懸掛負(fù)載空中機(jī)器人的抗擺控制

常樂，楊忠，張秋雁，王少輝，李捷文

1. 南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 211106

2. 貴州電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，貴州 貴陽 550002

近年來無人機(jī)應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣泛，產(chǎn)生了不少的特種作業(yè)無人機(jī)，稱為空中機(jī)器人[1-2]。空中機(jī)器人有著體積小、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、能夠定點(diǎn)懸停等優(yōu)點(diǎn)，成為了優(yōu)秀的空中作業(yè)平臺?？罩袡C(jī)器人作業(yè)時(shí)，負(fù)載經(jīng)常會(huì)固定在機(jī)身下方，但由于機(jī)身下方負(fù)載擺放空間有限以及負(fù)載外形與機(jī)身不匹配的問題，負(fù)載的選擇存在著大量的限制，而將負(fù)載懸掛在機(jī)身下方則不再需要考慮這些問題，在貨物運(yùn)輸[3-4]、噴灑農(nóng)藥[5]等應(yīng)用領(lǐng)域有著較大的應(yīng)用前景。但是空中機(jī)器人懸掛負(fù)載飛行時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)受到負(fù)載擺動(dòng)的影響，極大地限制了該方式的應(yīng)用，所以研究懸掛負(fù)載空中機(jī)器人的控制器設(shè)計(jì)有著重要意義。

無人機(jī)懸掛飛行研究一直受到國內(nèi)外研究團(tuán)隊(duì)的關(guān)注，國內(nèi)外針對無人機(jī)懸掛飛行的問題提出了很多有效的控制方法。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于反步控制算法的非線性控制器，使得無人機(jī)可以在懸掛負(fù)載大幅度擺動(dòng)時(shí)仍然能進(jìn)行很好的軌跡跟蹤，但是其并沒有對懸掛負(fù)載的位置進(jìn)行控制，飛行過程中存在負(fù)載劇烈擺動(dòng)的情況；文獻(xiàn)[7]運(yùn)用了微分平滑方法設(shè)計(jì)了針對平面四旋翼無人機(jī)懸掛系統(tǒng)的控制器，實(shí)現(xiàn)了針對四旋翼無人機(jī)懸掛系統(tǒng)的軌跡生成和跟蹤；文獻(xiàn)[8]中，研究人員使用迭代線性二次型最優(yōu)控制器，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)的軌跡跟蹤控制并抑制了懸掛負(fù)載的擺動(dòng)，雖然控制效果顯著，但是控制器復(fù)雜，需要復(fù)雜的運(yùn)算，現(xiàn)有無人機(jī)上的機(jī)載微處理器不一定能達(dá)到要求的運(yùn)算速度；在文獻(xiàn)[9]中，研究人員采用了強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法，對特定負(fù)載的直升機(jī)飛行控制系統(tǒng)進(jìn)行訓(xùn)練，達(dá)到了對懸掛負(fù)載的軌跡進(jìn)行規(guī)劃的目的，但只能在特定重量的負(fù)載下才能使用，當(dāng)改變負(fù)載需要重新進(jìn)行訓(xùn)練，適用性不強(qiáng)；在文獻(xiàn)[10] 中，研究人員對帶掛負(fù)載的四旋翼無人機(jī)起飛過程進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[11]解決了四旋翼無人機(jī)在懸掛負(fù)載未知的情況下實(shí)現(xiàn)安全起飛的問題，并通過仿真結(jié)果證實(shí)了其算法的有效性。

綜上所述，近年來對無人機(jī)懸掛系統(tǒng)的研究成果顯著，但是許多方法仍存在一些局限性。針對這些問題，本文設(shè)計(jì)的位置控制器，既不依賴于模型的線性化，也無需復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，而是采用了滑模（sliding mode, SM）變結(jié)構(gòu)控制方法，并加入了可變厚度的邊界層法，有效地進(jìn)行了抗擺控制，降低了抖震現(xiàn)象。

1 數(shù)學(xué)模型

懸掛負(fù)載的空中機(jī)器人的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 懸掛負(fù)載的空中機(jī)器人結(jié)構(gòu)

