以初中數(shù)學(xué)“分式方程”為例談培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的研究

廣東省廣州市白云區(qū)南悅中學(xué) 蘇華強(qiáng)

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)高階思維能力的核心

在初中階段，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力，我們可以從提出問題、明確問題、假設(shè)問題、解決問題以及檢驗結(jié)果的能力等方面入手。在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，并通過做題練習(xí)來不斷強(qiáng)化知識的運用，再從橫向和縱向兩方面進(jìn)行對比，最后總結(jié)、概括出解題的方法，隨后驗證結(jié)果是否正確，在分析題目、對比的過程中，我們需要教會學(xué)生不僅要看懂題目的表面意思，還要學(xué)會從表象中找出隱含條件，正確解題，學(xué)會揭開表象看本質(zhì)。

二、以初中數(shù)學(xué)“分式方程”為例談培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的研究

分式方程是一元一次方程、兩元一次方程組的延伸，和后面即將學(xué)習(xí)的一元二次方程是初中階段必須掌握的四種方程，也是中考的必考點之一?？荚囶}型大致有以下三類：（1）解分式方程，注意不要忘了驗根；（2）解帶有未知字母(以m 為例)的分式方程，根據(jù)題設(shè)(一般是已知解為非負(fù)數(shù)，方程無解等等)，列出關(guān)于m 的等式或不等式，求m 的值或取值范圍；（3）分式方程的應(yīng)用題，一般是工程問題、路程問題、銷售問題、貨物運輸、輪船順逆水行駛等。分式方程對于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，并不是很難的知識點。

1.分式方程

（1）分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫作分式方程。

在解方程的時候，如果產(chǎn)生了分母等于0 的根，那么這個根就是這個分式方程的增根。在解決這樣的問題的時候，需要及時進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后再將增根代入整式的方程當(dāng)中，這樣就可以求出方程的未知系數(shù)的值了，但是還需要代回分式方程，看是否解出來增根。相比而言，這樣的問題具有一定的復(fù)雜性，需要開動腦筋，將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡化處理，提升綜合解決效率。

師：很不錯，聯(lián)想到了以前學(xué)習(xí)的知識點，分式方程無解應(yīng)該分兩種情況，只不過有的有兩種情況，有的無解剛好就是增根。對于這些不同的情況，還是需要采用不同的解決方案。大家動手算一算，看一看這道題是哪種情況？

生：化為整式方程是2（x-1）=-m，方程有解，所以應(yīng)該解是增根.師：好，我們再來看幾道題。

點評：此題考查了分式方程的解，由分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，分式方程無解有兩種情況：（1）整式方程無解；（2）整式方程的解使得最簡公分母為0。

因此，需要分情況討論求a 的值，還有一點同學(xué)們要注意：應(yīng)當(dāng)用分類討論思想解決問題時，最后一定要有總結(jié)性的話語，通常用“綜上所述”。對于這種復(fù)雜的題目，通過準(zhǔn)確的總結(jié)，可以有效提煉出自己的觀點，讓整個解題過程一目了然，同時鍛煉自己的歸納能力，實現(xiàn)學(xué)習(xí)效能的有效提升。

解析：去分母得x-m=x（m-1)，若方程無解，則有：①原方程有增根，則x=0；②原方程無解，整式方程整理得（2-m）x=m。

2.分式方程的應(yīng)用

解分式方程應(yīng) 用題的步驟：①審；②設(shè)；③列；④解；⑤驗(二次驗證)；⑥答。

例4：在一座城市的美化工程招標(biāo)過程中，共有甲和乙兩個工程隊參與投標(biāo)活動，根據(jù)測算，如果由甲工程隊單獨完成這項工作，需要60 天的時間，那么，如果由甲工程隊前期先完成20 天的工作任務(wù)，剩下的部分則由甲工程隊和乙工程隊共同完成，需要24 天的時間。

（1）假設(shè)乙工程隊單獨完成這個美化工程，需要多長時間？

（2）假設(shè)由甲工程隊先施工一天，這種情況需要3.5 萬元的工程款，而乙工程隊每施工一天需要2 萬元的工程款。現(xiàn)在根據(jù)工程計劃，這項工程要求在70 天內(nèi)完成任務(wù)，在不超過規(guī)定的工程計劃的情況下，怎樣才能最節(jié)約資金，是由甲工程隊獨自完成？還是由乙工程隊獨自完成？或是最終由兩個工程隊工共同來完成？

師：說說你的方程。正確的，對比一下，你能說說這兩個方程的區(qū)別嗎？

生：第一個同學(xué)是把前20 天甲的工作總量加上甲、乙合作24天的工作總量等于整個工作總量單位1；第二個同學(xué)是分別算出在整個工作中甲、乙的工作總量，再令其和等于1。

師：很好，實際上一個是按時間劃分成單獨和合作兩部分，一個是按甲、乙隊劃分成兩部分。就形式來看，第二種式子看起來更易整理、更簡單。

總結(jié)：

等量關(guān)系一：單獨工作的工作總量+合作的工作總量=1；

等量關(guān)系二：甲的工作總量+乙的工作總量=1。

解：（1）設(shè)乙單獨完成這項工程需要x 天，

則甲、乙全程合作完成該工程需付的工程款為：36×（3.5+2）=198（萬元）；

甲單獨完成該工程需付的工程款為：60×3.5=210（萬元）；

乙單獨完成需90 天，超過計劃天數(shù)，不符合題意。

答：在不超過計劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成省錢。

分式方程是初中數(shù)學(xué)中的一種非常重要的方程，我們要在分式方程方面深度挖掘，不斷訓(xùn)練學(xué)生思維，讓學(xué)生在解題的過程中提煉精華，善于總結(jié)此類問題的解決方法，從而在思維上得到一定的升華?；诖?，在開展分式方程的學(xué)習(xí)與答題過程中，要充分重視到學(xué)生思維的訓(xùn)練，教師不能固守在傳統(tǒng)的教學(xué)體系中，而是要順應(yīng)題目知識的變化，結(jié)合學(xué)生自身的特點，有的放矢地培養(yǎng)學(xué)生思維能力，注重分式方程知識體系的構(gòu)建，提升學(xué)生的綜合認(rèn)知與接受能力，引導(dǎo)學(xué)生參與到知識體系中，提升初中數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)效果。