非擴(kuò)張映射隱中點(diǎn)黏性迭代序列的逼近問(wèn)題和均衡問(wèn)題

沈金良， 葉靜妮， 黃建華

(1.福州大學(xué) 至誠(chéng)學(xué)院， 福建 福州 350002; 2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350108 )

0 引言

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和均衡問(wèn)題進(jìn)行了研究，并取得了較好的研究結(jié)果[1-5].對(duì)于二元函數(shù)G∶C×C→R， 其均衡問(wèn)題(簡(jiǎn)寫為EP)可定義為：尋找x∈C， 使得

G(x,y)≥0 (?y∈C).

(1)

將式(1)的解集記為EP(G)，EP(G)={x∈C:G(x,y)≥0,?y∈C}.

2009年， Ceng等[5]在Hilbert空間中研究了k-集偽壓縮映射T的迭代序列：

(2)

并在適當(dāng)?shù)臈l件下證明了序列{xn}和{un}弱收斂于T的不動(dòng)點(diǎn)集和均衡問(wèn)題解集的公共點(diǎn).2014年，Alghamdi等[6]在Hilbert空間中提出了一種非擴(kuò)張映射半隱中點(diǎn)迭代序列：

(3)

其中{αn}?(0,1)，T∶H→H是非擴(kuò)張映射，并且在合適的條件下得到了該序列的弱收斂定理.2015年，Xu等[7]在Hilbert空間中利用黏性逼近方法構(gòu)造了一種非擴(kuò)張映射隱中點(diǎn)迭代序列：

(4)

其中{αn}?(0,1)，f是壓縮映射，T是非擴(kuò)張映射,并在某些條件下得到了該序列的強(qiáng)收斂定理.2019年，沈金良[8]研究了如下非擴(kuò)張映射T的隱中點(diǎn)迭代序列：給定x1∈C，

(5)

其中{αn}?(0,1)， {rn}?(0,∞)， 并且在Hilbert空間中得到了該序列的弱收斂和強(qiáng)收斂定理.

受以上研究啟發(fā)，本文定義如下非擴(kuò)張映射的隱中點(diǎn)黏性迭代序列：給定x1∈C，

(6)

其中f是壓縮映射，T是非擴(kuò)張映射，不動(dòng)點(diǎn)集記為F(T).本文在Hilbert空間中研究式(6)的均衡問(wèn)題和不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，并且在適當(dāng)?shù)臈l件下證明序列{xn}和{un}強(qiáng)收斂于F(T)∩EP(G)中的某一個(gè)點(diǎn)z，z=PF(T)∩EP(G)f(z).

1 預(yù)備知識(shí)

稱PC為H在C上的投影算子，則顯然PC是非擴(kuò)張映射，且對(duì)于x∈H以及z∈C有

z=PC(x)?〈x-z,z-y〉≥0,?y∈C.

為了求解均衡問(wèn)題EP(G)， 本文假設(shè)G滿足以下4個(gè)條件：

(A1)G(x,x)=0,?x∈C;

(A2)G是單調(diào)的，即G(x,y)+G(y,x)≤0,?x,y∈C；

(A4) 對(duì)任意的x∈C,yG(x,y)是凸的和下半連續(xù)的.

定義1設(shè)C是H的閉子集，T∶C→C，f∶C→C是兩個(gè)自映射，則：

2)T在零點(diǎn)是半閉的，若對(duì)于C中的序列{xn}，xn?x0∈H和Txn→0可以推導(dǎo)出Tx0=0.

引理1[9]設(shè)H是實(shí)的Hilbert空間，則下列等式成立：

(1)Sr是單值的；

(3)G(Sr)=EP(G);

(4)EP(G)是非空閉凸的．

引理4[11]設(shè)C是H的非空閉凸子集，T∶C→C是非擴(kuò)張映射.若T有不動(dòng)點(diǎn)，則I-T在0點(diǎn)是半閉的(這里I是H中的恒等映射)，即如果C中的任意序列{xn}弱收斂于x∈C，且有序列{(I-T)xn}強(qiáng)收斂到y(tǒng)， 則有(I-T)x=y．

2 主要結(jié)果及其證明

證明1)任取q∈Ω， 由引理3中Sr的定義可知un=Srnxn， 因此

(7)

因?yàn)門是非擴(kuò)張映射，所以

(8)

根據(jù)式(7)和式(8)進(jìn)行移項(xiàng)整理得

再由遞推公式可知

(9)

(10)

由式(6)可得：

(11)

(12)

在式(11)中取y=un +1， 則有

(13)

在式(12)中取y=un， 則有

(14)

(15)

(16)

由式(10)和式(16)可得

對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)整理得

由條件(ii)、(iii)、(v)以及引理5可推導(dǎo)出

(17)

(18)

(19)

由引理1中的(ii)和式(19)有

對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)整理得

(20)

由引理1的條件(i)和式(17)、(18)可得

(21)

由式(17)、(20)和式(21)得

(22)

再由式(20)和(22)得

(23)

證明分兩步證明定理2.

(24)

由范數(shù)和內(nèi)積的性質(zhì)可知

因此,

(25)

(26)

由上述過(guò)程可知，序列{xn}和{un}強(qiáng)收斂于z∈Ω， 同時(shí)z也是變分不等式〈(I-f)y,x-y〉≥0,x∈Ω的唯一解，即z=PΩf(z).