圖1（a）是懸掛負(fù)載空中機(jī)器人的三維示意圖，圖1（b）是與其對應(yīng)的二維模型示意圖。由于懸掛負(fù)載在水平方向的2 個(gè)自由度相互解耦，研究懸掛負(fù)載空中的高度控制和抗擺控制，可在其對稱面內(nèi)簡化為二維模型，采用圖1（b）作為本文的控制模型。

首先建立2 個(gè)坐標(biāo)系[11]，慣性坐標(biāo)系I和機(jī)體坐標(biāo)系B，圖中{xi,zi}和{xb,zb}分別表示坐標(biāo)系I和坐標(biāo)系B的各坐標(biāo)軸正方向；F表示空中機(jī)器人的總升力，方向?yàn)檠刂鴻C(jī)體坐標(biāo)系的zb的正方向；mQ為空中機(jī)器人的質(zhì)量；mL為負(fù)載的質(zhì)量； α為負(fù)載的擺角； θ表示空中機(jī)器人的俯仰角；L為繩的長度；T為繩的張力。根據(jù)實(shí)際情況可以做出如下合理假設(shè)：

假設(shè)1 空中機(jī)器人為剛性且對稱的；

假設(shè)2 機(jī)體坐標(biāo)系的原點(diǎn)、質(zhì)心以及幾何中心是重合的；

假設(shè)3 負(fù)載始終處于空中機(jī)器人的下方，即α-θ∈(-90°, 90°)，圖中所示位置 α和θ均為正；

假設(shè)4 繩索的質(zhì)量不計(jì)，且是剛性、不可伸縮的。

假設(shè)1 和假設(shè)2 簡化了問題的分析，保證了二維示意圖以及下面推導(dǎo)的正確性。

假設(shè)3 成立的前提是無人機(jī)的俯仰角θ和負(fù)載擺角 α都不太大，一般來說無人機(jī)的俯仰角θ始終處于±45°以內(nèi)，而負(fù)載擺角 α在控制器的作用下也是能控制在±45°以內(nèi)的，所以α-θ∈(-90°, 90°)是成立的。

假設(shè)4 成立的前提是繩索的彈性系數(shù)較大，從而可以忽略繩的張力T帶來的伸長量，而確保繩索是剛性不可收縮的。只要保證繩的張力T始終是大于0 的，由式（5），T的數(shù)學(xué)表達(dá)式可推導(dǎo)出，只要α-θ∈(-90°, 90°)，那么T是始終大于0 的。

將總升力F按照圖1（b）中慣性坐標(biāo)系的xi軸和zi軸的方向進(jìn)行分解，得到水平方向的力FX和豎直方向的力FZ：

根據(jù)假設(shè)2 和3，可以得到懸掛負(fù)載與空中機(jī)器人的相對位置：

式中：{xL,zL}為懸掛負(fù)載在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；{xQ,zQ}為空中機(jī)器人在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

同時(shí)對式（1）兩邊求對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，可以得到負(fù)載的加速度在水平和豎直2 個(gè)方向的分量：

如圖1（b）所示，對空中機(jī)器人和懸掛負(fù)載進(jìn)行牛頓第二定律分析可以得到：

將式（4）回代到式（3），可以就得到懸掛負(fù)載的空中機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型：

2 控制器設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制[12-15]因?yàn)榛瑒?dòng)模態(tài)對于參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)等不確定因素具有不敏感性，并且滑動(dòng)模態(tài)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)可以預(yù)先設(shè)計(jì)，成為一種有效的魯棒控制方法，已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。近年來，滑模變結(jié)構(gòu)控制大量的應(yīng)用在欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)上，而懸掛負(fù)載空中機(jī)器人是一個(gè)典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，所以本文采用滑模變結(jié)構(gòu)的方法來設(shè)計(jì)空中機(jī)器人的位置控制器及抗擺控制器，并在此基礎(chǔ)上采用了改進(jìn)過的邊界厚度可變的邊界層法[16]，有效地降低了滑?？刂破鞴逃械亩墩瓞F(xiàn)象。

首先對模型可以進(jìn)行簡化，由于擺角 α較小，近似為0，所以:

