中美高中數(shù)學(xué)教材“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容比較研究

朱樹(shù)金

【摘 要】 對(duì)中美高中數(shù)學(xué)教材中“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容從內(nèi)容呈現(xiàn)特征、內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)、例題與習(xí)題四方面進(jìn)行比較研究.內(nèi)容呈現(xiàn)特征方面，中國(guó)教材信息技術(shù)使用數(shù)量少但方式均衡，注重?cái)?shù)學(xué)史的融入，美國(guó)教材色彩艷麗，形象直觀(guān)，信息技術(shù)運(yùn)用數(shù)量多但主要應(yīng)用于解題;內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)方面，中國(guó)教材具有連續(xù)性好、系統(tǒng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，美國(guó)教材知識(shí)完整性好，兩國(guó)教材概念引入方式、知識(shí)點(diǎn)的廣度略有差別;例題方面，兩國(guó)教材的例題數(shù)量和類(lèi)型無(wú)較大差別，且都注重?cái)?shù)學(xué)圖和旁白的插入，但美國(guó)教材例題表現(xiàn)形式更加豐富，求解過(guò)程更加詳細(xì);習(xí)題方面，美國(guó)教材習(xí)題比中國(guó)教材數(shù)量大、類(lèi)型多，且重視重復(fù)性的練習(xí)，重視探究開(kāi)放題.并據(jù)此提出了我國(guó)教材編寫(xiě)的思考與建議.

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線(xiàn);中美;教材比較

1 問(wèn)題提出

教材是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)的教學(xué)規(guī)范用書(shū)，是老師上課的主要參考材料.英國(guó)劍橋大學(xué)Ken Ruthven在2014年數(shù)學(xué)教材研究與發(fā)展國(guó)際會(huì)議中指出：當(dāng)今數(shù)學(xué)教材的形式及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位發(fā)生了很大變化，對(duì)教材的研究分析應(yīng)該受到人們更多的重視[1].

作為代數(shù)與幾何交界處的內(nèi)容，一方面，“圓錐曲線(xiàn)”是高中數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，同時(shí)也是高考中占比大、難度高的部分，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等豐富的數(shù)學(xué)思想;另一方面，“圓錐曲線(xiàn)”與科研、生產(chǎn)以及人類(lèi)的生活具有十分密切的聯(lián)系[2].然而，通過(guò)文獻(xiàn)分析發(fā)現(xiàn)很多研究是從宏觀(guān)層面分析一本教材或者幾何與代數(shù)等的某一模塊內(nèi)容，很少有研究者去研究一個(gè)特定數(shù)學(xué)內(nèi)容概念化、結(jié)構(gòu)化的呈現(xiàn)方式[3]，而關(guān)于“圓錐曲線(xiàn)”部分的研究就更少之又少了.通過(guò)對(duì)中美教材“圓錐曲線(xiàn)”部分進(jìn)行比較研究，改進(jìn)課程與教學(xué)，可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓錐曲線(xiàn)與其他科學(xué)的聯(lián)系并將其應(yīng)用到實(shí)際生活.

本研究選取中國(guó)和美國(guó)數(shù)學(xué)教材“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容作為研究對(duì)象，從內(nèi)容呈現(xiàn)特征、內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)、例題與習(xí)題四方面進(jìn)行比較，分析兩個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)教材的特色與差異，總結(jié)教材中關(guān)于圓錐曲線(xiàn)部分的設(shè)計(jì)與編排啟示.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究樣本

國(guó)內(nèi)選取使用范圍最廣的人民教育出版社2008年出版的數(shù)學(xué)A版教材《數(shù)學(xué)必修2》和《數(shù)學(xué)選修2-1》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教版）;美國(guó)沒(méi)有全國(guó)性的教材評(píng)審機(jī)構(gòu)，聯(lián)邦政府教育部沒(méi)有對(duì)中小學(xué)教材進(jìn)行審定的責(zé)任與義務(wù)，教材的評(píng)估與選定根據(jù)各州的實(shí)際情況而定，因此選取美國(guó)使用范圍很廣的全球知名出版公司Pearson教育集團(tuán)2008年出版的《Algebra2》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)PR版）

.2.2 研究方法

定性描述與定量刻畫(huà)相結(jié)合的方法.

