具有時變時滯的Lur’e系統(tǒng)的新的同步條件

吳葉繁，熊良林，柳瑩瑩，王 珍

(云南民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，云南 昆明 650500)

0 引 言

近20年來，混沌系統(tǒng)的同步問題引起了學者們的關(guān)注[1-5]，原因是同步在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)、信息安全、生物系統(tǒng)、電子電路等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應用和研究前景.很多動力學系統(tǒng)比如蔡氏電路、古德溫模型都可以轉(zhuǎn)化成Lur’e系統(tǒng)來處理，Lur’e系統(tǒng)是一類重要的非線性系統(tǒng)，它由一個線性部分和一個滿足扇區(qū)界限的非線性部分組成[6].因此，很多學者對混沌Lur’e系統(tǒng)的同步問題進行了研究[7-12,24].此外，時滯廣泛存在于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、電路系統(tǒng)、化工系統(tǒng)等各種實際系統(tǒng)中，它的存在往往會導致系統(tǒng)性能變差甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象.綜上所述，研究具有時滯的Lur’e系統(tǒng)的主從同步問題十分有意義[7-21,24].

近期，為了實現(xiàn)相關(guān)系統(tǒng)的同步，學者們發(fā)展了諸多控制方法，比如反饋控制[12-21]、采樣控制[10]、脈沖控制[24].文獻[10]利用采樣控制器，結(jié)合新構(gòu)造的分段可微LKF，研究了Lur’e系統(tǒng)的主從同步問題.當使用反饋控制來實現(xiàn)時滯Lur’e系統(tǒng)的同步時，文獻[14]通過建立一個新的Lur’e-postnikov型李雅普諾夫泛函，結(jié)合使用詹森不等式進行處理，得到幾個時滯依賴同步判據(jù).文獻[12]在構(gòu)造LKF時使用了時滯分割法，并用詹森不等式對LKF的導數(shù)進行放縮，從而得到具有更低保守性的充分條件.文獻[19]通過將三重、四重積分引入到LKF中，結(jié)合使用詹森不等式技術(shù)，獲得了比文獻[12]保守性更低的結(jié)果.可以看到，文獻[14,12,19]通過使用各種方法如時滯分割、多重積分，得到了很好的結(jié)果，然而作者在處理LKF時，使用了詹森不等式.眾所周知，詹森不等式雖然有效但是會帶來一定的保守性[19].為了盡可能地克服這個保守性，以獲得更大的時滯上界，學者們近期得到了一系列重要的不等式[22-23,25-30].比如文獻[27]通過構(gòu)造函數(shù)的方式，改進了詹森不等式，推出了一個名為Wirtinger-based的新不等式.基于此，得出了一些新的穩(wěn)定性條件.借助自由矩陣的思想，文獻[28]推導了一個新穎的自由權(quán)矩陣不等式，它包含詹森不等式和Wirtinger-based不等式.利用自由權(quán)矩陣不等式，建立了保守性更低的穩(wěn)定性條件.最近，文獻[22]的作者利用一組不完全正交的多項式函數(shù)，推導出一個含有更多自由矩陣的新積分不等式，該不等式的特點是可以提供更多交叉項信息和增加更多自由度.文獻[28]中的自由權(quán)矩陣不等式是文獻[22]中的新積分不等式的一個特例，基于這個新不等式[22]，文獻[22]得到了更好的結(jié)果.因此，本文擬基于文獻[22]中的新積分不等式處理技術(shù)，結(jié)合構(gòu)造更符合系統(tǒng)的新LKF，獲得時滯Lur’e系統(tǒng)保守性更低的同步條件.

1 預備知識

1.1 系統(tǒng)描述

考慮一般的帶有反饋控制的時滯Lur’e主從同步系統(tǒng)模型：

(1)

C:u(t)=K(p(t-h(t))-q(t-h(t)))，

其中M，S，C分別表示該模型的主系統(tǒng)、從系統(tǒng)和控制器；x(t)，y(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量，p(t)，q(t)∈Rl是系統(tǒng)的輸出向量；A，B∈Rn×n，D∈Rm×n，W∈Rn×m，以及C∈Rl×n是已知的實數(shù)矩陣；當輸入控制u(t)=0(u(t)∈Rn)時，M，S是2個相同的Lur’e系統(tǒng)，K∈Rn×l表示待定的控制器增益矩陣；時變時滯h(t)滿足如下條件：

(2)

假設(shè)誤差信號e(t)=x(t)-y(t)，則相應的誤差系統(tǒng)可表示成：

(3)

其中η(De(t),y(t))=f(D(e(t)+y(t)))-f(Dy(t)).

