殘差自回歸模型在甲型病毒性肝炎發(fā)病數(shù)預(yù)測中的應(yīng)用

劉天， 姚夢雷， 黃繼貴， 夏世國， 陳紅纓， 黃淑瓊， 吳楊， 陳琦， 劉漫

甲型病毒性肝炎(簡稱“甲肝”)是由甲型肝炎病毒(hepatitis A virus，HAV)引起的以肝臟病變?yōu)橹鞯募毙詡魅静1]。甲肝主要經(jīng)糞口感染，由于不潔飲食、飲水史?？稍斐纱笠?guī)模流行。近幾十年來，甲肝暴發(fā)疫情仍有報道，甲肝仍然是我國重要的公共衛(wèi)生問題，防控形勢十分嚴峻[2-3]。利用數(shù)學模型擬合歷史數(shù)據(jù)并準確預(yù)測其發(fā)展趨勢，對于甲肝防控策略和措施的制定具有至關(guān)重要的作用。殘差自回歸模型具有精度高、易于理解的特點，近年來被國內(nèi)學者應(yīng)用于手足口病、艾滋病等疾病的預(yù)測，效果較好[4-5]。但目前殘差自回歸模型應(yīng)用于甲肝預(yù)測預(yù)警的研究尚未見報道。為此本文擬采用殘差自回歸模型擬合2001—2013年某省甲肝發(fā)病數(shù)據(jù)，并進行外推預(yù)測，以探討該模型在甲肝發(fā)病數(shù)預(yù)測中應(yīng)用的可行性，為甲肝的精準防控提供科學依據(jù)。

1 資料與方法

1.1 資料來源

數(shù)據(jù)來源于2001—2014年某省“公共衛(wèi)生科學數(shù)據(jù)中心”平臺的甲肝逐月發(fā)病數(shù)，2001—2014年該省甲肝逐月發(fā)病數(shù)即為一組時間序列數(shù)據(jù)。

1.2 模型原理

殘差自回歸模型的基本思想是基于因素分解法，提取出原始序列中主要的確定性信息后對殘差序列建立自回歸模型，以充分利用時間序列中的確定性信息和隨機性信息[6]。

1.2.1 因素分解根據(jù)Cramer分解定理，原始時間序列Xt可以按公式Xt=Tt+St+εt進行分解，其中，Tt為趨勢效應(yīng)擬合；St為季節(jié)效應(yīng)擬合；εt為殘差。

1.2.2 趨勢效應(yīng)擬合通常采用兩種方式對趨勢效應(yīng)進行擬合，第一種是自變量是時間t的幕函數(shù)，即：

Tt=β0+β1t2+β2t2+…βktk+εt

第二種方法是自變量是歷史觀察值{Xt-1，Xt-2，…Xt-γ}的函數(shù)，即：

Tt=β0+β1Xt-1+β2Xt-2+…βγXt-γ

第二種方式和差分方式的原理相同，在實際應(yīng)用中通常采用第一種方法對趨勢效應(yīng)進行擬合。

1.2.3 季節(jié)效應(yīng)擬合對季節(jié)效應(yīng)的擬合也有兩種方式，第一種是使用已知的季節(jié)函數(shù)，即：

St=St′

其中St′為已知的季節(jié)函數(shù)；

第二種方法是建立季節(jié)自回歸模型，設(shè)季節(jié)性周期為m，其公式如下：

St=α0+α1Xt-m+α2Xt-2m+…αlXt-

lm+εt

本文采用第一種方法進行季節(jié)效應(yīng)擬合。

1.2.4 自回歸分析考慮到因素分解法對確定性信息的提取可能不夠充分，因而需要進一步檢驗殘差序列{εt}的自相關(guān)性。自相關(guān)檢驗通常采用Durbin-Waston檢驗(簡稱DW檢驗)檢驗殘差的自相關(guān)性，若DM

εt=φ1εt-1+φ2εt-2+…φpεt-p+αt

綜上，殘差自回歸模型可以表示為：

1.3 統(tǒng)計分析

以2001—2013年某省甲肝月發(fā)病數(shù)據(jù)擬合殘差自回歸模型，利用2014年逐月甲肝發(fā)病數(shù)回代檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果，根據(jù)R2、相對誤差(RD)、平均絕對誤差百分比(MAPE)、平均誤差率(MER)、均方誤差(MSE)和平均絕對誤差(MAE)評價模型擬合、預(yù)測效果。運用Excel 2007和Eviews 9.0進行統(tǒng)計分析，檢驗水準α=0.05。

2 結(jié)果

2.1 疫情基本情況

2001—2014年該省累計報告甲肝31 766例，月平均報告189 083例，甲肝發(fā)病整體呈逐年下降趨勢。甲肝各月均有病例報告，累計發(fā)病無明顯季節(jié)高峰，3-6月份報告病例數(shù)相對較多，占病例總數(shù)的39.375%。圖1。

2.2 季節(jié)效應(yīng)擬合

采用季節(jié)分解法分解出序列中的季節(jié)成分，本文采用相乘法分解季節(jié)因素，將原始序列{xt}除以季節(jié)指數(shù)(St)，消除季節(jié)影響，得到不含季節(jié)因素的序列{Xt}。季節(jié)指數(shù)見表1。

