動(dòng)能定理在物理問題教學(xué)中的應(yīng)用
——以空氣阻力上拋運(yùn)動(dòng)為例

劉萬海，王 翔

(1.綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽 621006；2 .蘭州城市學(xué)院，甘肅蘭州 741000)

0 引言

學(xué)生在物理課程的學(xué)習(xí)中，對(duì)物理規(guī)律的理解、掌握和應(yīng)用是非常重要的教學(xué)內(nèi)容和任務(wù).空氣阻力[1-6]的上拋運(yùn)動(dòng)問題在中學(xué)物理中主要作為中學(xué)教師的自我提升，對(duì)中學(xué)生沒有作過多要求，而且初入大學(xué)的學(xué)生由于在高中階段幾乎沒有深入學(xué)習(xí)微積分知識(shí)，因此大學(xué)生對(duì)物理規(guī)律進(jìn)行深入的理解、掌握和應(yīng)用有一定的困難.本文響應(yīng)目前教育部倡導(dǎo)的高?！敖鹫n”建設(shè)的要求，并且針對(duì)大學(xué)生的以上學(xué)習(xí)困難，利用大學(xué)生掌握的基本微積分知識(shí)，在大學(xué)物理教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生討論與實(shí)際生活緊密相關(guān)的物理問題，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)物理規(guī)律更好地理解、掌握和應(yīng)用.

1 問題描述

在考慮空氣阻力的情況下，物體從拋出點(diǎn)上升到最高點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間(上升時(shí)間)t上和該物體從最高點(diǎn)落回到原位時(shí)所用時(shí)間(落回時(shí)間)t下的大小關(guān)系，以及上升(落回)距離H上(H下=H上)與上拋(落回)速率v上(v下)之間的關(guān)系.

我們知道，不考慮空氣阻力時(shí)的上拋運(yùn)動(dòng)是中學(xué)物理教學(xué)過程中的教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之一.在不考慮空氣阻力的情況下，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體到達(dá)最高點(diǎn)之后開始下落直到拋出點(diǎn)為止.關(guān)于其上升和下降階段所用時(shí)間之間的關(guān)系等問題，可以從不同的角度進(jìn)行討論.從運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知，上拋階段可視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而下落階段視為勻加速直線運(yùn)動(dòng).兩個(gè)階段物體的加速度方向均為向下，大小相等，即重力加速度. 因此，上升階段物體運(yùn)動(dòng)的距離以及所用時(shí)間和下落階段物體運(yùn)動(dòng)的距離及所用時(shí)間分別相同.在相同加速度的情況下，進(jìn)而可以得知拋出速度的大小和落回原處時(shí)的速度大小也相同.從機(jī)械能的角度來說，只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)物體而言，其機(jī)械能守恒.也就是說，運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過上拋運(yùn)動(dòng)之后又回到原處時(shí)，其重力勢(shì)能沒有變化.因此，其動(dòng)能一定保持不變，從而得出落回原處時(shí)速度大小和拋出時(shí)的速度大小相同.從動(dòng)量定理來看，上升階段和下降階段物體動(dòng)量的變化量大小相同，從而重力的沖量大小也相同.因此，兩階段物體所用時(shí)間相同.總之，對(duì)于不考慮空氣阻力時(shí)的拋體運(yùn)動(dòng)，我們可以運(yùn)用的研究途徑很多.

然而，現(xiàn)實(shí)生活中的運(yùn)動(dòng)物體難免要受到空氣阻力的作用.空氣阻力的存在，給我們研究拋體運(yùn)動(dòng)帶來了不小的挑戰(zhàn).空氣阻力不像重力那樣總保持豎直向下，而總是和物體運(yùn)動(dòng)方向相反.同時(shí)，空氣對(duì)運(yùn)動(dòng)物體阻力的大小也不像重力那樣只與物體的質(zhì)量有關(guān)，而是跟運(yùn)動(dòng)物體的形狀、體積大小和運(yùn)動(dòng)快慢有關(guān).其中，物體的形狀因其外形的不同而千變?nèi)f化，目前為止還無法對(duì)物體的形狀給予定量描述.為此，空氣阻力和運(yùn)動(dòng)物體之間的定量關(guān)系很難確定.空氣阻力，指空氣對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的阻礙力，是運(yùn)動(dòng)物體受到空氣的彈力而產(chǎn)生的.物體在運(yùn)行時(shí)，由于前面的空氣被壓縮，兩側(cè)表面與空氣的摩擦，以及尾部后面的空間成為部分真空，這些作用共同所引起的阻礙作用.在逆風(fēng)運(yùn)行時(shí)，還要把風(fēng)力附加在內(nèi).在現(xiàn)實(shí)生活中，自由落體也受空氣阻力的影響，其速度、接觸面積和空氣密度等都會(huì)影響空氣阻力的大小.通常，我們通過實(shí)驗(yàn)的方法，對(duì)特定形狀的運(yùn)動(dòng)物體在一定情況下所受的空氣阻力的大小進(jìn)行研究.在理論研究中，我們通常采用一定的物理模型來處理空氣阻力的存在.

已有文獻(xiàn)[7]對(duì)考慮空氣阻力的上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律和泰勒公式展開法進(jìn)行了詳細(xì)討論，給出了上升時(shí)間小于落回時(shí)間的結(jié)論.本文從動(dòng)能定理出發(fā)，對(duì)該問題進(jìn)行了較為深入的討論，本著通過一題多解、舉一反三和觸類旁通的方式對(duì)動(dòng)能定理更加深入地理解，使學(xué)生達(dá)到熟練掌握和應(yīng)用的目的.

