期連續(xù)監(jiān)測的條件下求得，且設(shè)備服從同一退化分布，很難與實際相符.候文瑞等[4]以串行生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，采用機(jī)會維護(hù)策略，利用費效比決策系統(tǒng)內(nèi)設(shè)備的維護(hù)更新行為，但在計算成本時僅考慮了系統(tǒng)維護(hù)時的成本，未考慮生產(chǎn)引發(fā)的成本，也未對維護(hù)閾值進(jìn)行優(yōu)化決策，且其系統(tǒng)可能存在可用度過低的風(fēng)險.Zhou等[5]通過最小化系統(tǒng)成本，對串行系統(tǒng)提出了基于機(jī)會維護(hù)下的預(yù)防性維護(hù)算法.Xia等[6-8]提出了多特征值模型，在同時考慮成本及可用度兩個目標(biāo)函數(shù)前提下，決策設(shè)備最優(yōu)的預(yù)防性維護(hù)周期.通過設(shè)定維護(hù)時間窗，動態(tài)地利用混聯(lián)系統(tǒng)中的維護(hù)機(jī)會，從而實現(xiàn)縮減系統(tǒng)成本的目的，并且提出聯(lián)合生產(chǎn)計劃以及預(yù)防性維護(hù)的調(diào)度問題，通過機(jī)會維護(hù)方式，降低了系統(tǒng)維護(hù)成本.以上研究的不足之處在于，均未考慮廣義時間價值的作用.

在制定設(shè)備的更新策略時，大多數(shù)生產(chǎn)企業(yè)仍然采用以固定的工作年齡、故障次數(shù)或維護(hù)次數(shù)為依據(jù)的傳統(tǒng)策略，主要采用更新過程定理和平均成本率最低的方法.賈積身等[9]針對修理工單重休假的可修系統(tǒng)，比較了以工作時間和故障次數(shù)為依據(jù)的更新策略，但現(xiàn)實中修理工往往會輪班，不存在休假，故實際應(yīng)用意義不大.Gao等[10]利用更新過程理論，研究了具有兩類故障模式(可修和不可修)的單機(jī)系統(tǒng)，求出了長期運行單位成本最低的維護(hù)次數(shù),但未考慮系統(tǒng)可用度的變化.Song等[11]研究了受限于δ隨機(jī)沖擊的退化系統(tǒng)最優(yōu)更新策略，將系統(tǒng)維護(hù)時間和失效機(jī)制分別假設(shè)成幾何過程和δ沖擊過程，以長期運行單位成本最低為目標(biāo)求解最優(yōu)維護(hù)次數(shù),但仍未考慮系統(tǒng)可用度的變化.Wang等[12]研究了具有定周期檢測和隨機(jī)故障的可修-替換系統(tǒng)，結(jié)合更新過程決策使系統(tǒng)成本率最小的檢測時間和故障次數(shù),但假設(shè)維護(hù)行為是對設(shè)備年齡的影響，而不是對退化狀態(tài)的影響.Zhao等[13]針對某施工企業(yè)混凝土攪拌車基于網(wǎng)絡(luò)模型，將設(shè)備更新問題轉(zhuǎn)化為圖論的最短路徑問題，解決了設(shè)備更新方案的選擇問題，但是該方法并沒有考慮不同維護(hù)策略下的改變.Chang[14]提出了工作時間-故障類型的二元更新策略，并且對該模型進(jìn)行了二次延展，進(jìn)而給出了延展模型的最優(yōu)預(yù)防性維護(hù)排程.類似地，以上文獻(xiàn)提出的更新策略均未考慮廣義時間價值的作用.

設(shè)備的廣義時間價值(generalized time value, GTV)指的是隨著技術(shù)進(jìn)步，市面上出現(xiàn)了性能更優(yōu)、效率更高以及經(jīng)濟(jì)性更好的設(shè)備并被廣泛采用，導(dǎo)致企業(yè)當(dāng)前設(shè)備的重置成本降低，使用費用相對變高，所生產(chǎn)商品的競爭性下降，最終致使設(shè)備在因老化失效無法完成規(guī)定功能之前，用新設(shè)備代替舊設(shè)備成為必然，因此縮短了設(shè)備的服務(wù)壽命.目前，針對設(shè)備具有廣義時間價值的問題，對相關(guān)維護(hù)更新策略進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的研究尚屬空白.