3 研究結(jié)果

3.1 內(nèi)容呈現(xiàn)特征

3.1.1 宏觀(guān)比較

內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)的宏觀(guān)方面將從內(nèi)容所占頁(yè)數(shù)、直觀(guān)特點(diǎn)和欄目設(shè)置三個(gè)方面進(jìn)行比較分析.

人教版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容所占頁(yè)數(shù)多于PR版，分別為為77頁(yè)和59頁(yè)，且兩個(gè)版本教材每頁(yè)所承載的內(nèi)容量大體相同.

直觀(guān)特點(diǎn)方面，PR版教材比人教版更加色彩艷麗、形象直觀(guān).PR版教材視覺(jué)效果華麗，將概念、定理等用不同色彩的底色襯托或者用方框標(biāo)出，實(shí)物圖、彩色照片的數(shù)量豐富，內(nèi)容更加直觀(guān)形象;人教版教材概念、定理等的標(biāo)注沒(méi)有PR版醒目直觀(guān)，彩色圖片等偏少.PR版教材視覺(jué)感受更加舒適，更加具有趣味性和感知性，但是圖片繁多有可能分散學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的注意力，對(duì)于抽象思維能力較高的高中生是否還要進(jìn)行這樣的處理需要教育學(xué)、心理學(xué)等相關(guān)研究者進(jìn)行更加深入的分析研究.

人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容的欄目設(shè)置如表1.

人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容欄目設(shè)置都十分豐富，各有特色.人教版閱讀思考等為其特色欄目，提供一些數(shù)學(xué)史故事、數(shù)學(xué)問(wèn)題供學(xué)生閱讀;PR版節(jié)目標(biāo)、專(zhuān)題為其特色欄目.

PR版教材可讀性更強(qiáng)，有利于學(xué)生自學(xué).PR版教材在一節(jié)內(nèi)容開(kāi)始之前列出該節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)目標(biāo)獲得本節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容、重點(diǎn)內(nèi)容等，從而更好地進(jìn)行接下來(lái)的學(xué)習(xí).當(dāng)前高中生的抽象能力已經(jīng)隨年齡增長(zhǎng)大大增強(qiáng)，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自學(xué)有利于學(xué)生在不斷解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、克服數(shù)學(xué)苦難的過(guò)程中逐漸增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于教師有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效率[4].

PR版教材部分章節(jié)后面會(huì)有節(jié)后專(zhuān)題，主要介紹一種與前節(jié)知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法或技能，如在第一節(jié)“圓錐曲線(xiàn)探索”之后有“用圖形計(jì)算器畫(huà)圓錐曲線(xiàn)”的專(zhuān)題.這樣的設(shè)計(jì)安排一方面可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，另一方面，學(xué)生使用計(jì)算軟件的能力在專(zhuān)題訓(xùn)練中得到加強(qiáng).

3.1.2 微觀(guān)比較

內(nèi)容呈現(xiàn)特征的微觀(guān)方面從信息技術(shù)運(yùn)用和數(shù)學(xué)史融入兩個(gè)方面進(jìn)行比較.

根據(jù)兩版本教材信息技術(shù)使用的特點(diǎn)將信息技術(shù)使用方式分為解題、驗(yàn)證、探究、引入新知四類(lèi).解題為要求使用信息技術(shù)進(jìn)行解題;驗(yàn)證為使用信息技術(shù)驗(yàn)證所得答案的正確性;探究為使用信息技術(shù)進(jìn)行探究性的活動(dòng);引入新知為使用信息技術(shù)分析問(wèn)題從而引入新的知識(shí).人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容信息技術(shù)使用的數(shù)量及方式如表2.

首先，PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容信息技術(shù)運(yùn)用數(shù)量遠(yuǎn)大于人教版;其次，人教版信息技術(shù)被均勻用于解題、探究和引入新知，而PR版主要用于解題;另外，人教版注重幾何畫(huà)板的使用，PR版注重圖形計(jì)算器的使用;特別的，PR版會(huì)有信息技術(shù)的專(zhuān)題，如在第一節(jié)后的專(zhuān)題“用圖形計(jì)算器畫(huà)圓錐曲線(xiàn)圖象”培養(yǎng)學(xué)生使用圖形計(jì)算器的能力.

