基于隨機矩陣理論的電網(wǎng)事件監(jiān)測研究

鄧子晗，安 軍

(東北電力大學電氣工程學院，吉林 吉林 132012)

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷發(fā)展，電網(wǎng)的動態(tài)響應越來越難以預見，若不能及時對這些響應進行態(tài)勢感知，會給電力系統(tǒng)的安全運行帶來隱患.電力系統(tǒng)的事件監(jiān)測是電網(wǎng)態(tài)勢感知研究的主要內(nèi)容，如何進行快速有效的事件監(jiān)測是對大規(guī)模電力系統(tǒng)實時安全運行分析提出的新的挑戰(zhàn)[1-4].

傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)事件監(jiān)測方法多歸于模型驅(qū)動[5-9]，文獻[5]利用不同事件對發(fā)電機同調(diào)特性的影響隨著電氣距離的變化而變化，提出了一種基于電氣距離的事件監(jiān)測方法.文獻[9]通過李雅普諾夫方程，基于狀態(tài)空間提出一種電力系統(tǒng)事件監(jiān)測方法.該類方法需要事先確定電網(wǎng)的詳細拓撲結(jié)構(gòu)及物理參數(shù)，同時，電網(wǎng)運行方式產(chǎn)生的變化對監(jiān)測結(jié)果的準確性有所影響，所以在實際應用中，基于模型驅(qū)動的方法有一定困難.

數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法不依賴于具體模型，也不受運行方式改變的影響.同時，隨著以廣域量測系統(tǒng)為代表的多種數(shù)據(jù)采集裝置的廣泛應用，電氣數(shù)據(jù)的測量維度和采集精度獲得了巨大的提升，為事件監(jiān)測提供了良好的數(shù)據(jù)基礎，啟發(fā)人們開始對于利用數(shù)據(jù)分析取代機理建模的相關(guān)思考，從而提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動的分析模式.隨機矩陣理論(Random Matrix Theory，RMT)是近年來興起的對高維復雜系統(tǒng)進行統(tǒng)計分析的在線大數(shù)據(jù)分析方法之一.近年來，在金融[10-11]、物理[12]和通信[13]領域取得了一定的成果.隨機矩陣理論已經(jīng)在電力系統(tǒng)進行了初步的應用[14-20]，文獻[14]建立一種基于RMT的電力系統(tǒng)大數(shù)據(jù)應用架構(gòu)，提出平均譜半徑(Mean Spectral Radius，MSR)作為指標應用于電力系統(tǒng)分析研究；在此基礎上，文獻[15]提出基于高維隨機矩陣的WAMS量測大數(shù)據(jù)建模與分析方法；文獻[19]提出一種基于數(shù)據(jù)相關(guān)性分析的故障時刻確定方法.經(jīng)過大量實際算例表明，上述方法在數(shù)據(jù)質(zhì)量較差情況下均難以進行有效檢測，如何在噪聲環(huán)境下進行有效事件監(jiān)測成為關(guān)鍵.

本文基于隨機矩陣理論，根據(jù)事件發(fā)生后與正常狀態(tài)下隨機矩陣特征值分布所呈現(xiàn)出的不同特征，進行電力系統(tǒng)事件監(jiān)測.首先研究基于隨機矩陣理論的數(shù)據(jù)模型構(gòu)建方法；其次利用最大最小特征值極限分布以及特征值均值的能量特征定義一種全新的指標應用于電網(wǎng)事件監(jiān)測中，對噪聲具有一定的魯棒性.最后通過IEEE39節(jié)點算例，與傳統(tǒng)MSR方法分析結(jié)果相比較，驗證方法有效性.

1 隨機矩陣理論

1.1 隨機矩陣理論概述

一個大維矩陣，若其所有元素均為隨機變量，則可稱其為隨機矩陣.在隨機矩陣的行數(shù)和列數(shù)趨于無窮大且行列比值保持恒定時，隨機矩陣的特征值、奇異值以及其他相關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計分布滿足一定的特性.隨機矩陣的經(jīng)驗譜分布函數(shù)是矩陣研究中常用的概念，對于一個n×n階的矩陣A，它的經(jīng)驗譜分布函數(shù)為：

(1)

經(jīng)驗譜分布函數(shù)的極限稱為極限譜分布函數(shù)，通常經(jīng)驗譜分布函數(shù)是隨機的，但極限譜分布函數(shù)具有許多良好的數(shù)學性質(zhì).