(4)

其中D=[d1,d2,…,dm]T，di∈Rn，i=1,2,…,m.

由(4)式，顯然有：

(5)

1.2 引理

引理1[22]x(t)是一個可微函數(shù)：[a,b]→Rn.若對稱矩陣U(∈Rn×n)>0，Z11，Z22，Z33，Z44∈R5n×5n，任意矩陣Z12，Z13，Z14，Z23，Z24，Z34∈R5n×5n，N1，N2，N3，N4∈R5n×n滿足

則下面的不等式成立：

(6)

顯然，不等式(6)中包含自由矩陣，這增加了不等式的自由度，不僅如此，還將提供更多的交叉信息，這些都可為降低保守性發(fā)揮重要的作用.

2 理論結(jié)果及證明

本節(jié)將構(gòu)造一個符合誤差系統(tǒng)(3)特性的新LKF，結(jié)合積分不等式(6)對其導數(shù)進行放縮，獲得使誤差系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定的新充分條件，從而得到使得主從系統(tǒng)(1)同步的控制器設(shè)計條件.

(7)

(8)

(9)

Q3-Q2<0,Q2-Q1<0,

(10)

ψ(h1,0)<0，ψ(h1,u2)<0，ψ(h2,u1)<0，ψ(h2,0)<0，

(11)

則誤差系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，從而主從系統(tǒng)(1)可以達到同步.其中

Π1=e1-e3，Π2=e1+e3-2e6，Π3=6e6-6e9，

Π4=2e1-12e6+30e9-20e12，Π5=e4-e5，Π6=e4+e5-2e8，Π7=6e8-6e11，

Π8=2e4-12e8+30e11-20e14，Π9=e3-e4，Π10=e3+e4-2e7，Π11=6e7-6e10，

e0=[0n×17n0n×m]，ei=[0n×(i-1)nIn0n×(17-i)n0n×m]，i=1,2,…,17，

控制器增益為：

證明：結(jié)合系統(tǒng)(3)的特性，本文選擇如下的LKF

其中

對Vn(et,t)(n=1,2,3,4)沿著誤差系統(tǒng)(3)的解的軌跡求導得：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

另一方面，根據(jù)(5)式，對于正定對角矩陣L3∈Rm×m有下列不等式成立，

-2(η(De(t),y(t))-K-De(t))TL3(η(De(t),y(t))-K+De(t))≥0，

(17)

即

(18)

(19)

因此，根據(jù)式(12)～(19)可得：

(20)

綜上所述，根據(jù)(11)式可以得到，誤差系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的.證畢.

3 數(shù)值實例

我們把所推導的同步準則應用到蔡氏電路中，以說明本文方法的有效性和優(yōu)越性.給出蔡氏電路方程如下：

(21)

從以下兩種情況來說明本文條件的可行性和有效性.

表1 當u1=u2=0,h1=0時，可允許的最大時滯上限及控制器

情況2：當h(t)為常時滯，我們有u1=u2=0，當r1=2，r2=1，h1=0，初值x(0)，y(0)的取值與情況1相同時，可解出h2的最大上界為0.3015,相應的控制器增益矩陣為K=[3.2503 0.2400 -2.9531]T.表格1列出了本文與近期一些文獻結(jié)果的對比，從表格中可以看出，本文所得時滯上限與文獻[12]，[18]和[19]相比，分別提升了64.3%，32.8%和10.8%.且當h2=0.3015時，相應的仿真結(jié)果被展示在圖2-4中.圖3和圖4反應了當誤差系統(tǒng)(3)中的控制輸入u(t)=0時系統(tǒng)的混沌行為；圖2描繪了當u(t)≠0(如K=[3.2503 0.2400 -2.9531]T)時誤差系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡，從圖中可以看出系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的.定理1的有效性得到驗證.

4 結(jié)語

本文探討了時滯Lur'e系統(tǒng)的同步問題.首先，在充分考慮系統(tǒng)內(nèi)部各個狀態(tài)變量之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出了一類新的多個包含增廣向量的LKF.其次，使用一個新的自由矩陣積分不等式并結(jié)合時滯分割法去處理構(gòu)造的LKF的導數(shù).最后，通過一個數(shù)值實例來說明所得結(jié)論的有效性和優(yōu)越性.本文方法還可以拓展到對具有馬爾科夫跳躍的Lur'e系統(tǒng)的同步問題的研究中.