“認(rèn)識(shí)概率”的錯(cuò)解分析

文顧 星

（作者單位：江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

概率題常以實(shí)際生活為背景，與我們的生活密切聯(lián)系。我們要學(xué)會(huì)用概率的觀點(diǎn)、隨機(jī)觀念分析問題，走出主觀臆斷做出的決策誤區(qū)。學(xué)習(xí)概率對科學(xué)決策、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。現(xiàn)就幾種常見的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、事件的識(shí)別

例1下列事件：①在無水的干旱環(huán)境中，樹木仍會(huì)生長；②打開數(shù)學(xué)課本時(shí)，剛好翻到第60頁；③367人中，至少有兩人的生日相同；④今年14歲的小亮是初中學(xué)生。

其中隨機(jī)事件有（ ）。

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【錯(cuò)解】C。

【分析】部分同學(xué)誤認(rèn)為③是隨機(jī)事件，事實(shí)上，一年最多有366天，367人中一定會(huì)有至少兩人的生日相同。

隨機(jī)事件就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可判斷。

【正解】①是不可能事件；

②是隨機(jī)事件；

③是必然事件；

④是隨機(jī)事件。

故選B。

【點(diǎn)評】本題主要考查了隨機(jī)事件的概念。解答本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件三個(gè)概念。必然事件是指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件，是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。

變式下列事件中，屬于確定事件的個(gè)數(shù)是（ ）。

（1）打開電視，正在播廣告；

（2）投擲一枚普通的骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)小于10；

（3）射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)；

（4）在一個(gè)只裝有紅球的袋中摸出白球。

A.0 B.1 C.2 D.3

【錯(cuò)解】B。

【分析】部分同學(xué)誤以為確定事件是必然事件，僅包括一定發(fā)生的事件。其實(shí)，確定事件是指一定發(fā)生的事件或一定不會(huì)發(fā)生的事件。根據(jù)定義即可確定答案。

【正解】（1）（3）屬于隨機(jī)事件；

（2）是必然事件，屬于確定事件；

（4）是不可能事件，屬于確定事件。

故屬于確定事件的個(gè)數(shù)是2。

故選：C。

【點(diǎn)評】本題主要考查了確定事件的定義，其包括必然事件和不可能事件。

二、對概率本質(zhì)的理解

例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若前3次都是正面朝上，則第4次正面朝上的概率（ ）。

【錯(cuò)解】C。

【分析】部分同學(xué)誤以為前3次都是正面朝上，則正面朝上的概率大于反面朝上的概率。

其實(shí)該硬幣質(zhì)地均勻，每一次拋擲硬幣，硬幣正面朝上的概率等于反面朝上的概率，可直接得出答案。

【正解】第4次拋擲這枚硬幣，正面朝上的概率為故選B。

【點(diǎn)評】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的定義是解題關(guān)鍵。一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是由這個(gè)隨機(jī)事件自身決定的，并且是客觀存在的。概率是隨機(jī)事件自身的屬性，它反映這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。

三、頻率與概率的估計(jì)

例3某水果超市為了吸引顧客來店購物，設(shè)立了一個(gè)如圖1所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，開展購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)。顧客購買商品滿200元就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在“一袋蘋果”的區(qū)域就可以獲得一袋蘋果為獎(jiǎng)品；指針落在“一盒櫻桃”的區(qū)域就可以獲得一盒櫻桃為獎(jiǎng)品。下表是該活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n落在“一袋蘋果”區(qū)域的次數(shù)m落在“一袋蘋果”區(qū)域的頻率100 200 150 500 800 1000 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 68 108 560 690 140 355 m n

下列說法不正確的是（ ）。

A.當(dāng)n很大時(shí)，估計(jì)指針落在“一袋蘋果”區(qū)域的頻率大約是0.70

B.假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，獲得一袋蘋果的概率大約是0.70

C.如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的次數(shù)大約有600次

D.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得一盒櫻桃

【錯(cuò)解】C。

【分析】根據(jù)圖表可求得指針落在“一袋蘋果”區(qū)域的概率。另外，概率是多次試驗(yàn)的結(jié)果，因此不能說轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得一盒櫻桃。

【正解】頻率穩(wěn)定在0.7左右，故用頻率估計(jì)概率，指針落在“一袋蘋果”區(qū)域的頻率大約是0.70，故A選項(xiàng)說法正確；

由A可知B選項(xiàng)說法正確；

指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的概率為0.30，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的次數(shù)大約有2000×0.3＝600次，故C選項(xiàng)說法正確；

D是隨機(jī)事件，結(jié)果不確定，故D選項(xiàng)說法不正確。

故選D。

【點(diǎn)評】本題主要考查用頻率估計(jì)概率的方法。概率是多次試驗(yàn)得到的一個(gè)相對穩(wěn)定的值,表格中有用的信息往往就是最后的試驗(yàn)次數(shù)多的時(shí)候?qū)?yīng)頻率的值。通常，在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定。

例4如圖2顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)拋擲一枚硬幣的某次試驗(yàn)的結(jié)果：

下面有三個(gè)推斷：

①當(dāng)拋擲次數(shù)是100時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“正面向上”的次數(shù)是47，所以“正面向上”的概率是0.47；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用計(jì)算機(jī)模擬此試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為150時(shí)，“正面向上”的頻率一定是0.45。

其中合理的是（ ）。

A.① B.② C.①② D.①③

【錯(cuò)解】D。

【分析】隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面向上”的概率是0.5，據(jù)此進(jìn)行判斷即可。

【正解】①當(dāng)拋擲次數(shù)是100時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“正面向上”的次數(shù)是47，試驗(yàn)次數(shù)太少，不能估計(jì)“正面向上”的概率是0.47，故錯(cuò)誤；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面向上”的概率是0.5，故正確；

③若再次用計(jì)算機(jī)模擬此試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為150時(shí)，“正面向上”的頻率不一定是0.45，故錯(cuò)誤。

故選B。

【點(diǎn)評】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答的關(guān)鍵是明確概率的定義。大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小。根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率。