高中數(shù)學(xué)函數(shù)求最值的常用方法

姜洪月 郭麗

【摘要】最值問題是高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)題的常見題型，經(jīng)常與二次函數(shù)、三角函數(shù)及不等式緊密聯(lián)系.本文按六個(gè)方面分類探討求函數(shù)最值的方法，分別是：配方法、函數(shù)的單調(diào)性法、基本不等式法、換元法、幾何法.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);最大值;最小值

求函數(shù)最值的常用方法有：配方法、函數(shù)的單調(diào)性法、基本不等式法、換元法、幾何法、判別式法、分離變量法和導(dǎo)數(shù)法.

一、配方法

適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型.形如F（x）=af2（x）+bf（x）+c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法.

例1 求函數(shù)y=-x2+4x+2（x∈[-1，1]）的最大值與最小值.

解 y=-x2+4x+2=-（x-2）2+6.

∵-1≤x≤1，∴-3≤x-2≤-1，∴1≤（x-2）2≤9，

∴-3≤-（x-2）2+6≤5，∴-3≤y≤5.

∴函數(shù)y=-x2+4x+2（x∈[-1，1]）的最小值為-3，最大值為5.

二、函數(shù)的單調(diào)性法

當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時(shí)，常用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值，若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上取到最大值或最小值.若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，則把該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，在求出各個(gè)小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個(gè)區(qū)間上的最值.

例2 求函數(shù)y=x-1-2x的最值.

解 ∵當(dāng)x增大時(shí)，1-2x隨x的增大而減少，-1-2x 隨x的增大而增大，∴函數(shù)y=x-1-2x在定義域〖JB（（〗-∞，1 2〖JB）]〗上是增函數(shù)，

∴y≤1 2-1-2×1 2=1 2，

∴函數(shù)y=x-1-2x的最大值為1 2，無最小值.

三、基本不等式法

基本不等式：設(shè)a1，a2，…，an是n個(gè)正數(shù)，則有a1+a2+…an 2≥〖KF（S〗n a1a2…an，其中等號(hào)成立的條件是a1=a2=…=an.

運(yùn)用均值不等式求最值，必須具備三個(gè)必要條件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各項(xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件;“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值;“等”是等號(hào)成立的條件.

故原函數(shù)的最小值為5，無最大值.

四、換元法

對(duì)解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù).其題型特征是函數(shù)解析式中含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元;當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元.

例4 求函數(shù)y=2x+1-2x的最值.

解 令t=1-2x（t≥0），則x=1-t2 2，

∴y=-t2+t+1=-t-1 22+5 4.

則當(dāng)t=1 2，即x=3 8時(shí)，ymax=5 4，無最小值.

五、幾何法

某些二元函數(shù)最值問題具有圖形背景，這時(shí)我們可以將所給函數(shù)表達(dá)式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達(dá)式，再利用幾何圖形，對(duì)函數(shù)最值做出直觀的說明和解釋.

例5 求函數(shù)y=|x+3|+|x-5|的最值.

解 ∵y=|x+3|+|x-5|=〖JB（{〗-2x+2（x<-3），8（-3≤x<5），2x-2（x≥5），

∴y=|x+3|+|x-5|的圖像如圖所示，

由圖像知：函數(shù)y=|x+3|+|x-5| 的最小值為8，無最大值.

六、判別式法

把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F（x，y）=0;通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式Δ≥0，從而求得原函數(shù)的值域，形如y=a1x2+b1x+c1 a2x2+b2x+c2（a1，a2不同時(shí)為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解.

例6 求函數(shù)y=x2-x+3 x2-x+1的值域.

解 由y=x2-x+3 x2-x+1變形得（y-1）x2-（y-1）x+y-3=0，

當(dāng)y=1時(shí)，此方程無解;

當(dāng)y≠1時(shí)，∵x∈R ，

∴Δ=（y-1）2-4（y-1）（y-3）≥0，

解得1≤y≤11 3，又y≠1，∴1

∴函數(shù)y=x2-x+3 x2-x+1的最大值為11 3，無最小值.

總而言之，在具體題中求某個(gè)函數(shù)的最值時(shí)，首先要仔細(xì)認(rèn)真觀察這個(gè)題型的特征，然后再選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般做題時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的單調(diào)性法，最后才考慮用其他各種特殊求最值的方法.