所以式（5）可簡化為：

該模型自動(dòng)解耦成2 部分，一部分是只與水平方向分力FX有關(guān)的擺動(dòng)模型部分；一部分為只與豎直方向分力FZ有關(guān)的高度模型部分。

2.1 高度控制器設(shè)計(jì)

懸掛負(fù)載的空中機(jī)器人的高度模型為

模型可寫成如下形式：

由上述模型可以看出，該模型是單自由度和單控制輸入的非欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，只需要設(shè)計(jì)一級滑模面即可。所以構(gòu)造如下的滑模面：

對s1求導(dǎo)可得：

定義如下的李雅普諾夫函數(shù)：

對式（4）求導(dǎo)可得：

采用指數(shù)趨近率[17-18]：

于是可以得到高度控制器的控制率：

此時(shí)，構(gòu)造的李雅普諾方程的導(dǎo)數(shù)為

所以高度跟蹤誤差是漸近穩(wěn)定的。

2.2 抗擺控制器設(shè)計(jì)

懸掛負(fù)載空中機(jī)器人的擺動(dòng)模型為

式（8）可以改寫成如下形式：

由式（8）可以看出，擺動(dòng)模型部分是一個(gè)具有2 個(gè)自由度一個(gè)控制輸入的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，所以采用分層滑?？刂频姆椒ㄟM(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。首先將系統(tǒng)模型化成以下2 個(gè)子系統(tǒng)：

然后構(gòu)造第一級滑模面：

根據(jù)等效控制理論[16]，可以得到每個(gè)子系統(tǒng)的等效控制率：

由于擺動(dòng)模型是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，控制量的數(shù)量少于狀態(tài)量的數(shù)量，總的控制率必須包含每個(gè)子系統(tǒng)的控制量，所以定義總的控制量為

式中uSW為總的滑模面的切換控制率。

設(shè)計(jì)第二層滑模面：

式中a1、a2為常數(shù)。定義李雅普諾夫函數(shù)：

對V求導(dǎo)可得：

同樣，采用指數(shù)趨近率[17-18]：

式中：ε2、K2均為正數(shù)。由式（9）可以求出uSW：

于是可以得到總的控制率為

此時(shí)李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

由式（11）可知，系統(tǒng)總滑模面滿足李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，是漸近穩(wěn)定的。對于2 個(gè)子滑模面，可以通過式（10）所設(shè)計(jì)的總控制輸入使其能夠漸近穩(wěn)定，一旦任意一個(gè)狀態(tài)脫離滑模面，總的切換控制uSW都會(huì)將其拉回到所屬的滑模面。

2.3 邊界層設(shè)計(jì)

由于滑模控制器自身存在抖震現(xiàn)象，為了減少這種現(xiàn)象，本文采用邊界層法，用飽和函數(shù)sat(S)來代替符號函數(shù)sgn(S)：

式中 Δ為邊界層厚度。 Δ的大小會(huì)直接影響系統(tǒng)的連續(xù)性、穩(wěn)定性以及控制精度。 Δ越小，控制精度越高，抖震越明顯； Δ越大，控制精度越低，抖震越小。所以可以采用邊界層厚度可變的方法，讓系統(tǒng)在誤差e較大時(shí)邊界層變厚，誤差較小時(shí)邊界層變薄，從而兼顧控制精度與降低抖震，滿足系統(tǒng)需求?？勺冞吔鐚雍穸鹊谋磉_(dá)式為

式中：0 ＜Δ1＜Δ2，分別為最小和最大邊界層厚度，當(dāng)系統(tǒng)誤差的絕對值小于設(shè)定的最小誤差emin時(shí)，邊界層厚度為 Δ1；系統(tǒng)誤差的大于設(shè)定的最大誤差emax時(shí)，邊界層厚度為 Δ2；在兩者之間則線性變化。

