基于BFGS-FA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型的中長期負(fù)荷預(yù)測

(1.國家電網(wǎng)公司西南分部， 四川成都610065；2.四川大學(xué)電氣工程學(xué)院， 四川成都610065)

0 引言

負(fù)荷預(yù)測是利用當(dāng)前已知的信息包括歷史信息、現(xiàn)狀及未來的發(fā)展趨勢，對未來的負(fù)荷做出判斷的過程?？梢詽M足各類負(fù)荷需求，從而為社會發(fā)展提供動力[1]。負(fù)荷預(yù)測的精準(zhǔn)度決定了相關(guān)發(fā)電單位的發(fā)電成本以及供電可靠性，出現(xiàn)超載預(yù)測會使得發(fā)電單位的發(fā)電成本增加；出現(xiàn)欠載預(yù)測會使得供電可靠性受到影響[2]。由于中長期的負(fù)荷受到各種不確定因素的影響，而且相關(guān)數(shù)據(jù)的收集較短期負(fù)荷預(yù)測來說更加困難，所以一般中長期負(fù)荷預(yù)測的預(yù)測精度相對較差。因此，提出適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ蕴岣咧虚L期負(fù)荷預(yù)測的精度具有很大的實用價值[3],保證整個系統(tǒng)保持穩(wěn)定且高效地運行，以滿足用戶的需求[4]。其中灰色模型由于其處理小樣本、貧信息的特點在電力系統(tǒng)中長期負(fù)荷預(yù)測中得到了廣泛的運用。近年來提出了許多新形式的灰色模型，包括采用擴(kuò)展、優(yōu)化以及修正的方法，以達(dá)到更好的預(yù)測效果。常見的預(yù)測算法有時間序列建模[5]、模糊預(yù)測方法[6-7]、支持向量機(jī)[8-10]。文獻(xiàn)[11]針對灰色模型在預(yù)測增長較快的負(fù)荷時預(yù)測效果差的問題提出把發(fā)展系數(shù)和灰色作用量看成是隨時間而變的變數(shù)，從而提出了自適應(yīng)粒子群優(yōu)化灰色模型的負(fù)荷預(yù)測方法。文獻(xiàn)[12]提出利用Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合灰色模型進(jìn)行中長期負(fù)荷預(yù)測，提高灰色模型的適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[13]提出基于粒子群算法的變權(quán)緩沖灰色模型，提高了擬合的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14]在分析灰色模型已有研究現(xiàn)狀和不足之處的情況下提出了構(gòu)造新型灰色預(yù)測模型。文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的研究上提出采用分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測法應(yīng)用于負(fù)荷預(yù)測。

本文提出了一種基于擬牛頓—螢火蟲算法(broyden fletcher goldfarb shanno-firefly algorithm，BFGS-FA)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型的電力系統(tǒng)中長期負(fù)荷預(yù)測的方法。該方法用分?jǐn)?shù)階灰色模型代替原有的整數(shù)階灰色模型，解決了新信息優(yōu)先使用的問題，增加了模型的自由度和靈活度。通過采用實例仿真證明，基于BFGS-FA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測的組合模型可以提高負(fù)荷預(yù)測的預(yù)測精度，達(dá)到更好的預(yù)測效果。

1 分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型

從電網(wǎng)規(guī)劃的角度來看，對于電力系統(tǒng)的中長期負(fù)荷預(yù)測具有預(yù)測樣本少的特點，選擇預(yù)測模型時有一定的局限性，而且盡量回避對模型數(shù)據(jù)量要求高的預(yù)測模型?；疑到y(tǒng)可以運用“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，因此，可以在電力系統(tǒng)中長期負(fù)荷預(yù)測中使用灰色模型。

現(xiàn)有的灰色模型主要是基于一階累加生成序列建模，然后通過一階累減得到預(yù)測值[14,16-19]。但其預(yù)測模型為一個指數(shù)函數(shù)，這就意味著當(dāng)輸入樣本的波動較大時，其預(yù)測的精度會降低。分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型是在分?jǐn)?shù)階累加生成與分?jǐn)?shù)階累減生成的基礎(chǔ)上建立的。通過對累加生成算子的階數(shù)進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)調(diào)整的階數(shù)生成目標(biāo)序列，以提高灰色預(yù)測模型的擬合精度[14]。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為：X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n),r∈R+)，X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))為原始數(shù)列的r階累加數(shù)列。分?jǐn)?shù)階灰色模型為:

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b,

(1)

其中：

(2)

(3)

其中，Y，B分別為

(4)

(5)

其值為公式(6)所示：

(6)

分?jǐn)?shù)階灰色模型有著整數(shù)階灰色模型不能代替的優(yōu)點，在相同的情況下，分?jǐn)?shù)階灰色模型與整數(shù)階灰色模型相比滿足信息優(yōu)先，擾動界小等優(yōu)點[20]，這些優(yōu)點使得分?jǐn)?shù)階灰色模型在負(fù)荷預(yù)測中克服了整數(shù)階灰色模型的缺點，從而使得預(yù)測的結(jié)果比整數(shù)階灰色模型的精確度有明顯的提高。