鑒于此，本文提出了一種全新的考慮廣義時間價值的串行退化生產(chǎn)系統(tǒng)維護(hù)更新策略.首先建立設(shè)備層維護(hù)模型，將設(shè)備的維護(hù)時間看作關(guān)于設(shè)備退化度和維護(hù)次數(shù)的函數(shù)，提出退化度恢復(fù)因子；隨后根據(jù)考慮廣義時間價值的設(shè)備維護(hù)成本、維護(hù)效果以及設(shè)備可用度決策設(shè)備的維護(hù)更新行為，建立系統(tǒng)層維護(hù)更新模型.算例仿真對設(shè)備維護(hù)閾值進(jìn)行了優(yōu)化決策，并給出了系統(tǒng)的維護(hù)排程以及各組成設(shè)備的更新時間，證實了廣義時間價值對串行退化系統(tǒng)內(nèi)設(shè)備更新時間的影響.

1 問題描述與假設(shè)

串行生產(chǎn)系統(tǒng)如圖1所示.系統(tǒng)由n臺設(shè)備串聯(lián)而成，分別負(fù)責(zé)n道不同的工序.工序之間不設(shè)置緩沖站，且負(fù)責(zé)不同工序的設(shè)備不同.設(shè)Ex為負(fù)責(zé)系統(tǒng)第x道工序的設(shè)備，當(dāng)設(shè)備Ex停機(jī)時，整個系統(tǒng)停機(jī).采用機(jī)會維護(hù)策略對系統(tǒng)進(jìn)行維護(hù)，維護(hù)行為主要包括：預(yù)防性維護(hù)，機(jī)會預(yù)防性維護(hù)(簡稱機(jī)會維護(hù))，設(shè)備更新以及設(shè)備機(jī)會更新.其中預(yù)防性維護(hù)和機(jī)會維護(hù)均為不完美維護(hù)(如除塵、潤滑、更換部分零配件等)，只能使設(shè)備的退化狀態(tài)在一定程度上得到恢復(fù)，不能使設(shè)備恢復(fù)如初.更新和機(jī)會更新均為完美維護(hù)，即用新設(shè)備替換舊設(shè)備或用新部件替換舊部件，使其恢復(fù)如新.當(dāng)系統(tǒng)運行至某一時刻t，設(shè)備Ex的退化度Fx第i次到達(dá)預(yù)防性維護(hù)閾值DPM，系統(tǒng)須停機(jī)對設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)或者更新.與此同時，對退化度達(dá)到機(jī)會維護(hù)閾值DOM的其他設(shè)備進(jìn)行機(jī)會維護(hù)或者機(jī)會更新.DPM和DOM可以通過分析歷史運行數(shù)據(jù)得到，也可以通過設(shè)定目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求得.研究串行生產(chǎn)系統(tǒng)在該機(jī)會維護(hù)策略下的維護(hù)排程，各組成設(shè)備的更新時間以及廣義時間價值對設(shè)備更新時間的影響是本文的主要研究目標(biāo).

圖1 串行生產(chǎn)系統(tǒng)模型Fig.1 Model of series system

假設(shè)：

(1) 串行系統(tǒng)中的所有組成設(shè)備在正常工作中的突發(fā)性故障用小修恢復(fù)，小修不改變設(shè)備的退化狀態(tài)，僅恢復(fù)設(shè)備功能，且時間和費用很小，可忽略不計.

(2) 串行系統(tǒng)各工序在任意時刻的生產(chǎn)能力均保持平衡，除設(shè)備維修維護(hù)和更新外，系統(tǒng)無停機(jī).

(3) 設(shè)串行系統(tǒng)所有組成設(shè)備的生產(chǎn)能力保持不變，設(shè)備生產(chǎn)的在制品中出現(xiàn)次品的概率與該設(shè)備的退化度成正比.

