隨機(jī)多邊形網(wǎng)格鏈圖的ABC指數(shù)

陳維楠， 魏首柳， 楊世永， 鄭升

( 閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350108 )

0 引言

1947年，H.Wiener[1]首次提出了分子拓?fù)渲笖?shù)(Wiener指數(shù)).因分子拓?fù)渲笖?shù)對(duì)研究有機(jī)化合物的定量結(jié)構(gòu)-性質(zhì)相關(guān)性(QSPR)和定量結(jié)構(gòu)-活性相關(guān)性(QSAR)具有重要作用，所以受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并得到了進(jìn)一步發(fā)展，如Randic指數(shù)、Wiener指數(shù)、Merrifield-Simmons指數(shù)、Harmonic指數(shù)、代數(shù)-幾何指數(shù)、Zagreb指數(shù)、擴(kuò)展Zagreb指數(shù)和原子鍵連通性指數(shù)，等等[2]．1998年， Estrada等[3]首次提出了原子鍵連通性指數(shù)(簡稱ABC指數(shù))，該指數(shù)是一個(gè)關(guān)于分子圖的拓?fù)洳蛔兞?其定義為

(1)

其中G表示一個(gè)包含頂點(diǎn)集V(G)={v1,v2,…,vn}和邊集E(G)的圖(或分子圖),di表示其頂點(diǎn)vi的度數(shù).在研究烷烴等化合物的熱形成過程中，因ABC指數(shù)可作為一個(gè)有效的預(yù)測性指數(shù)，因此其在烷烴的穩(wěn)定性以及環(huán)烷烴的應(yīng)變能等研究中得到了廣泛應(yīng)用[3-4].近年來，許多國內(nèi)外學(xué)者研究了多種特殊圖類ABC指數(shù)的計(jì)算問題.例如：文獻(xiàn)[5-6]研究了不同特征或有條件限制的樹的ABC指數(shù)以及它們的各種數(shù)學(xué)性質(zhì)；林文水等[7]證明了Gutman提出的關(guān)于極小ABC指數(shù)的樹的猜想；文獻(xiàn)[8-9]對(duì)具有給定度序列圖的ABC指數(shù)問題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[10-11]對(duì)雙圈圖和化學(xué)雙圈圖的ABC指數(shù)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[12-13]刻畫了具有極值A(chǔ)BC指數(shù)的樹狀六邊形網(wǎng)格圖的極圖及其構(gòu)成；陳錦松等[14]建立了一個(gè)圖的移邊變換與ABC指數(shù)的關(guān)系公式； Ke[15]研究了苯環(huán)系統(tǒng)和熒蒽系統(tǒng)在自由邊界條件下的ABC指數(shù)的表達(dá)式，并且給出了具有極大和極小ABC指數(shù)的樹狀苯環(huán)系統(tǒng)；文獻(xiàn)[16]研究了8.8.4格子圖和8.8.6格子圖在自由邊界條件下的ABC指數(shù).文獻(xiàn)[17]研究了柱面、輪胎曲面、克萊因瓶和莫不烏斯帶上的四邊形網(wǎng)格圖的ABC指數(shù)，并得到了其精確表達(dá)式；武琳等[18]研究了圖的ABC指數(shù)與直徑之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[19-20]用差分方程和遞歸等方法分別研究了隨機(jī)五邊形網(wǎng)格鏈圖、六邊形網(wǎng)格鏈圖和螺旋六邊形網(wǎng)格鏈圖的ABC指數(shù)的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式.基于上述研究，本文利用類似文獻(xiàn)[19-20]的方法研究一般隨機(jī)多邊形網(wǎng)格鏈圖的ABC指數(shù).

1 基本定義

圖1 n=1,2時(shí)的唯一多邊形鏈圖

圖2 長度為n的l多邊形鏈圖PlCn

圖3 一般的l多邊形鏈圖的k種連接方式

對(duì)于n≥3， 假設(shè)概率pi(1≤i≤k)都是常數(shù)且與n無關(guān)，則上述描述的過程是一個(gè)馬爾可夫鏈過程.關(guān)聯(lián)概率后的l-多邊形鏈稱作隨機(jī)l-多邊形鏈，且記作PlCn(p1,p2,…,pk).

2 隨機(jī)多邊形網(wǎng)格鏈圖的ABC指數(shù)

為了推導(dǎo)方便，繼續(xù)沿用上述的相關(guān)符號(hào)和定義.如果圖G中一條邊的2個(gè)頂點(diǎn)的度分別為i和j，則稱此邊為圖G的(i,j)- 邊，用nij(G)表示其邊數(shù).如圖2所示，假設(shè)PlCn是在一個(gè)長為n-1的l-多邊形鏈圖PlCn -1上聯(lián)接一個(gè)外部的新l-多邊形On而得到的一個(gè)長為n的l-多邊形鏈圖,其中On=x1x2…xl.由l-多邊形鏈圖的定義可知，PlCn只有(2,2)- 邊、(2,3)- 邊和(3,3)- 邊.所以，公式(1)可以轉(zhuǎn)化為

(2)

由公式(2)可知，只需要確定PlCn的3類邊的數(shù)目n22(PlCn)、n23(PlCn)和n33(PlCn)， 然后將其代入公式(2)即可計(jì)算出l-多邊形鏈圖PlCn的ABC指數(shù).

因PlCn(p1,p2,…,pk)是一個(gè)長度為n的隨機(jī)l-多邊形鏈圖，所以ABC(PlCn(p1,p2,…,pk))是一個(gè)隨機(jī)變量，本文用En=E[ABC(PlCn(p1,p2,…,pk))]表示其數(shù)學(xué)期望.

定理1設(shè)PlCn(p1,p2,…,pk)是一個(gè)長度為n的隨機(jī)l-多邊形鏈圖(n≥2)，則

當(dāng)n≥3時(shí)，由圖3所示的非同構(gòu)聯(lián)接方式可得出n22(PlCn),n23(PlCn)和n33(PlCn).

由上述2種情形的結(jié)果可得：

即

(3)

注意到E[En]=En， 將其應(yīng)用于方程(3)可得如下遞歸式：

(4)

3 多邊形網(wǎng)格鏈圖ABC指數(shù)的平均值

設(shè)SlCn是由n個(gè)l-多邊形網(wǎng)格鏈圖構(gòu)成的一個(gè)集合,定義SlCn的所有l(wèi)-多邊形網(wǎng)格鏈圖的ABC指數(shù)的平均值為

定理2SlCn中所有元素的ABC指數(shù)的平均值為