調(diào)和映照的正規(guī)性

孫乾乾， 陳行堤， 胡春英

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

1 預(yù)備知識

Arbelaez等[3]給出正規(guī)調(diào)和映照的一個判別定理.

其中,Ik的遞推公式為

設(shè)z1，z2是區(qū)域Ω內(nèi)的任意兩點，記l(γ)為連接z1，z2的任意可求長曲線的長度.若存在常數(shù)1≤M<+∞，使得l(γ)≤M|z1-z2|，則稱Ω為M-線性連結(jié)區(qū)域[11].

2 主要結(jié)論與證明

則fuα(z)是正規(guī)的.

證明: 假設(shè)‖fuα‖n<+∞，?z，w∈D，γ:[0，1]→D是連結(jié)z，w的雙曲測地線，則有

因此，A(x)在[0，+∞)內(nèi)有上界.

證明：假設(shè)f(z)是正規(guī)的.由定理A得

又由定理B得

從而有

因為g(z)∈B1，所以有

所以有如下兩種情況.

1) 當(dāng)|f(z)|

2) 當(dāng)|f(z)|≥B1時，由引理1可得

所以有

故fu1(z)是正規(guī)的.

由g(z)∈B1當(dāng)且僅當(dāng)g′(z)∈B2，利用遞推知g(α)(z)∈Bα+1.從而由命題1可得到如下定理.

證明：當(dāng)α=1時，命題1已證.

所以有

當(dāng)n=1時，由于有g(shù)(z)∈B1，所以有

結(jié)論成立.

從而存在常數(shù)Nk+1，使得

下面給出一個具體的例子.

證明：簡單計算可知f(z)是正規(guī)的，且g(z)∈B1.又因為

所以fu1(z)是正規(guī)的.

但是當(dāng)f(z)和fu1(z)是都是正規(guī)的時，g(z)不一定屬于B1.下面給出反例.

證明：因為有

所以f(z)是正規(guī)的.

所以有

故fu1(z)是正規(guī)的.

當(dāng)z取實數(shù)并趨于1時有

所以g(z)?B1.

反例2說明g(z)∈B1不是必要的.

由g(z)單葉解析，有

從而有

因此，fu1(z)是正規(guī)的.