2 動(dòng)能定理應(yīng)用分析

以下對(duì)該問題首先進(jìn)行定性分析，然后進(jìn)行定量計(jì)算與討論.

2.1 定性分析

(1)

(2)

考慮關(guān)系式(1)，容易得出

t上

(3)

說明在空氣阻力作用下，上升時(shí)間t上小于落回時(shí)間t下.

2.1.2 用動(dòng)能定理討論上拋速率和落回速率之間的大小關(guān)系 根據(jù)動(dòng)能定理：

(4)

將初、末位置選在拋出點(diǎn)、落回點(diǎn)(兩點(diǎn)重合)，上式(4)變?yōu)?/p>

(5)

v上>v下，

(6)

說明在空氣阻力作用下，上拋速率v上大于落回速率v下.

2.2 定量計(jì)算

在空氣阻力作用下，物體在上升階段所受合力為mg+f上，與運(yùn)動(dòng)方向相反做減速運(yùn)動(dòng)，下降階段所受合力為mg-f下，與運(yùn)動(dòng)方向相同做加速運(yùn)動(dòng).為了研究方便，將上升階段等價(jià)為從最高點(diǎn)到拋出點(diǎn)之間的加速運(yùn)動(dòng).這樣，我們只需要研究從最高點(diǎn)到下落距離H的兩種加速運(yùn)動(dòng).這兩種運(yùn)動(dòng)中物體所受合力為F=mg+bf，其中b=1和-1分別對(duì)應(yīng)上升和下降過程.因此，對(duì)于初速度為0，下落H時(shí)速率為V的運(yùn)動(dòng)過程，依據(jù)動(dòng)能定理，有

(7)

其中重力mg為常量，對(duì)其積分后得到

(8)

(9)

這樣，當(dāng)空氣阻力的表達(dá)形式已知時(shí)，關(guān)于拋出點(diǎn)速率的關(guān)系式就得到了.為了討論方便，我們?nèi)】諝庾枇Φ谋磉_(dá)式為f=βvα，其中α可取0和1.當(dāng)α=0時(shí)，β=f0，空氣阻力為恒力的情況；當(dāng)α=1時(shí)，β=k(常系數(shù))，空氣阻力與速度成正比的情況.下面分別進(jìn)行討論.

2.3 討論

(1)α=0時(shí)，上式(9)積分后得到

(10)

從而得到

(11)

(12)

(2)α=1時(shí)，將其帶入積分式(9)后，得到

(13)

δ=bξ-ln(1+bξ).

(14)

因此，我們可以得到上升(取參數(shù)b=1)和下降(b=-1)階段距離隨速度的變化關(guān)系分別為

δ上=ξ上-ln(1+ξ上),

(15)

δ下=-ξ下-ln(1-ξ下).

(16)

我們將無量綱距離隨無量綱速率的變化關(guān)系作圖1.

圖1 無量綱距離隨無量綱速率的變化關(guān)系Fig.1 The Relationship between Dimensionless Distance and Dimensionless Rate

圖1中虛線表示加速下降階段落回距離隨落回速率之間的變化關(guān)系，實(shí)線也表示加速運(yùn)動(dòng)過程中距離和速率之間的關(guān)系，但其對(duì)應(yīng)的是減速上升階段，即該曲線表示的是上升距離和上拋速率之間的關(guān)系.從圖1中曲線可以看出：在考慮正比于運(yùn)動(dòng)速率的空氣阻力時(shí)，無論在上拋階段，還是在下降階段，上拋速率或落回速率越大，物體的上升距離或落回距離越大.如取相同的上拋或落回速率ξ=0.4時(shí)，上升距離不超過0.075，而下降距離超過了0.10，其差別較大.在上升距離(落回距離)一定時(shí)，我們看到上拋速率大于落回原位時(shí)的速率：如δ≈0.11時(shí)，上拋速率超過了0.5，而落回速率僅為0.4，其差別較大.

通過上述討論可知，在考慮空氣阻力的情況下，利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律定性得出了上升時(shí)間小于落回時(shí)間的結(jié)論。利用動(dòng)能定理定性判定了上拋速率大于落回速率，進(jìn)而通過定量計(jì)算，證明了定性分析所得結(jié)果的正確性，同時(shí)給出了上升距離(落回距離)和上拋速率(落回速率)之間的定量關(guān)系式.總之，空氣阻力對(duì)上拋運(yùn)動(dòng)有很大的影響.當(dāng)然，當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度較大時(shí)，空氣阻力和速率的關(guān)系較為復(fù)雜，這里不做介紹.

3 結(jié)語

本文在考慮空氣阻力的情況下，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律和動(dòng)能定理對(duì)上拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了定性和定理分析，很好地體現(xiàn)了物理規(guī)律在實(shí)際物理問題教學(xué)中的應(yīng)用.其實(shí)，由于空氣阻力的存在，我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降暮芏辔锢憩F(xiàn)象，如平拋運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)、上拋運(yùn)動(dòng)、彈簧諧振運(yùn)動(dòng)和單擺的擺動(dòng)等，都可以借助相應(yīng)的物理規(guī)律進(jìn)行深入研究.而且，目前的很多軟件，如數(shù)學(xué)軟件Mathematica、Maple、Matlab，繪圖軟件Tecplot、Origin等，能為我們進(jìn)行科學(xué)研究提供很好的輔助作用，起到事半功倍的效果.討論這類實(shí)際問題，可以加深我們對(duì)物理規(guī)律的理解和掌握，同時(shí)，也可以更好地研究實(shí)際生活中的物理現(xiàn)象，解決真實(shí)情景下的物理問題.因此，在大學(xué)物理教學(xué)中，物理教師要多提出類似的物理問題，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和研究，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.