則有：

式中：rx(t)和Fx(t)分別表示設(shè)備Ex在t時刻的次品率和退化度.

2 設(shè)備層維護(hù)策略建模

2.1 設(shè)備層退化模型

Gamma過程為隨機(jī)退化過程提供了有效工具，本文采用Gamma過程對設(shè)備的退化進(jìn)行建模.Gamma過程具有以下特性：

(1)X(0)=0；

(2) {X(t),t≥0}具有獨立穩(wěn)定的增量；

(3)對于任意的t>0,Δt>0，

ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t)～Ga(αΔt,β)

其中：X(t)為退化量；α為形狀參數(shù)，β為尺度參數(shù)，滿足α>0，β>0；G(αΔt,β)為Gamma分布密度函數(shù)，

G(x|αΔt,β)=

Δt為時間差；Γ為Gamma函數(shù)，且有

為指示函數(shù)，當(dāng)x∈(0,∞)時，I(0,∞)(x)=1，其他情況為0.

對于一臺設(shè)備而言，當(dāng)其退化量達(dá)到某一事先預(yù)設(shè)的閾值后就會失效.設(shè)設(shè)備Ex的退化量閾值為dx，在t時刻的退化量為Xx(t)，將設(shè)備Ex在t時刻的退化度Fx(t)定義為Xx(t)>dx的概率，具體可用下式表示：

(3)

式中：fXx(t)(x)=G(x|αt,β)表示t時刻設(shè)備Ex退化量的概率分布密度函數(shù).

2.2 設(shè)備層維護(hù)模型

2.2.1維護(hù)效果 如圖2所示，設(shè)備每次維護(hù)后的退化度應(yīng)不低于設(shè)備前一次維護(hù)后的退化度，引入退化度恢復(fù)因子ε，第i次預(yù)防性維護(hù)對設(shè)備Ex的維護(hù)效果可表示為

(4)

圖2 設(shè)備退化度演化模型Fig.2 Evolution model of degradation degree

2.2.2維護(hù)時間 預(yù)防性維護(hù)時間的長度通常依賴于F(t)，并與設(shè)備已經(jīng)歷的維護(hù)次數(shù)i有關(guān).一般而言，相較于一臺年輕設(shè)備，維護(hù)一臺嚴(yán)重老化的設(shè)備需要消耗更多的時間.因此，設(shè)設(shè)備Ex第i次預(yù)防性維護(hù)的時長mx i可表示為

(5)

式中：h,b為維護(hù)時間參數(shù)，且滿足01.h,b可以假定，也可以通過已有數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合求出.

3 系統(tǒng)層維護(hù)更新策略建模

3.1 維護(hù)策略

假設(shè)串行系統(tǒng)在ti時刻有設(shè)備的退化度達(dá)到DPM，系統(tǒng)進(jìn)入第i次停機(jī)維護(hù)，引入維護(hù)因子axi判別設(shè)備Ex在第i次系統(tǒng)維護(hù)時是否需要維護(hù)或者更新：

(6)

式中：ax i=1表示設(shè)備Ex需要進(jìn)行維護(hù)或者更新；ax i=0表示設(shè)備Ex不需要維護(hù)或者更新.再引入狀態(tài)因子ωx i判斷設(shè)備Ex采取的維護(hù)方式：

(7)

式中：ωx i=-1表示設(shè)備Ex停機(jī)，ax i=0時必然有ωx i=-1；ωx i=0表示設(shè)備Ex進(jìn)行更新或機(jī)會更新；ωx i=1表示設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)或機(jī)會維護(hù).ωx i具體如何決策將在3.3節(jié)中詳述.結(jié)合ax i和ωx i可得設(shè)備Ex在系統(tǒng)第i次停機(jī)維護(hù)過程中需要占用的維護(hù)時長mx i為

(8)

式中：px為設(shè)備Ex所需的更新時長：φx i表示系統(tǒng)第i次停機(jī)前，設(shè)備Ex已進(jìn)行的預(yù)防性維護(hù)次數(shù).經(jīng)推導(dǎo)φx i滿足關(guān)于i的遞推數(shù)列：

(9)

系統(tǒng)第i次停機(jī)維護(hù)的時間Mi取決于所有待維護(hù)或更新的設(shè)備中所需耗時最長的設(shè)備.將所有設(shè)備的維護(hù)時間mx i寫成矩陣的形式Ai，則Mi為矩陣Ai中的最大值：

對設(shè)備Ex在系統(tǒng)第i次停機(jī)維護(hù)前后的退化度Fx(t)變化進(jìn)行推導(dǎo).