1.2 M-P率和單環(huán)定理

利用隨機矩陣理論進行電力系統(tǒng)事件監(jiān)測，是根據(jù)隨機矩陣在不同情況下譜分布特性的變化規(guī)律來評估.它主要涉及兩個重要定律，即M-P定律(Marchenko-Pastur law)[20]與單環(huán)定律 (Ring Law).

假設X={xi，j}為一個N×T維非Hermitian隨機矩陣，該矩陣中元素滿足獨立同分布的規(guī)律，且元素的期望和方差分別滿足μ=0，σ2=1.當N，T→且c=N/T∈(0，1]時，即N與T在同一數(shù)量級上時，那么樣本極限譜密度分布函數(shù)f(λsN) 由隨機矩陣X的樣本協(xié)方差矩陣SN的經(jīng)驗譜概率函數(shù)收斂得到，見公式(2).

(2)

單環(huán)定律在考慮L個獨立標準非Hermitian矩陣Xu，i，定義矩陣乘積Z為

(3)

公式中：Xu，i為矩陣X的奇異值等價形式；U為酉矩陣.利用酉矩陣將特征值映射到復平面，其中元素均為獨立同分布并且滿足μ(x)=0，σ2(x)=1.為了簡化，本文后續(xù)研究將L設置為1.將矩陣Z標準化為Zstd，使其滿足σ2(Zi)=1/N，當矩陣行列比值保持恒定時，則Zstd的極限經(jīng)驗譜分布依概率收斂到為式(4)的概率密度譜分布函數(shù).

(4)

公式中：λZ為特征值；d為N/T∈(0，1].根據(jù)單環(huán)定理，Zstd的特征值在復平面的分布是一個圓環(huán)，內(nèi)環(huán)半徑為(1-d)L/2，外環(huán)半徑為1.

滿足圓環(huán)率和不滿足圓環(huán)率時效果圖如圖1所示.

特征值的分布隨著系統(tǒng)運行狀態(tài)的變化而變化，因矩陣的單個特征值由于隨機性不能反映這種特性，為了表征這種數(shù)據(jù)特性，應尋找一個統(tǒng)計量來體現(xiàn)這種數(shù)據(jù)特性.傳統(tǒng)的隨機矩陣理論對系統(tǒng)進行事件監(jiān)測時，采用平均譜半徑作為判斷指標平均譜半徑是隨機矩陣一種常用的線性特征值統(tǒng)計量，是矩陣特征值在復平面上距離原點的距離，MSR的定義為

(5)

公式中：rMSR為隨機矩陣的平均譜半徑；λi為矩陣的N個特征值.根據(jù)MSR與內(nèi)環(huán)半徑的大小關(guān)系，可以判斷系統(tǒng)的運行狀態(tài)，當MSR小于內(nèi)環(huán)半徑時，系統(tǒng)處于不正常運行狀態(tài)[21].

2 高維隨機矩陣應用方法

2.1 隨機矩陣模型框架構(gòu)建

在一個電力網(wǎng)絡中選取n個節(jié)點的量測數(shù)據(jù)作為空間樣本，其中每個節(jié)點共有m個狀態(tài)變量，構(gòu)成N個變量，即N=n×m.在任意采樣時刻Ti，所有節(jié)點的量測數(shù)據(jù)構(gòu)成一個列向量

(6)

則在一個時間段內(nèi)，N個列向量在時序下以公式(7)矩陣表現(xiàn)為

X=[x(t1)，x(t2)，…，x(ti)，…]

.

