非均質(zhì)帶孔平板在對(duì)稱荷載作用下孔周圍應(yīng)力分布規(guī)律研究

姚明宇 劉海謙 顧飛 劉興宗

摘要：利用二維數(shù)值分析軟件RFPA2D對(duì)非均質(zhì)帶孔平板在承受對(duì)稱載荷時(shí)孔周應(yīng)力分布規(guī)律進(jìn)行研究。首先，研究平板與圓孔的相對(duì)大小對(duì)孔周圍應(yīng)力分布規(guī)律的影響，確定了避免因邊界效應(yīng)而影響孔周圍應(yīng)力分布的最小平板尺寸;然后，研究了材料的非均勻性對(duì)圓孔周圍應(yīng)力分布的影響。研究結(jié)果表明：當(dāng)平板長(zhǎng)度與鉆孔直徑之比大于等于10時(shí)，孔周應(yīng)力趨于穩(wěn)定值，此時(shí)的平板尺寸可以避免邊界對(duì)孔周應(yīng)力分布的影響;材料的均質(zhì)度越大，圓孔靠近載荷作用邊一側(cè)的應(yīng)力與所施加的荷載應(yīng)力之比越趨近于1，計(jì)算結(jié)果與彈性力學(xué)中推導(dǎo)的帶孔平板孔周應(yīng)力分布規(guī)律一致。

關(guān)鍵詞：非均質(zhì);帶孔平板;對(duì)稱荷載;孔周應(yīng)力

緒論

混凝土平板是工程上常用的構(gòu)件，常受到對(duì)稱荷載的作用，由于使用及工藝等需要，常在板上開(kāi)孔，由此會(huì)使孔口附近發(fā)生應(yīng)力集中，復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)使混凝土板存在失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)。因此，研究鉆孔混凝土板孔周圍應(yīng)力分布規(guī)律對(duì)于確保板的正常使用具有重大的意義。

由彈性力學(xué)[1]已有的成果可知，帶孔平板受到對(duì)稱的拉應(yīng)力q作用時(shí)，孔周應(yīng)力分布如圖1所示?？字車拷d荷作用一端的A點(diǎn)，朝y方向的應(yīng)力為壓應(yīng)力q;在遠(yuǎn)離荷載作用一端的B點(diǎn)，朝x方向的應(yīng)力為拉應(yīng)力3q。

彈性力學(xué)中給出的孔口應(yīng)力分布規(guī)律可以讓工程人員很方便地根據(jù)板的受力情況估算孔口的應(yīng)力大小，初步判定板的穩(wěn)定性。對(duì)于彈性力學(xué)中給出的孔口應(yīng)力分布的解析解我們要明確如下兩點(diǎn)：（1）平板是均勻的彈性體;（2）孔口的尺寸要遠(yuǎn)小于彈性體的尺寸，并且孔邊距彈性體的邊界比較遠(yuǎn)。然而，對(duì)于工程中常用的混凝土板，其組成材料并不是均勻材料，彈性力學(xué)給出的解析解是否還能適用，需要進(jìn)一步的研究。因此，本文采用數(shù)值計(jì)算的方法，研究了板材的非均勻性對(duì)于孔口周圍應(yīng)力分布的影響。

一、RFPA2D簡(jiǎn)介

RFPA（Realistic Failure Process Analysis）是由唐春安教授等主導(dǎo)研發(fā)的巖石真實(shí)破裂過(guò)程分析軟件[2]。在RFPA中，假設(shè)所有單元的力學(xué)參數(shù)符合Weibull分布方式來(lái)模擬材料的不均勻性，Weibull分布的基本方程如下：

式中，x為巖體單元的力學(xué)性質(zhì)參數(shù)（強(qiáng)度、彈性模量等），x0為單元力學(xué)性質(zhì)參數(shù)的平均值，m為巖體材料的均質(zhì)度系數(shù)，m值越大巖體材料越均勻。

二、模型平板尺寸的確定

在彈性力學(xué)中，推導(dǎo)帶孔平板應(yīng)力分布規(guī)律時(shí)，假設(shè)板是無(wú)窮大的，從而可以忽略邊界對(duì)孔周圍應(yīng)力分布的影響。然而在數(shù)值模擬中，建立無(wú)窮大的板是不實(shí)際的。因此，為了研究當(dāng)板的尺寸多大時(shí)可以忽略邊界對(duì)孔周圍應(yīng)力的影響，利用RFPA2D建立邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形數(shù)值計(jì)算模型，在模型的中心處鉆取直徑為D的圓孔（模型邊長(zhǎng)與孔洞直徑的比值Q=L/D，簡(jiǎn)稱長(zhǎng)徑比），在模型兩個(gè)對(duì)稱邊施加對(duì)稱拉應(yīng)力q（如圖2所示）。計(jì)算采用的材料的泊松比為0.25，彈性模量為65GPa，抗壓強(qiáng)度75MPa，抗拉強(qiáng)度為2MPa，內(nèi)摩擦角為40°，密度為2300kg/m3。為了研究板的尺寸對(duì)孔周應(yīng)力的影響，固定模型中心小孔直徑D為3cm，板的長(zhǎng)徑比Q分別取2，4，6，8，10。為了盡可能與解析解條件一致，在研究模型尺寸時(shí)認(rèn)為材料是均勻的，將均質(zhì)度系數(shù)取大值。在模型的對(duì)稱邊施加對(duì)稱拉應(yīng)力q=1 kPa。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，當(dāng)在模型兩端施加拉應(yīng)力時(shí)，在圓孔靠近載荷作用一端的A點(diǎn)出現(xiàn)壓應(yīng)力，在圓孔遠(yuǎn)離載荷作用一端的B點(diǎn)出現(xiàn)拉應(yīng)力。定義載荷比P為A點(diǎn)應(yīng)力值與模型所施加載荷q的比值，繪制載荷比P與長(zhǎng)徑比Q的關(guān)系曲線如圖3所示。

