基于卡爾曼濾波的層析四維水汽分布研究

薛建華，曹海洋，張鵬飛

（1.山西大同大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，山西大同 037003；2.開封市規(guī)劃勘測設(shè)計研究院，河南開封 475004；3.中國科學(xué)院國家授時中心，陜西西安 710600；4.中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點實驗室，陜西西安 710600）

隨著地基GPS 斜路徑水汽SWV 研究的不斷深入，利用地基GPS網(wǎng)的斜路徑濕延遲基于層析技術(shù)為獲取水汽空間分布提供了新的契機，不但可以獲得高精度、高分辨率的大氣可降水量，而且可以獲得具有高精度的三維空間分布，使之成為傳統(tǒng)大氣探測手段的有力補充。

國內(nèi)外學(xué)者對水汽層析算法開展了廣泛的研究[1-5]，論證了利用地基GPS監(jiān)測網(wǎng)層析水汽空間分布的可行性。本文系統(tǒng)介紹了基于卡爾曼濾波的層析水汽算法，并依據(jù)其獲得四維產(chǎn)品分析暴雨期間的水汽變化特征，為水汽四維產(chǎn)品的實際應(yīng)用提供一定借鑒。

1 地基GPS層析水汽基本原理

地基GPS層析水汽的主要思想是將GPS斜路徑延遲作為輸入值，利用一定的層析算法，最終得到空間水汽的三維分布。當(dāng)GPS衛(wèi)星發(fā)射的無線電信號穿過對流層時，由于對流層中濕空氣折射的影響而產(chǎn)生一定的延遲，該延遲可以表示為如下形式：

式中：n為濕折射率；l為GPS信號斜路徑長度。

在實際層析中，通常將所研究區(qū)域上空劃分為三維立體網(wǎng)格，將積分路徑離散化，見圖1。

圖1 地基GPS層析水汽格網(wǎng)模型

假設(shè)在一定的時間段內(nèi)每個網(wǎng)格的濕折射率是一個未知常數(shù)xi,j,k，i，j，k分別表示第i層第j行第k列，若某個衛(wèi)星信號p穿過該網(wǎng)格的長度為則離散化的濕延遲SWDp可表示為：

在一定的觀測時段內(nèi)，穿過每個立體格網(wǎng)的斜路徑觀測值就會有多條，進(jìn)一步可以構(gòu)成層析水汽的觀測方程組，即：

式中：Hs為系數(shù)矩陣；X為每個立體格網(wǎng)的濕折射率構(gòu)成的列矩陣；es為觀測誤差。

2 基于卡爾曼濾波的層析算法

基于卡爾曼濾波的層析水汽算法的基本思想是：將對流層濕延遲作為輸入量，形成式（3）的方程，并將其作為卡爾曼濾波的觀測方程，然后依據(jù)區(qū)域地基GPS 網(wǎng)所劃分的格網(wǎng)參數(shù)向量的時空變化建立狀態(tài)方程，最后利用卡爾曼濾波算法求解每個格網(wǎng)狀態(tài)參數(shù)。

假設(shè)在短時間內(nèi)各立體網(wǎng)格的濕折射度符合高斯-馬爾科夫的隨機游走平穩(wěn)過程（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk=I），則有狀態(tài)方程為：

式中：wk為狀態(tài)噪聲；Xk為k時刻的濕折射度狀態(tài)向量。

在本文中，假設(shè)每個立體格網(wǎng)的狀態(tài)噪聲wk和觀測噪聲ek期望為零，其方差分別為Qk和Rk的高斯白噪聲序列。由圖2可以看出，卡爾曼濾波的遞推過程中，首先要確定狀態(tài)參數(shù)Xk的初值和初始方差。根據(jù)前人的研究，通常情況下初始方差陣取狀態(tài)噪聲Qk在初始時刻的方差陣Q0，狀態(tài)參數(shù)的初值也可取為所以問題的關(guān)鍵在于確定狀態(tài)噪聲Qk的方差。

首先可以根據(jù)劃分的三維立體格網(wǎng)空間上的關(guān)系，同時考慮到大氣分布的整體性以及隨時間的運動型，建立三維格網(wǎng)之間的相關(guān)函數(shù)為：

式中：L=3×106m，取自經(jīng)驗系數(shù)；R3d為同一時刻兩點距離；R4d為不同時刻兩點距離，可以有下式確定：

式中：hi和hj分別為網(wǎng)格的高度；C0為權(quán)系數(shù)，通常取C0=100；Vw為氣塊格網(wǎng)的運動速度；T為時間間隔。

因此，通過上述的算法，將可以按照圖2 給出的濾波遞推流程進(jìn)行空間濕折射度的計算[7]。

3 層析算法驗證

為了驗證上述算法的有效性，本文選取了西安地區(qū)GPS 氣象服務(wù)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行算例分析。該網(wǎng)絡(luò)共有7 個站，同時選用2011 年8 月5 日西安地區(qū)高精度的探空資料，距離地面每隔1 km反演一次大氣水汽量，最終獲取水汽隨高度分布的廓線。與此同時，利用相應(yīng)時間段西安地區(qū)GPS氣象服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)，基于卡爾曼濾波的層析算法進(jìn)行計算，獲取每個高度層平均水汽含量。鑒于10 km以上水汽含量已經(jīng)接近零值，所以文中僅給出10 km 以下兩種水汽探測手段的結(jié)果，見圖3和圖4。

圖3 基于卡爾曼濾波層析與探空資料對比圖

圖4 基于卡爾曼濾波四維層析對比圖

（1）從圖3 中可以看出基于卡爾曼濾波的層析算法的結(jié)果與探空資料反演的水汽值整體吻合較好，有效驗證了本文層析算法的正確性。因此，將地基GPS氣象服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的GPS觀測站作為一個個實時探測的水汽的探空站，同時氣象服務(wù)網(wǎng)絡(luò)還可以反演水汽的水平變化情況。

（2）結(jié)合圖3、圖4的層析結(jié)果可以看出，基于卡爾曼濾波的層析算法可以層析出區(qū)域水汽濕折射率的空間四維分布，同時滿足大氣中水汽分布的基本規(guī)律，即對流層底層受水汽分布密集，隨著高度上升水汽減少，水汽濕折射度逐漸減弱至零。同時也可以發(fā)現(xiàn)，水汽主要集中在距離地面5 km 的以下的范圍。

（3）從上面的結(jié)果中雖然基于卡爾曼濾波的層析算法初步獲得了西安地區(qū)層析結(jié)果，但是本文中缺乏一些外部氣象數(shù)據(jù)綜合分析降水期間的水汽變化特征，需要進(jìn)一步綜合分析水汽的變化特征。

4 結(jié)論

基于卡爾曼濾波的層析算法可以有效獲得區(qū)域GPS網(wǎng)的水汽四維分布，其層析產(chǎn)品可以作為一種全天候的大氣探測手段為分析大氣中水汽的變化提供重要依據(jù)隨著地基GPS 氣象學(xué)的不斷發(fā)展，尤其是四維層析結(jié)果的分析和應(yīng)用[8]，對于建立高精度的對流層模型具有重要意義，以此提高GNSS時間傳遞中對流層誤差的處理水平，進(jìn)一步提高GNSS時間傳遞的精度。