(1)axi=0，ωxi=-1，設(shè)備Ex停機(jī)，則Fx(t)變化如下：

(12)

(2)ax i=1，ωx i=0，設(shè)備Ex更新或者機(jī)會更新，則Fx(t)變化如下：

(13)

(3)axi=1，ωxi=1，設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)或者機(jī)會維護(hù)，則Fx(t)變化如下：

(14)

經(jīng)推導(dǎo)，Txi滿足關(guān)于i的遞推數(shù)列：

(15)

Fx(t)=

(16)

(17)

式(17)中的其他參數(shù)可以從系統(tǒng)的維護(hù)記錄中獲得，則設(shè)備Ex在任意時刻的退化度均可求出.

3.2 維護(hù)成本

維護(hù)成本一直是生產(chǎn)系統(tǒng)維護(hù)更新策略中用來衡量策略表現(xiàn)的重要指標(biāo)，從不同的角度考慮，其所包含的項目不同.如果不考慮廣義時間價值，本文中設(shè)備Ex的維護(hù)成本包括預(yù)防性維護(hù)成本、更新成本、停產(chǎn)損失成本以及次品成本.如果考慮廣義時間價值，維護(hù)成本除了以上提到的項目還包含：① 因設(shè)備重置成本持續(xù)降低導(dǎo)致單位時間折舊費用增加的成本；② 因技術(shù)落后導(dǎo)致的單位時間生產(chǎn)費用上升的成本；③ 因技術(shù)落后導(dǎo)致系統(tǒng)生產(chǎn)的商品缺乏競爭力，致使單位商品利潤率下降的成本.

(18)

(19)

(20)

(3) 設(shè)備Ex在t時刻次品率的表達(dá)式為rx(t)=rFFx(t).故系統(tǒng)生產(chǎn)出次品在設(shè)備Ex分?jǐn)傤~為

(21)

(4) 設(shè)備的折舊時間不僅包含工作時間，還包含維護(hù)時間和停機(jī)時間，故設(shè)備Ex因廣義時間價值增加的折舊費用為

(22)

(5) 設(shè)備Ex由于廣義時間價值增加的生產(chǎn)費用為

(23)

(6) 由于次品不能用于銷售，在計算產(chǎn)成品利潤時需要減去.故系統(tǒng)所生產(chǎn)商品的利潤下降額在設(shè)備Ex上的分?jǐn)傤~為

(24)

綜上，考慮廣義時間價值，系統(tǒng)第i-1次停機(jī)維護(hù)結(jié)束至第i次停機(jī)維護(hù)結(jié)束期間，設(shè)備Ex的總維護(hù)成本Cxi可表示為

(25)

3.3 更新策略

(26)

(27)

通過對比設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)和更新時Kxi的大小，即可對ωxi的取值進(jìn)行決策，同時還要考慮設(shè)備Ex可用度的變化.設(shè)備可用度表示設(shè)備在一段時間內(nèi)工作時間與總時間的比值，由于在本文中，設(shè)備的停機(jī)是由于其他設(shè)備需要進(jìn)行維護(hù)，系統(tǒng)無法進(jìn)行生產(chǎn)造成的，并非出自自身原因，故這里沒有將設(shè)備的停機(jī)時間計入總時間，設(shè)備Ex在ti時刻的可用度Axi可表示為

(28)

(29)

則依次可得到該串行生產(chǎn)系統(tǒng)各設(shè)備在系統(tǒng)每次維護(hù)時的維護(hù)行為，進(jìn)而得到各設(shè)備的更新時間.

