從Euler公式談?wù)剝缰负瘮?shù)的自然定義域

秦玉鵬 范三妞

【摘要】針對(duì)現(xiàn)行教材冪指函數(shù)自然定義域尚不清晰問(wèn)題，本文將實(shí)數(shù)域分為若干情形進(jìn)行討論，并借助Euler公式明確給出了冪指函數(shù)的自然定義域.作為應(yīng)用，指出在對(duì)冪指函數(shù)施行對(duì)數(shù)求導(dǎo)法之前應(yīng)先熟知冪指函數(shù)的自然定義域，而非直接對(duì)其施行對(duì)數(shù)求導(dǎo)，以確保數(shù)學(xué)之嚴(yán)謹(jǐn)性，使大一新生對(duì)冪指函數(shù)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法有一個(gè)更清晰更全面的認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】?jī)缰负瘮?shù);自然定義域;實(shí)數(shù)域;Euler公式;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

【基金項(xiàng)目】河南省教科規(guī)劃一般課題“新時(shí)代背景下基于DBL的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力培養(yǎng)策略研究”〔2019〕-JKGHYB-0240;河南工學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金（KQ1860）.

一、引 言

指數(shù)和底數(shù)都是變量的，形如

f（x）=u（x）v（x）（x∈E，E是數(shù)集）（1）

的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù)，其中u，v是E上的函數(shù)[1].通常情況下，當(dāng)不給出u（x）和v（x）的具體形式時(shí)，總要求u（x）>0（x∈E），此時(shí)冪指函數(shù)可改寫(xiě)成

從而當(dāng)u，v連續(xù)時(shí)它連續(xù)，u，v可導(dǎo)時(shí)它可導(dǎo)[1].（2）的形式在高等數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法中起到至關(guān)重要的作用[2]，通常在做題時(shí)默認(rèn)u（x）>0并直接對(duì)冪指函數(shù)進(jìn)行對(duì)數(shù)求導(dǎo)，而細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)直接默認(rèn)u（x）>0是不合適的，因?yàn)楫?dāng)u（x）<0時(shí)，諸如x=-2這類(lèi)點(diǎn)顯然也在冪指函數(shù)xx的自然定義域內(nèi)，那么一般地，冪指函數(shù)的自然定義域是什么？在定義域內(nèi)各類(lèi)點(diǎn)處的可導(dǎo)性又如何呢？教材上并沒(méi)有給出明確的答案.

顯然，為了回答這個(gè)問(wèn)題，必須首先弄清楚冪指函數(shù)的自然定義域，才能在此基礎(chǔ)上判斷各點(diǎn)的連續(xù)性，進(jìn)而討論其可導(dǎo)性.因此，本文的主要目的就是探析冪指函數(shù)的自然定義域，并在此基礎(chǔ)上回答上述問(wèn)題.

二、預(yù)備知識(shí)

本部分我們將借助Euler公式將對(duì)數(shù)函數(shù)做一個(gè)簡(jiǎn)單推廣.

公式（3）被稱(chēng)為歐拉恒等式，也被理查德·費(fèi)曼稱(chēng)為“最卓越的數(shù)學(xué)公式”.

本文從Euler公式的角度出發(fā)，不再限制對(duì)數(shù)函數(shù)lnx中的真數(shù)部分x>0，而將真數(shù)部分的定義推廣為x>0或x<0.如當(dāng)x=-1時(shí)，借助公式（3）可得

同理，對(duì)一般的x<0，不難推出

三、關(guān)于數(shù)ab（a，b為實(shí)數(shù)）的一個(gè)定理

在探討冪指函數(shù)的定義域之前，我們先來(lái)討論下形如ab（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)在a，b滿(mǎn)足什么樣的條件下為實(shí)數(shù).

注意在以下討論中遵循：任意實(shí)數(shù)的0次冪等于1，即a0=1;0的正實(shí)數(shù)次冪等于零，0的負(fù)實(shí)數(shù)次冪無(wú)意義.討論結(jié)果和舉例詳見(jiàn)定理1和表1.

定理1 若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足下述三類(lèi)情形之一：

（Ⅰ）底數(shù)a為正實(shí)數(shù)（a>0），指數(shù)b為任意實(shí)數(shù);

（Ⅱ）底數(shù)a為負(fù)實(shí)數(shù)（a<0），指數(shù)b為滿(mǎn)足b=m 2n-1，m，n∈Z ，（m，2n-1）=1的有理數(shù);

（Ⅲ）底數(shù)a=0，指數(shù)b為非負(fù)實(shí)數(shù)，則ab為實(shí)數(shù).注意這里（m，2n-1）=1表示m與2n-1互質(zhì).

證明 我們的主要思想是通過(guò)遍歷a，b在實(shí)數(shù)域上的所有可能情形，即先將a在實(shí)數(shù)域上分為“正實(shí)數(shù)”，“負(fù)實(shí)數(shù)”和“0”三類(lèi)情形，再將b在實(shí)數(shù)域上分為“正有理數(shù)”，“負(fù)有理數(shù)”，“正無(wú)理數(shù)”，“負(fù)無(wú)理數(shù)”和“0”五類(lèi)情形進(jìn)行分別討論.

情形1（a>0）：

因?yàn)閍>0是正實(shí)數(shù)，顯然，不論b是何種情形（正有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)，正無(wú)理數(shù)，負(fù)無(wú)理數(shù)，或0），ab表示的都為實(shí)數(shù).

情形2（a<0）：

（ⅰ）當(dāng)b為正有理數(shù)時(shí)，因?yàn)檎欣頂?shù)可表示為正分?jǐn)?shù)（兩個(gè)正整數(shù)之比的數(shù)），則b可表示為“奇數(shù)/奇數(shù)”，“偶數(shù)/奇數(shù)”或“奇數(shù)/偶數(shù)”三種形式，若記

結(jié)合例1的討論，不難發(fā)現(xiàn)教材上在對(duì)形如（1）式的冪指函數(shù)施行對(duì)數(shù)求導(dǎo)時(shí)，默認(rèn)u（x）>0這一前提條件并不會(huì)影響最終的求導(dǎo)結(jié)果，因?yàn)閡（x）<0時(shí)對(duì)應(yīng)的有定義的點(diǎn)都是孤立存在的，是一系列不可導(dǎo)點(diǎn);而對(duì)u（x）=0時(shí)對(duì)應(yīng)的有定義的點(diǎn)也是不可導(dǎo)點(diǎn).

六、結(jié) 論

本文針對(duì)冪指函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的自然定義域問(wèn)題，通過(guò)將實(shí)數(shù)域分為若干情形進(jìn)行了詳細(xì)討論，明確給出了其自然定義域，如定理2所示.將其應(yīng)用于冪指函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，結(jié)果表明在利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，默認(rèn)冪指函數(shù)底數(shù)大于零這一前提條件雖然并不影響最終結(jié)果，但是考慮到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，有必要在熟知了冪指函數(shù)的自然定義域之后再進(jìn)行對(duì)數(shù)求導(dǎo).筆者希望通過(guò)本文的討論，使大一新生對(duì)冪指函數(shù)和對(duì)數(shù)求導(dǎo)法有一個(gè)更清晰更全面的認(rèn)識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]《數(shù)學(xué)辭?！房偩庉嬑瘑T會(huì).《數(shù)學(xué)辭?！返?卷[M].南京：東南大學(xué)出版社，2002：514-515.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014：101-110.