(7)

為了實時對電力網(wǎng)絡數(shù)據(jù)進行分析，這里采用實時滑動時間窗來生成上述矩陣.實時窗口長度為Nw，寬度為Tw，每次進行采樣時采取向后平移一個采樣點，ti時刻的實時滑動時間窗包含ti時刻的當前數(shù)據(jù)和(Tw-1)個相鄰的歷史數(shù)據(jù)，即

(8)

公式中：Xti為在ti時刻取得的數(shù)據(jù)列向量.數(shù)據(jù)窗的選擇主要遵循以下原則：在保障計算速度足夠快的前提下，包含所有分區(qū)的量測量數(shù)據(jù)(通常選擇各檢測點的三相電壓及其三相電流數(shù)據(jù))；同時為了使不同分區(qū)的計算結(jié)果可以進行對比，需要保證維容比c=N/T相同，本文一般選取為N/T≈0.5.

則在狀態(tài)評估時間窗內(nèi)，對系統(tǒng)的N個可測狀態(tài)參量測量T次，則在截取的時間窗內(nèi)，所有測量數(shù)據(jù)均可以組成的具有電網(wǎng)時空特性的N行T列數(shù)據(jù)為

(9)

2.2 事件監(jiān)測方法

通過1.2節(jié)所示公式求得X的樣本協(xié)方差矩陣S，此時矩陣S的特征值分布滿足M-P率.由RMT的M-P率可知，樣本協(xié)方差矩陣的特征值分布滿足一定特性，當有事件發(fā)生時，該分布特性被破壞，其中，最大特征值和最小特征值的差值與特征值均值之比(DMM)將越過正常的統(tǒng)計范圍.因此可通過該特性進行電力系統(tǒng)事件監(jiān)測.

定義其閾值函數(shù)為

γ=(1+N/T)2

.

(10)

當DMM≥γ時，可以判定電力系統(tǒng)有事件發(fā)生.具體步驟如下：

(1)將各節(jié)點量測數(shù)據(jù)構(gòu)造為數(shù)據(jù)源矩陣Xs.

(2)采用滑動窗口技術(shù)，確定其窗口寬度Tw，設定采樣起始時刻t1，由閾值函數(shù)計算閾值γ.

(3)從數(shù)據(jù)源矩陣Xs中取得N×Tw維的滑動窗口矩陣X.

(4)對X的行向量進行標準化處理，得到標準的非Hermitian矩陣X.

(5)計算矩陣X的樣本協(xié)方差矩陣Z.

(6)計算樣本協(xié)方差矩陣Z的特征值，并計算各時刻下特征值最大值與最小的差值再除以特征值均值，作為電網(wǎng)故障檢測指標DMM.

(7)判斷DMM≥γ是否成立，若成立，則判定電網(wǎng)有事件發(fā)生，否則重復步驟(3)—步驟(7).

3 算例分析

為了驗證本文所提的電力系統(tǒng)事件監(jiān)測方法，算例分析在一個IEEE57節(jié)點系統(tǒng)和一個IEEEE 39節(jié)點系統(tǒng)下.具體設置是：在IEEE57節(jié)點系統(tǒng)借助Matpower軟件開展負荷躍變測試；在IEEE39節(jié)點借助PSASP軟件開展短路故障測試.仿真步長為0.01 s，而用于Matlab分析的量測數(shù)據(jù)是由所生成數(shù)據(jù)加上隨機誤差構(gòu)成，隨機誤差設置為高斯白噪聲.依據(jù)本文方法步驟，利用Matlab 2014a軟件編制算法程序，通過與傳統(tǒng)的平均譜半徑分析方法及計算結(jié)果的比較，驗證本文所提方法的有效性.

3.1 負荷躍變測試

分別在幅值標準差為1%和2%兩種高斯白噪聲的場景下研究，共計1000個采樣時刻，其中各節(jié)點有功負荷變化情況如表1所示.

根據(jù)前文所提方法，選取所有節(jié)點全部時刻的母線電壓數(shù)據(jù)，構(gòu)成原始數(shù)據(jù)源矩陣，設置時間窗窗口長度Tw=120，即每個窗口內(nèi)采集120列數(shù)據(jù)，其中包括1列當前全部母線電壓數(shù)據(jù)和119列歷史全部母線電壓數(shù)據(jù)，因此本文所提兩種方法獲得的指標變化曲線都是從采樣時刻t120開始.按照前文所提方法得到不同幅值噪聲下的MSR方法和本文所提DMM方法指標變化圖，分別如圖2、圖3所示.