4 算例分析

4.1 算例建模與求解

圖3 串行生產(chǎn)系統(tǒng)示意圖Fig.3 Structure of series system

本文以某發(fā)動機(jī)零部件串行生產(chǎn)系統(tǒng)為例，對以上維護(hù)更新策略進(jìn)行數(shù)值分析.該生產(chǎn)系統(tǒng)有負(fù)責(zé)5道不同工序的5種不用類型的設(shè)備，分別為磨床、車床、銑床、輥壓機(jī)床和拋光機(jī)，該串行生產(chǎn)系統(tǒng)模型及設(shè)備編號如圖3所示.各設(shè)備的退化過程服從參數(shù)不同的Gamma分布，根據(jù)生產(chǎn)實際以及部分參考文獻(xiàn)[3-4]，設(shè)置：

ε=0.85，rF=50%

h=5，b=0.95

px=5 d (x=1,2,…,5)

A0=0.6，Ld=10 000

d=100件，cpro=100元

其他維護(hù)與成本參數(shù)見表1.

首先對設(shè)備的DPM和DOM進(jìn)行優(yōu)化決策，以串行生產(chǎn)系統(tǒng)500天內(nèi)的所有設(shè)備的維護(hù)成本和Csys為優(yōu)化判據(jù)，Csys可表示為

(30)

表1 維護(hù)與成本參數(shù)Tab.1 Parameters of maintenance and cost

表2 預(yù)防性維護(hù)計劃Tab.2 PM schedule

表3 設(shè)備更新時間與維護(hù)次數(shù)Tab.3 Replacement time and PM times

圖4 設(shè)備退化度與可用度變化過程Fig.4 Evolution of degradation degree and availability

取使得Csys最小的閾值組合(DPM,DOM)作為該串行系統(tǒng)維護(hù)閾值.采用MATLAB編程計算，通過遍歷DPM∈[0.1,0.9]，DPM∈[0.1,DPM]內(nèi)的所有組合得到使Csys最小的閾值組合為DPM=0.85，DOM=0.7，所得的最小成本Csys=347.69萬元.

令DPM=0.85，DOM=0.7，采用MATLAB編程計算得到該串行生產(chǎn)系統(tǒng)在所有設(shè)備均完成一次更新前的維護(hù)工作排程如表2所示(由于篇幅有限，只列舉了系統(tǒng)前4次停機(jī)和有設(shè)備更新時的維護(hù)排程).表中：1代表預(yù)防性維護(hù)和機(jī)會維護(hù)；0代表更新；空白代表停機(jī)；…代表省略的維護(hù)排程.各工序設(shè)備的首次更新時間以及更新前經(jīng)歷的維護(hù)次數(shù)如表3所示.各設(shè)備的退化度隨時間的演變過程以及可用度隨維護(hù)次數(shù)的演變過程如圖4所示.

4.2 結(jié)果分析

由圖4可知：所有設(shè)備的更新原因在于Km>Kp，設(shè)備可用度均未超出限值.分析表3可知：負(fù)責(zé)不同工序的設(shè)備，其更新時間均相差較大，說明針對串行生產(chǎn)系統(tǒng)的更新策略應(yīng)該針對單臺設(shè)備具體實施，此操作比系統(tǒng)整體更新的策略更加準(zhǔn)確.

由表3可知：不考慮廣義時間價值下，各設(shè)備的更新時間均大于考慮廣義時間價值下的值.進(jìn)一步說明，廣義時間價值會加速設(shè)備的老化，縮短設(shè)備的使用壽命.

5 結(jié)語

考慮廣義時間價值，針對串行退化生產(chǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了維護(hù)更新策略的研究.提出了設(shè)備層維護(hù)模型以及系統(tǒng)層的維護(hù)更新模型，算例仿真優(yōu)化了設(shè)備維護(hù)閾值，證實了廣義時間價值會加速設(shè)備的老化，縮短設(shè)備使用壽命的作用，為企業(yè)制定串行系統(tǒng)維護(hù)更新策略提供了新的嘗試.然而，本文在建立生產(chǎn)系統(tǒng)模型時未考慮緩存空間的作用，故還有待進(jìn)一步深入研究.