“以題組為情境”的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)用——以“隱圓”為例

江蘇省南通田家炳中學(xué) 易 峻

“以題組為情境”，即是把知識(shí)點(diǎn)、例題、技能與方法通過精心設(shè)計(jì)，變成一系列問題或題組，在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題時(shí)強(qiáng)化和提升，從而達(dá)到課堂教學(xué)的效果。

一、問題的提出

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題中，一般會(huì)采用“知識(shí)回顧—題型總結(jié)—學(xué)生訓(xùn)練”的傳統(tǒng)模式。這種模式對(duì)于高三的學(xué)生而言，司空見慣，難以激發(fā)學(xué)生的興奮點(diǎn)，也就難以達(dá)到設(shè)計(jì)預(yù)期。造成這樣結(jié)果的原因是多方面的：

首先，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題的教學(xué)目標(biāo)是基于清除學(xué)生的知識(shí)和方法盲點(diǎn)，同時(shí)有效地構(gòu)造知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而有效靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)技能解決問題。而傳統(tǒng)模式中的知識(shí)回顧和題型總結(jié)脫節(jié)，題型總結(jié)更是求全而體系化弱，無(wú)法對(duì)學(xué)生形成有效的刺激，造成了學(xué)生聽聽都會(huì)，應(yīng)用時(shí)對(duì)不上號(hào)。

其次，美國(guó)緬因州國(guó)家訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)室提出的學(xué)習(xí)金字塔，用量化的方式發(fā)現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)（討論、實(shí)踐、教授他人）明顯優(yōu)于被動(dòng)學(xué)習(xí)(聽講、閱讀、視聽、演示)的成果。傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課上的將知識(shí)、題型和練習(xí)的割裂使得學(xué)生的參與度低，演化成被動(dòng)接受，不能主動(dòng)建構(gòu)體系并積極實(shí)踐運(yùn)用。

再次，基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和基本技能可以看作數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)形式，在實(shí)際解題中，必須能體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)。以此促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解和技能的提升。因此題型表面上的完整性無(wú)法深化學(xué)生自身的理解能力，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高無(wú)實(shí)際幫助。

下面將以“隱圓”為例，探索題組為情境，融合知識(shí)點(diǎn)、方法和例題的可行性和功能性。

二、課堂實(shí)錄

1.知識(shí)回顧環(huán)節(jié)

教師：怎么求？

學(xué)生2：存在P點(diǎn)在直線x-y+m=0上且滿足x2+y2=4，即轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，從而利用d＜求解。

題組一：2.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C：x2+y2-4x=0，以及點(diǎn)A(-1，0)，B(1，).在圓C 上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由。

學(xué)生3：基于PA2+PB2=12 關(guān)系，A 為定點(diǎn)，P 為動(dòng)點(diǎn)，求出P 點(diǎn)軌跡為x2+y2=5，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系求解。

教師：有些數(shù)學(xué)問題，將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查，解題時(shí)，需要我們通過分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱藏的圓（簡(jiǎn)稱隱圓）。你能歸納出常見的隱圓類型嗎？

學(xué)生4：A 為定點(diǎn)，P 為動(dòng)點(diǎn)，型如：PA=λPB、PA2+PB2=λ、PA÷ PB=λ。

學(xué)生5：當(dāng)將隱圓的動(dòng)點(diǎn)軌跡轉(zhuǎn)化圓時(shí)，就可以使用點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系來(lái)解題。

在整個(gè)知識(shí)回顧環(huán)節(jié)，教師通過題給創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生在探索中歸納知識(shí)，發(fā)現(xiàn)隱圓的轉(zhuǎn)化條件和一般解題思路，教師是組織者、參與者，但學(xué)生主體性地位和知識(shí)體系、方法體系均被強(qiáng)化了。

2.例題教學(xué)

題組二：1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a+2)，若存在點(diǎn)P，使得PA=PB，PC=PD，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是？

學(xué)生6：轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系解決。

學(xué)生7：將切線長(zhǎng)PM、P 轉(zhuǎn)化P1和P2表示，再次轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)、一動(dòng)點(diǎn)問題求P 點(diǎn)軌跡(x-62+y2)=3。

教師：這是化歸的思想。本節(jié)課通過題組一的研究，抽象出隱圓常見的三種形態(tài)，推理出轉(zhuǎn)化為軌跡相交的問題，建立起點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的模型，結(jié)合解析幾何中圖形的直觀性解決問題，解題過程中應(yīng)注意計(jì)算能力的培養(yǎng)，會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

3.課后練習(xí)

題組三：1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點(diǎn)A(0，2)，若圓C 上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，則a 的取值范圍是__。

題組三：2.在等腰ΔABC 中，已知AB=AC，B(-1，0)，AC 邊的中點(diǎn)為D(2，0)，點(diǎn)A 的軌跡所包圍的圖形的面積等于____。

通過構(gòu)造層層遞進(jìn)的題組，將直觀向深層次推進(jìn)，分解教學(xué)難點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)隱圓問題處理的一般化方法的理解，并在深化中收獲成功，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

三、思考與實(shí)踐

知識(shí)是理論，運(yùn)用是實(shí)踐，只有理論與實(shí)踐的完美融合才會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力源泉。學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀性是學(xué)習(xí)進(jìn)步的推動(dòng)力，而主觀性又必須得到教師的保護(hù)和鼓勵(lì)。學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)是高效且高質(zhì)量的，這將成為向上蹦一蹦的基礎(chǔ)，通過題組就夯實(shí)了這一基礎(chǔ)，也就保護(hù)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力和能力。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該是平面的，而是向著思維的縱深處去發(fā)展。題組中采用一題多變、一題多解等設(shè)計(jì)有助于學(xué)生網(wǎng)絡(luò)化地建構(gòu)數(shù)學(xué)體系，有效地克服急功近利的題海戰(zhàn)術(shù)，進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。