由圖2可以看出，在高斯白噪聲幅值標準差為1%時，在t=0-239區(qū)間，MSR在一個正常水平波動，在t=240時，MSR開始下降，說明在t=240時，有事件發(fā)生，與算例設置相符.在t=719時刻，系統(tǒng)已經(jīng)恢復至初始水平，當有功負荷增加100 MW時，MSR又一次發(fā)生下降，且比增加50 MW更加劇烈，可知負荷變化程度越大，MSR變化程度也越大；在高斯白噪聲幅值標準差為2%時，增加100 MW時MSR法仍可檢測到事件發(fā)生，但由于噪聲干擾，檢測不到事件發(fā)生，說明傳統(tǒng)MSR法盡管能檢測到數(shù)據(jù)發(fā)生的變化，但不能在噪聲環(huán)境下進行有效事件監(jiān)測.

由圖3可以看出，在高斯白噪聲幅值標準差為1%時，兩種負荷變化均可以進行有效檢測，說明了本文所提方法在事件監(jiān)測方面的有效性；在高斯白噪聲幅值標準差為2%時，DMM法不僅可以對增加100 MW的負荷波動進行有效監(jiān)測，還可監(jiān)測到增加50 MW這一次負荷波動，證明了DMM方法在噪聲環(huán)境下的有效監(jiān)測能力.

圖2 負荷躍變情況下MSR指標變化圖圖3 負荷躍變情況下DMM指標變化圖

3.2 短路故障測試

在IEEE39節(jié)點標準系統(tǒng)中，分別在1%、2%、5%三種不同幅值的高斯白噪聲的場景下研究，共計1000個采樣時刻，其中采樣時刻t1至t299中無異常事件發(fā)生，設置從采樣時刻t300起節(jié)點9母線出發(fā)生兩相短路，持續(xù)0.02 s.

使用本文所提兩種方法開展仿真計算，兩種指標變化趨勢，如圖4、圖5所示.

圖4 短路故障下MSR指標變化圖圖5 短路故障下DMM指標變化圖

通過對比圖4、圖5，在噪聲幅值較低的環(huán)境1和環(huán)境2場景下，系統(tǒng)隨機性被打破，平均譜半徑越過了內(nèi)環(huán)半徑，DMM指標也越過了閾值，都可以監(jiān)測到電力系統(tǒng)事件的發(fā)生.在噪聲幅值標準差5%的環(huán)境3下，由于噪聲的干擾，平均譜半徑的變化沒有越過內(nèi)環(huán)半徑，對此次短路故障事件沒能進行有效監(jiān)測，說明該方法在多噪聲環(huán)境下有一定的局限性；而DMM指標越過了閾值，說明在此幅值噪聲下，也可以正常監(jiān)測到短路故障這一事件的發(fā)生.

在不同節(jié)點、發(fā)生不同類型的短路，添加不同幅值大小的噪聲環(huán)境下，均進行了測試，本方法較傳統(tǒng)MSR法不僅在弱噪聲環(huán)境下的監(jiān)測有更大的裕度，在強噪聲環(huán)境時有更良好的事件監(jiān)測能力.

4 結(jié) 論

本文研究了一種基于隨機矩陣理論的電網(wǎng)事件監(jiān)測方法，通過分析得到以下結(jié)論：

(1)基于隨機矩陣的電網(wǎng)事件監(jiān)測方法，在數(shù)據(jù)驅(qū)動模式下可準確確定事件的發(fā)生，避免了建模分析的局限性.

(2)相較于傳統(tǒng)的MSR分析法，本文所提方法將最大特征值、最小特征值和線性特征值平均值統(tǒng)籌考慮用于事件監(jiān)測，避免傳統(tǒng)分析方法指標進行分析帶來的閾值適應性差、抗噪性能差的問題.

(3)所提方法可滿足在線實時分析的需要，所構(gòu)建的在線數(shù)據(jù)集滿足實際在線使用的需要，具有良好的自適應性.

上述結(jié)論表明，隨機矩陣理論可用于電力系統(tǒng)事件監(jiān)測，在后續(xù)研究中，將對隨機矩陣在電力系統(tǒng)態(tài)勢感知中的應用進行下一步探索.