2 BFGS-FA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型

2.1 BFGS-FA原理

從分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的原理可以看出分?jǐn)?shù)階運算主要體現(xiàn)在數(shù)據(jù)的預(yù)處理過程中，階數(shù)的選取會影響分?jǐn)?shù)階灰色模型的預(yù)測準(zhǔn)確性，因此尋找最優(yōu)的階數(shù)十分重要。近幾年提出了許多的優(yōu)化算法，包括最速下降法、粒子群算法、自適應(yīng)粒子群算法、遺傳算法、模擬退火算法等。由于螢火蟲算法(firefly algorithm，F(xiàn)A)具有全局尋優(yōu)的能力，相比于其他算法而言，在收斂條件發(fā)生變化時可以克服局部最優(yōu)的問題。但FA在優(yōu)化的后期收斂慢，收斂精度不高，為克服FA的缺陷，文獻(xiàn)[1]提出了利用數(shù)值效果較好的擬牛頓法(broyden fletcher goldfarb shanno， BFGS)算法，將該算法使用在FA迭代更新過程中，以增強(qiáng)其局部尋優(yōu)能力和收斂速度。

BFGS-FA算法的基本實現(xiàn)步驟如下：

Step 1：初始化FA算法基本參數(shù)，螢火蟲數(shù)目、最大吸引度、光強(qiáng)吸收系數(shù)、步長因子、最大迭代次數(shù)或搜索精度；

Step 2：隨機(jī)初始螢火蟲的位置，計算螢火蟲的目標(biāo)函數(shù)值作為各自最大螢火蟲亮度I：I(r)=I0e-γr2，相互吸引度：β(r)=β0e-γr2；

Step 3：以螢火蟲的亮度升序排列種群；以螢火蟲亮度向量第一個數(shù)值為最優(yōu)值；

Step 4：移動所有螢火蟲的位置到更佳位置，利用BFGS更新螢火蟲的位置；

Step 5：是否滿足收斂條件，若滿足條件，則結(jié)束輸出最優(yōu)，否則，轉(zhuǎn)Step2。

2.2 BFGS-FA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型的負(fù)荷預(yù)測

利用分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型進(jìn)行中長期負(fù)荷預(yù)測，可以拓展灰色預(yù)測的應(yīng)用范圍，提高灰色模型的抗干擾能力。而分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的重點在于階數(shù)r值的尋取，r值的不同會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果有很大的區(qū)別。本文采用BFGS-FA算法的全局收斂性和超線性收斂速度的特性尋取分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的最佳階數(shù)，可以提高分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。

圖1 基于BFGS-FA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型的負(fù)荷預(yù)測基本流程圖Fig.1 Basic flow chart of load forecasting based on fractional gray model optimized by BFGS-FA

基于BFGS-FA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型的負(fù)荷預(yù)測基本流程圖如圖1所示。利用BFGS-FA算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的具體步驟如下：

求解分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的最優(yōu)階數(shù)，即在于求解出r滿足以下優(yōu)化問題：

(7)

Step 1：初始化算法基本參數(shù)，設(shè)置分?jǐn)?shù)階的灰色模型的階數(shù)ri，給定用于計算的灰色預(yù)測的原始數(shù)據(jù)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n),r∈R+)；

Step 2：分別通過階數(shù)ri，計算分?jǐn)?shù)階灰色模型的預(yù)測值且計算對應(yīng)的平均相對誤差f(ri)；

Step 2.1：計算原始數(shù)據(jù)構(gòu)成序列X(0)的ri階累加生成序列X(ri)；

Step 2.2：對X(ri)按式(3)生成序列Z(ri)；

Step 2.3：計算X(ri)的累減生成X(ri-1)；

Step 2.6：根據(jù)式(5)計算X(ri)的模擬值；

Step2.8：按式(7)計算平均相對誤差f(ri)；

Step 3：計算適應(yīng)度函數(shù)Fi；并利用函數(shù)Fi確定螢火蟲的光強(qiáng)Ii；

Step 4：計算ri之間的距離Mij：

(8)

新ri：

(9)

Step 5：計算適應(yīng)度函數(shù)f(ri)；

Step 9：判斷算法收斂準(zhǔn)則是否滿足，若滿足，則結(jié)束，反之，轉(zhuǎn)Step 3。

Step 10：通過最佳階數(shù)rp計算分?jǐn)?shù)階灰色模型的預(yù)測值作為輸出值。

3 實例分析

為驗證本文提出方法的有效性與實用性，由于本文研究對象為中長期的負(fù)荷預(yù)測，因此選取某地1998年～2012年的售電量作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真。分析原始數(shù)據(jù)可以得出，原始數(shù)據(jù)并非光滑的曲線，大致趨勢呈現(xiàn)出指數(shù)增長，可以使用灰色模型進(jìn)行預(yù)測。利用MATLAB軟件平臺進(jìn)行仿真，以1998年～2009年數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，以2010年～2012年數(shù)據(jù)作為預(yù)測的檢驗值，用以檢驗預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。采用殘差εi和平均相對誤差MAPE作為比較依據(jù)：