表1 季節(jié)分解法分解出的季節(jié)指數(shù)(St)

2.3 趨勢效應(yīng)擬合

通過觀察序列{Xt}，具有一定的線性變動趨勢，嘗試對序列{Xt}分別擬合直線回歸和取對數(shù)后擬合直線回歸兩種，擬合結(jié)果見表2，后者R2大于前者，AIC值小于前者，且參數(shù)估計均有意義，確定趨勢效應(yīng)擬合模型為：log(Xt)=6.457-0.019t，其中t為月份序號，如2001年1月為1，2001年2月為2，……，2014年12月為168。見圖2。

表2 兩種趨勢擬合模型的參數(shù)估計及擬合優(yōu)度檢驗

2.4 自回歸擬合

對上述擬合趨勢模型后的殘差序列{εt}進行DW檢驗，DW值為0.536。按自變量個數(shù)為1個，樣本量n=168查DW界值表，下限1.720

圖2 殘差序列{εt}的ACF圖和PACF圖

圖3 AR(1，4)模型殘差的ACF圖和PACF圖

2.5 最終模型

最終確定殘差自回歸模型公式如下：

擬合及預(yù)測結(jié)果見表3和圖4。

表3 殘差自回歸模型的擬合及預(yù)測效果評價

圖4 殘差自回歸模型擬合值、預(yù)測值與實際值比較圖

3 討論

我國于2004年建成全球最大的基于互聯(lián)網(wǎng)的法定報告?zhèn)魅静”O(jiān)測信息報告管理系統(tǒng)，在全國范圍內(nèi)實現(xiàn)了傳染病個案的信息化錄入和集中保存，為充分處理和分析監(jiān)測數(shù)據(jù)創(chuàng)造了條件[7]。自此我國傳染病預(yù)測、預(yù)警技術(shù)得到迅猛發(fā)展，ARIMA模型作為時間序列預(yù)測預(yù)警的經(jīng)典模型已在傳染病監(jiān)測領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[8]；而殘差自回歸模型被用于傳染病預(yù)測預(yù)警，尤其是甲肝的預(yù)測預(yù)警并不多見。本文使用某省甲肝逐月發(fā)病數(shù)擬合殘差自回歸模型，結(jié)果顯示，擬合值相對誤差為1.863%，預(yù)測值相對誤差為11.797%，擬合及預(yù)測效果均優(yōu)于王永斌等[4]應(yīng)用殘差自回歸模型對我國手足口病發(fā)病率進行的擬合及預(yù)測。相關(guān)報道指出，模型擬合及預(yù)測的相對誤差均低于20.00%即為合格模型[9]，可以認為殘差自回歸模型用于該省甲肝發(fā)病數(shù)預(yù)測的效果較好，可以用于該省甲肝發(fā)病數(shù)的短期預(yù)測。

殘差自回歸模型的參數(shù)估算方法種類繁多，常用的包括直接最小二乘法、兩步法和非線性最小二乘法。武新乾等[10]利用蒙特卡洛模擬計算結(jié)果表明，非線性最小二乘法的擬合及預(yù)測精度均高于直接最小二乘法和兩步法，本文采用非線性最小二乘法進行擬合及預(yù)測，精度較高，提示殘差自回歸模型以非線性最小二乘法效果較好。

目前，ARIMA模型是疾病預(yù)測預(yù)警應(yīng)用最為廣泛的模型。ARIMA模型利用差分思想建模，但差分很難對模型進行直觀解釋[6]。而殘差自回歸模型不存在這個問題，其優(yōu)點在于結(jié)果便于理解，更能準確地解釋確定效應(yīng)的影響。如本文擬合結(jié)果表明，該省甲肝發(fā)病數(shù)無明顯季節(jié)高峰，但3-6月報告病例數(shù)較多；另外該時間序列擁有一個長期的非線性遞減趨勢，呈自然對數(shù)下降變化；同時，它還受到諸多因素的影響，導致隨機波動序列具有短期自相關(guān)性，經(jīng)自回歸擬合，信息得到充分提取，模型擬合預(yù)測精度均較高。而以上信息ARIMA模型往往無法給出合理解釋。因此在實際應(yīng)用中，建議研究者嘗試采用多種模型擬合數(shù)據(jù)，在擬合精度相近的前提下，建議采用殘差自回歸模型進行擬合，便于從專業(yè)角度解釋擬合結(jié)果。

綜上所述，甲肝月發(fā)病數(shù)擬合殘差自回歸模型效果較好，可以用于短期預(yù)測。殘差自回歸模型具有結(jié)果便于解釋、擬合精度高等優(yōu)點，在疾病最優(yōu)預(yù)測、預(yù)警模型探討中值得深入研究。但殘差自回歸模型在實際應(yīng)用中也存在一定局限性。首先，殘差自回歸模型無法利用軟件直接建模，需多步運算；其次，用于分析的時間序列點不易過少，一般不少于30個[11]，樣本量較短的序列不宜擬合殘差自回歸模型。