汪曉勤按照數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，將數(shù)學(xué)教材運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式分為五類(lèi)：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式[5].人教版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容有兩處數(shù)學(xué)史的融入，分別在章引言和閱讀與思考部分，在章引言部分介紹了笛卡爾坐標(biāo)系，在閱讀與思考部分介紹了坐標(biāo)法與機(jī)器證明的發(fā)展過(guò)程，融入數(shù)學(xué)史的方式均為附加式;PR版教材中無(wú)數(shù)學(xué)史的引用.3.2 內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)3.2.1 宏觀(guān)比較

內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)的宏觀(guān)方面將從內(nèi)容所在章、前后章及本章各節(jié)安排三個(gè)方面進(jìn)行比較分析.

人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容所在章、前后章如表3.

首先，人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容所在章的設(shè)計(jì)安排存在不同.人教版圓錐曲線(xiàn)內(nèi)容分布于《數(shù)學(xué)必修2》的第4章“圓與方程”和《數(shù)學(xué)選修2-1》的第2章“圓錐曲線(xiàn)與方程”，由于各地區(qū)學(xué)校的教學(xué)計(jì)劃不同兩本教材的學(xué)習(xí)時(shí)間也有所差異，一般分別在高一下學(xué)期和高二上學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí);PR版教材圓錐曲線(xiàn)內(nèi)容在《Alegbra2》的第10章“Quadratic Relations and Conic Sections（圓錐曲線(xiàn)）”.人教版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容采用螺旋上升式的安排方式，分別在兩本教材中完成圓錐曲線(xiàn)整個(gè)知識(shí)模塊的學(xué)習(xí)，這樣可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，但是明顯增加了學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)和回憶的壓力，可能還造成部分學(xué)生因不能及時(shí)復(fù)習(xí)知識(shí)而增加學(xué)習(xí)新知的難度;PR版一次性學(xué)完“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容，短期內(nèi)對(duì)學(xué)生形成相對(duì)完整的刺激，有利于整體知識(shí)模塊的理解和記憶.

其次，人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容與前后章節(jié)的聯(lián)系也存在差異.人教版版在學(xué)習(xí)完“直線(xiàn)的方程”后學(xué)習(xí)“圓的方程”，在滲透了用代數(shù)解決幾何問(wèn)題的思想之后學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn);PR版圓錐曲線(xiàn)所在章上一章為“數(shù)列和級(jí)數(shù)”，下一章為“統(tǒng)計(jì)與概率”，與圓錐曲線(xiàn)均無(wú)直接關(guān)聯(lián)，而“直線(xiàn)的方程”知識(shí)點(diǎn)安排在PR版的第2章“函數(shù)、方程和圖象”中.人教版在進(jìn)行知識(shí)模塊的安排時(shí)更加注重知識(shí)間的聯(lián)系，連續(xù)性更好，系統(tǒng)性更強(qiáng)，PR版更加注重知識(shí)的整體性，與前后知識(shí)模塊的聯(lián)系與人教版相比較弱.

人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容各節(jié)安排如表4.

首先，人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容主體部分相同但又各有特色.人教版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容共包括7節(jié)，PR版共包括6節(jié)，兩者主要包括圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)4節(jié)，人教版特有節(jié)為“直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系”“空間直角坐標(biāo)系”“曲線(xiàn)與方程”，PR版特有節(jié)為“圓錐曲線(xiàn)探索”和“圓錐曲線(xiàn)的變換”，其他節(jié)內(nèi)容相對(duì)應(yīng).人教版更加注重圖形間的位置關(guān)系，曲線(xiàn)與方程;PR版更加注重圓錐曲線(xiàn)的概念，圓錐曲線(xiàn)的圖形變換.

其次，人教版“圓錐曲線(xiàn)”部分按圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的順序進(jìn)行教材編寫(xiě);而PR版按拋物線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的順序進(jìn)行教材編寫(xiě).

另外，人教版“圓的方程”一章用到平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決與圓有關(guān)的一些平面幾何問(wèn)題，因此在此章的第三節(jié)學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系，要求學(xué)生會(huì)用空間直角坐標(biāo)系表示空間中的點(diǎn)，但無(wú)更多的應(yīng)用，因此其位置設(shè)計(jì)安排有待人們進(jìn)行更多的思考研究.3.1.2 微觀(guān)比較

內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)的微觀(guān)方面將從概念引入方式、知識(shí)點(diǎn)的廣度、相同知識(shí)點(diǎn)的差異三個(gè)方面進(jìn)行比較.