(10)

(11)

對于分?jǐn)?shù)階灰色模型而言，階數(shù)的選取也是十分重要的環(huán)節(jié)，本文采用BFGS-FA算法進(jìn)行最優(yōu)階數(shù)的尋取。不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型對應(yīng)的仿真結(jié)果如表1所示，殘差對比如圖2所示。

表1 不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階灰色模型的仿真結(jié)果Tab.1 Simulation result of different order of gray model

圖2 不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階灰色模型仿真結(jié)果殘差對比圖Fig.2 Residuals comparison chart of simulation results of fractional gray models with different orders

從表1可以看出，不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階灰色模型對應(yīng)的仿真結(jié)果不同。當(dāng)r=0時，平均相對誤差為4.16 %；當(dāng)r=0.5時，平均相對誤差為7.80 %；當(dāng)r=1時，平均相對誤差為2.00 %；通過BFGS-FA優(yōu)化后選取的階數(shù)r=0.912 2時，平均相對誤差為1.40 %，誤差最小。從圖2也可以看出，當(dāng)r=0.912 2時，殘差較其他階數(shù)的灰色模型的更加小，預(yù)測結(jié)果更加精確。

為了驗證本文所提方法有效性，本文還對GM(1，1)模型、文獻(xiàn)[11]提出的自適應(yīng)粒子群優(yōu)化灰色模型、文獻(xiàn)[12]提出的灰色Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行仿真，將得出的仿真數(shù)據(jù)與本文所提出模型進(jìn)行對比。在MATLAB平臺上的仿真結(jié)果如表2所示，仿真結(jié)果對比如圖3所示。

分析表2，對于2010年～2012年數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果分析可得，GM(1，1)模型的平均相對誤差為4.39 %。自適應(yīng)粒子群優(yōu)化灰色模型的平均相對誤差為2.46 %，灰色Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的平均相對誤差為3.00 %，其相對誤差具有一定的波動性，2001年～2003年誤差很小，但2004年相對誤差達(dá)到20.64 %，由于突變的歷史數(shù)據(jù)使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法訓(xùn)練數(shù)據(jù)時未能捕捉其到動態(tài)性變化規(guī)律，可以將GM(1，1)預(yù)測值和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差預(yù)測值結(jié)合得到最終優(yōu)化結(jié)果。而對于分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型，通過BFGS-FA算法優(yōu)化階數(shù)，r=0.912 2時，平均相對誤差為1.40 %?？梢缘贸?，本文提出的模型較這三種模型來說，效果更好。

圖3(a)為本文方法的預(yù)測值與實際值的對比圖；圖3(b)為本文方法與GM(1，1)模型預(yù)測值的對比圖；圖3(c)為本文方法與自適應(yīng)粒子群優(yōu)化灰色模型預(yù)測值的對比圖；圖3(d)為本文方法與灰色Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測值的對比圖。從仿真結(jié)果對比圖3可以分析得出本文算法相對于其他算法來說預(yù)測精度有了進(jìn)一步提升。

表2 實際值與模型計算值的比較Tab.2 Comparison between the actual data and data of models

(a) BFGS-FA預(yù)測效果圖

(b) BFGS-FA與GM(1,1)預(yù)測效果對比圖

(c) BFGS-FA與粒子群優(yōu)化預(yù)測效果對比圖

(d) BFGS-FA與Elman預(yù)測效果對比圖

圖3 仿真結(jié)果對比
Fig.3 Comparison between simulation results

4 結(jié)論

本文提出了一種利用BFGS-FA算法優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色模型的電力系統(tǒng)中長期負(fù)荷預(yù)測方法，利用分?jǐn)?shù)階灰色模型代替了傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，這樣不僅可以增加灰色模型運用的自由度，減少由于輸入樣本數(shù)據(jù)的波動帶來的擾動界變大的問題，還可以優(yōu)先利用新信息，使得在進(jìn)行負(fù)荷預(yù)測的時候優(yōu)先考慮新信息的變化帶來的影響?？紤]到BFGS-FA算法在尋優(yōu)時始終朝著最優(yōu)的方向搜尋，收斂速度快，具有全局尋優(yōu)的能力，可以克服大部分算法易陷入局部最優(yōu)的問題的特性，將該優(yōu)化算法用于優(yōu)化分?jǐn)?shù)階灰色模型，提升了分?jǐn)?shù)階灰色模型的應(yīng)用效果。通過實例分析結(jié)果表明，本文所提方法較傳統(tǒng)灰色模型、自適應(yīng)粒子群優(yōu)化灰色模型和灰色Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在電力系統(tǒng)中長期負(fù)荷預(yù)測的準(zhǔn)確性方面有著明顯的提升。