3 仿真結(jié)果與分析

在實(shí)際使用中，懸掛負(fù)載空中機(jī)器人的主要任務(wù)是帶著負(fù)載飛行到指定的位置，并要求整個(gè)飛行過程中負(fù)載的擺角要盡可能小，到達(dá)指定位置后負(fù)載應(yīng)無殘余震蕩。所以設(shè)計(jì)以下實(shí)驗(yàn)：讓空中機(jī)器人從慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)(0,0)，飛行到指定位置(2,3)。本文采用Adams 作為物理仿真軟件，與MATLAB 進(jìn)行聯(lián)合仿真，懸掛負(fù)載的空中機(jī)器人的參數(shù)分別為：mQ=10 kg、mL=1 kg、L=1 m、g=9.81 m/s2。

采用控制律式（7）和（10）進(jìn)行控制，控制器的參數(shù)分別為：c1=5、c2=20、c3=13、a1=12、a2=10、K1=3、K2=0.8 、ε1=0.5 、ε2=0.8 、ehmin=0.8、ehmax=5.2、ebmin=0.7、ebmax=3.8。其中ehmin、ehmax和ebmin、ebmax分別代表高度控制器和抗擺控制器設(shè)計(jì)的可變邊界層的系統(tǒng)誤差的最小最大值。參數(shù)的設(shè)計(jì)采用試湊法，若emin過小則控制精度過低，抖震大幅減小；emin過大則抖震過大，控制精度很好；若emax過大則控制精度很好，但抖震過大；emax過小則控制精度過低，抖震大幅減小。

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制器的有效性，下面使用基于積分反步（integral backstepping, IB）法設(shè)計(jì)的控制器與本文設(shè)計(jì)的控制器的控制效果進(jìn)行對比。

為了比較算法的抗擾能力，在仿真實(shí)驗(yàn)中將反饋給控制器的信號加入了幅值為0.01 的高斯白噪聲，仿真結(jié)果如圖2～8 所示。

圖2 IB 控制與SM 控制下的水平位置響應(yīng)

圖3 IB 控制與SM 控制下的水平速度響應(yīng)

圖4 IB 控制與SM 控制下的高度位置響應(yīng)

圖5 IB 控制與SM 控制下的高度速度響應(yīng)

圖6 IB 控制與SM 控制下的擺角響應(yīng)

圖7 SM 控制器水平方向的控制輸入

圖8 SM 控制器豎直方向的控制輸入

圖2～6 為在本文設(shè)計(jì)的控制器和IB 控制器的作用下空中機(jī)器人的響應(yīng)曲線。由仿真曲線可以看出：本文設(shè)計(jì)的控制器在水平位置和高度位置響應(yīng)上都要比IB 控制器要快；并且在抗擺的效果上也比IB 控制器好，在整個(gè)飛行過程，響應(yīng)曲線都很平穩(wěn)，擺角始終控制在±5°以內(nèi)，并且到達(dá)指定位置之后沒有殘余震蕩；空中機(jī)器人和負(fù)載同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間比IB 控制的時(shí)間少。圖7、8為本文設(shè)計(jì)的控制器輸出的控制信號曲線，可以看出設(shè)計(jì)的控制器輸出變化平穩(wěn)，輸出的幅值也在合理范圍之內(nèi)，并且在加入了可變厚度的邊界層之后，有效地降低了抖震現(xiàn)象。

通過以上分析可以看出，本文設(shè)計(jì)的控制器具有較好的控制效果，能夠很好地完成控制任務(wù)。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)的控制器，很好地解決了懸掛負(fù)載空中機(jī)器人飛行運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的負(fù)載擺動(dòng)和殘余振蕩問題。根據(jù)仿真結(jié)果與分析可以得出如下結(jié)論：

1）采用分層滑?？刂品椒軌蚪鉀Q驅(qū)動(dòng)量少于自由度的控制問題，值得其他欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)推廣使用；

2）本文針對懸掛負(fù)載空中機(jī)器人的二維模型進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)，仿真結(jié)果說明了控制算法的有效性，可以考慮將本方法進(jìn)一步運(yùn)用到三維模型中；

3）本文設(shè)計(jì)的邊界層厚度可變的邊界層法能夠有效降低滑?？刂拼嬖诘亩墩瓞F(xiàn)象，值得深入研究；

4）仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)⒇?fù)載擺角始終控制在±5°以內(nèi)，控制效果較好，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，可應(yīng)用于貨物運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。