人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”部分各概念的引入方式大體上“不謀而合”，且人教版引入方式相對(duì)更加豐富.兩個(gè)版本教材都由平面截圓錐引入圓錐曲線(xiàn)的定義，都直接給出圓的定義;人教版先介紹了生活中的橢圓，然后通過(guò)用線(xiàn)和筆畫(huà)橢圓引入橢圓的定義，PR版直接通過(guò)用線(xiàn)和筆畫(huà)橢圓引入;人教版先類(lèi)比橢圓然后通過(guò)用拉鏈和筆畫(huà)雙曲線(xiàn)引入雙曲線(xiàn)的定義，PR版直接給出;人教版先舉例再通過(guò)幾何畫(huà)板作圖引入拋物線(xiàn)的定義，PR版給出拋物線(xiàn)圖像后引入.

知識(shí)點(diǎn)指的是教材中單元標(biāo)題、單元的下一級(jí)標(biāo)題、教材中加粗或其他顏色標(biāo)出的定義定理等.人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)如表5.

基于上述概念界定發(fā)現(xiàn)人教版版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”部分知識(shí)點(diǎn)數(shù)量相差不大（38比36）.由表可知兩個(gè)教材的核心知識(shí)點(diǎn)基本相同，均由圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)構(gòu)成，人教版另外給出了圓的一般方程、離心率等的概念，討論了圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系;PR版另外注重圓錐曲線(xiàn)圖像的移動(dòng)，焦點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的一般方程.

中美兩國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中絕大多數(shù)知識(shí)點(diǎn)的表示方法都相同，但是由于基礎(chǔ)教育階段國(guó)際交流較少，所以中美兩國(guó)高中數(shù)學(xué)中部分概念、性質(zhì)、定理的表述和表達(dá)方式存在差異.如兩個(gè)版本教材拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程定義不同，關(guān)于焦點(diǎn)在x軸正半軸上拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程人教版為y2=2px（焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p2，0）），PR版為 x=14cy2（焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0））.

3.3 例題

例題的宏觀(guān)方面從數(shù)量和類(lèi)型兩個(gè)方面進(jìn)行比較，例題的微觀(guān)方面從例題的呈現(xiàn)形式和例題的求解特征兩個(gè)方面進(jìn)行比較.

按陳月蘭等人[6]的例題分類(lèi)方式，將例題分為純數(shù)學(xué)例題和背景性例題，純數(shù)學(xué)例題以數(shù)字、符號(hào)的方式呈現(xiàn)，不涉及任何現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，背景性例題以現(xiàn)實(shí)世界為背景;例題的表現(xiàn)形式包括數(shù)學(xué)圖、非數(shù)學(xué)圖、表、信息技術(shù)、旁白.人教版和PR版圓錐曲線(xiàn)內(nèi)容例題的數(shù)量、類(lèi)型和呈現(xiàn)形式如表6.

首先，人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容例題數(shù)量和各類(lèi)型占比無(wú)較大差別，例題數(shù)量人教版略大于PR版，分別為34和26，人教版純數(shù)學(xué)例題的比例略高于PR版.

其次，人教版和PR版“圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容例題的表現(xiàn)形式都十分豐富，都在例題中插入了大量的圖片與旁白;PR版在例題中插入了更多的非數(shù)學(xué)圖和表，這和PR版數(shù)學(xué)教材直觀(guān)形象的特點(diǎn)相吻合;PR版在例題中同樣注重使用信息技術(shù)解決或者驗(yàn)證數(shù)學(xué)問(wèn)題，而人教版未涉及使用信息技術(shù)求解例題.

例題的求解特征方面，人教版通過(guò)簡(jiǎn)單分析后求解或者直接求解的方式求解例題，形式化、抽象化程度高;PR版會(huì)有更全面直觀(guān)的分析過(guò)程，更詳細(xì)的求解過(guò)程，這也和PR版更適合學(xué)生自學(xué)的特點(diǎn)相符合.

3.4 習(xí)題

3.4.1 宏觀(guān)比較

習(xí)題宏觀(guān)方面從習(xí)題的數(shù)量和類(lèi)型進(jìn)行比較.此處習(xí)題指教材中除例題以外的所有問(wèn)題.人教版和PR版習(xí)題數(shù)量和類(lèi)型如表7.