控制變量以靜制動(dòng)

楊春霞

圖形與幾何問(wèn)題一直是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在眾多幾何問(wèn)題中，以圓為背景考查的試題則更具有綜合性。當(dāng)圓與三角形、四邊形等圖形結(jié)合時(shí)還加入了圖形運(yùn)動(dòng)，眾多同學(xué)會(huì)感覺(jué)很困難，無(wú)從下手。下面結(jié)合例題對(duì)兩類動(dòng)圓問(wèn)題進(jìn)行剖析。

一、看得見(jiàn)的圓在動(dòng)，看不見(jiàn)的位置在變

例1 如圖1，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D（3，0）和點(diǎn)E（0，4）。動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)M（5，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左做勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿射線DE的方向做勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（2）以點(diǎn)C為圓心、[12t]個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），連接PA、PB。

①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍;

②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，求t的值。

【分析】第（1）問(wèn)是為第（2）問(wèn)服務(wù)的，用t表示點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，實(shí)際上是用含t的代數(shù)式來(lái)表示兩點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離。第（2）問(wèn)首先要有一種“遇動(dòng)會(huì)變、分類相隨”的意識(shí)。這樣的分類在條件中是可以捕捉到信息的，比如“當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)”。這種說(shuō)法對(duì)等腰三角形沒(méi)有指明要素關(guān)系，即不知道哪兩邊是腰。因而，在具有分類意識(shí)的情況下，我們對(duì)動(dòng)圓狀態(tài)的研究就要細(xì)致，讓圓慢慢地動(dòng)，尋找靜的臨界時(shí)刻。

【分析】第（1）問(wèn)以小明的作法為基礎(chǔ)考查菱形的證明，需要同學(xué)們先理解作法，再結(jié)合菱形的判定定理進(jìn)行邏輯推理證明。第（2）問(wèn)是沿著小明的思路進(jìn)一步探索菱形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)D的位置關(guān)系。在探索過(guò)程中，同學(xué)們首先要借助直觀想象發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心、DG為半徑的動(dòng)圓上，因此，菱形的個(gè)數(shù)一方面受動(dòng)圓與線段AB的交點(diǎn)情況的制約，另一方面受AB長(zhǎng)度的制約，考查思維的全面性。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）