如圖3所示，但長(zhǎng)徑比小于10的時(shí)候，隨著長(zhǎng)徑比的增大載荷比呈現(xiàn)不規(guī)則的變化，這是因?yàn)閳A孔周圍的應(yīng)力受到了模型邊界效應(yīng)的影響。當(dāng)長(zhǎng)徑比大于等于10時(shí)，載荷比等于1。根據(jù)彈性力學(xué)中帶孔平白的解析解，當(dāng)板受對(duì)稱載荷時(shí)，載荷比應(yīng)該等于1。因此可以認(rèn)為，當(dāng)板的長(zhǎng)徑比大于等于10的時(shí)候，邊界效應(yīng)對(duì)于孔周圍應(yīng)力的分布不再產(chǎn)生影響。

三、材料非均勻性對(duì)孔周應(yīng)力的影響

根據(jù)前面的研究，當(dāng)長(zhǎng)徑比大于等于10時(shí)，可以避免長(zhǎng)徑比對(duì)孔周圍應(yīng)力的影響。因此在研究均質(zhì)度對(duì)孔周圍應(yīng)力影響時(shí)，同樣采用圖2所示模型，其中孔洞直徑D=3cm，模型邊長(zhǎng)L=30cm，在模型的對(duì)稱邊施加對(duì)稱拉應(yīng)力q=1 kPa。均質(zhì)度系數(shù)分別為2，3，4，5，7，9，11，13，15，20。載荷比P與均質(zhì)度系數(shù)的關(guān)系如圖4所示。

如圖4所示，當(dāng)材料均質(zhì)度系數(shù)較小時(shí)，載荷比數(shù)值波動(dòng)較大，沒(méi)有明顯的變化規(guī)律。當(dāng)材料的均質(zhì)度系數(shù)較大時(shí)，載荷比逐漸收斂并趨近于1。當(dāng)均質(zhì)度系數(shù)較小時(shí)，構(gòu)成材料的基元的力學(xué)性質(zhì)之間差別較大，在外載荷恒定的條件下，材料內(nèi)部仍然會(huì)形成分布不均勻的應(yīng)力，從而導(dǎo)致孔洞周圍應(yīng)力分布復(fù)雜，沒(méi)有明顯的變化規(guī)律。當(dāng)均質(zhì)度系數(shù)較大時(shí)，構(gòu)成材料的各個(gè)基元之間的力學(xué)性質(zhì)相差不大，在外載荷恒定的條件下，材料內(nèi)部應(yīng)力分布均勻，這也是為什么彈性力學(xué)中對(duì)于帶孔平板的解析解推導(dǎo)過(guò)程中要假設(shè)材料是均勻的原因。

四、結(jié)論

（1）長(zhǎng)徑比會(huì)對(duì)帶孔平板孔周應(yīng)力分布規(guī)律產(chǎn)生影響。當(dāng)邊長(zhǎng)比過(guò)小時(shí)，受邊界效應(yīng)的影響載荷比呈現(xiàn)波動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)長(zhǎng)徑比大于等于10時(shí)，孔周圍應(yīng)力分布不再受邊界的影響，此時(shí)的載荷比等于1。

（2）材料的非均勻性會(huì)對(duì)帶孔平板孔周應(yīng)力分布規(guī)律產(chǎn)生影響。當(dāng)均質(zhì)度較低時(shí)，材料不均勻，孔周圍應(yīng)力分布規(guī)律復(fù)雜;當(dāng)均質(zhì)度較大時(shí)，材料更均勻，孔周圍應(yīng)力分布規(guī)律與彈性力學(xué)推導(dǎo)的解析解越接近。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?徐芝綸. 彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M]. 高等教育出版社，2013.

[2] ?唐春安，趙文. 巖石破裂全過(guò)程分析軟件系統(tǒng)RFPA2D[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1997，016（005）：507-508.

基金項(xiàng)目：“山東省高等學(xué)校科技計(jì)劃項(xiàng)目”（J13LG08）

（作者單位：魯東大學(xué)土木工程學(xué)院）