妙用等效思維快速簡捷解題

華興恒

當(dāng)某一個物理現(xiàn)象與另一個或幾個物理現(xiàn)象產(chǎn)生的效果相同時，我們常常將復(fù)雜的物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為等效的、易于研究的簡單現(xiàn)象來研究，這種思維方式即是等效思維。等效思維是研究、解決各種復(fù)雜物理學(xué)問題的一種很重要的科學(xué)思維方法之一，其依據(jù)是當(dāng)不同的物理現(xiàn)象、物理過程和物理規(guī)律不僅具有其特殊性，并且在某些方面往往還具有同一性。其實質(zhì)是相互替代的效果相同，不僅可以使非理想模型變?yōu)槔硐肽Ｐ?，使?fù)雜問題變?yōu)楹唵螁栴}，而且可以使感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，使一般理性認(rèn)識升華到更深的層次。

在中學(xué)物理中，合力與分力、合運動與分運動、重心、交流電的有效值、總電阻等，都是根據(jù)等效概念引入的。除了以上課本中經(jīng)常采用的等效方法以外，在求解物理問題時還有許多等效方法可以利用，從而達(dá)到簡化解題過程、快速簡捷求解的目的。下面舉例說明，希望對提高同學(xué)們思維的靈活性和創(chuàng)造性能夠有所幫助，以利于提高解題技能和技巧。

一、長度的等效

【例1】如圖1為雙線擺，在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，求該擺的振動周期T。

解析：該雙線擺可等效為單擺，等效擺長為lsinθ。則由單擺周期公式可得T = 2π■。

【例2】如圖2所示，一段金屬導(dǎo)線彎曲成有缺口的圓環(huán)，半徑為l，缺口所對的圓心角為60°，該圓環(huán)在垂直于勻強(qiáng)磁場B的平面內(nèi)以速度v做勻速直線運動，求圓環(huán)切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E。

解析：設(shè)想將圓環(huán)缺口用一段直金屬棒連接構(gòu)成一閉合回路，由法拉第電磁感應(yīng)定律E = N■，可得閉合電路中總的電動勢為零，這說明在閉合電路中圓環(huán)ACB產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與直金屬棒AB產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小相等、方向相反（相當(dāng)于兩節(jié)干電池反接），則圓環(huán)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的等效長度等于棒AB的長度，所以圓環(huán)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E = Blv。

二、場的等效

各種性質(zhì)的場與實物的根本區(qū)別之一，就是具有疊加性，即幾個場可以同時占據(jù)同一空間，從而形成一個復(fù)雜的疊加場。這時既可以根據(jù)力的獨立作用原理，先分別研究每一種場力對物體的作用，也可以通過等效思維方法，將復(fù)雜的疊加場等效為一個簡單的場，然后利用類比法轉(zhuǎn)化為重力場中的常見問題，以便利用熟悉的規(guī)范和方法極為簡捷地進(jìn)行分析、解答。

下面向大家介紹典型的保守場——重力場、靜電場所構(gòu)成的疊加場中的復(fù)雜問題，通過等效和類比的方法，轉(zhuǎn)化為類比重力場中的簡單問題。

【例3】如圖3所示，一個擺線長為l，質(zhì)量為m的帶正電擺球，懸掛在方向水平向左的勻強(qiáng)電場中，小球由水平位置A從靜止開始向下運動，且達(dá)到豎直位置時速度恰好為零，求小球運動過程中擺線受到的最大拉力。

解析：小球從A運動到B，動能增量為零，因為擺線的拉力不做功，電場力（qE）對小球做的負(fù)功必定等于重力（mg）對小球做的正功，即qEl= mgl，故qE=mg?？梢娦∏蚴艿降碾妶隽εc小球的重力大小相等。

小球到達(dá)B點后，將在A、B之間來回振動，根據(jù)振動的對稱性，平衡位置（O）位于AB弧的中點。在平衡位置，電場力與重力的合力為F =■mg，方向與水平方向成45°角。將電場與重力場的疊加場等效為一個重力場，等效重力加速度方向與水平方向成45°角。大小為g ′ =■=■g。

小球通過平衡位置時，繩的拉力最大，根據(jù)類似機(jī)械能守恒，小球在O點速度最大，且為v0 =■=

■。

根據(jù)牛頓第二定律有T-■mg = m■，所以繩的最大拉力為T = m■+■mg = （3■-2）mg。

三、源的等效

對于一些電學(xué)問題，若直接用電路中的電源求解會很麻煩，此時若我們能夠把外電路的一部分和電源合在一起，作為一個新的電源——等效電源，常?？梢允盏狡婷畹慕忸}效果。

任何一個線性有源二端網(wǎng)路，都可以用一個等效電源來代替，這個等效電源的電動勢E′等于網(wǎng)絡(luò)兩引出端開路時的路端電壓U;其內(nèi)阻r ′等于網(wǎng)絡(luò)在兩引出端所呈現(xiàn)的總電阻。等效電源的電動勢和內(nèi)阻不僅可用上述方法計算，而且還可以用實驗方法進(jìn)行測量。

【例4】如圖4所示是用來測電池電動勢E和內(nèi)電阻r的電路圖，試分析存在的系統(tǒng)誤差。

解析：誤差產(chǎn)生的原因在于電流表的分流，但從分流入手分析，既麻煩又不易看清其物理意義，若用等效電源進(jìn)行分析，那就相當(dāng)簡便。

把電池和電壓表看作一個等效電源，電壓表內(nèi)阻RV，則等效電源的電動勢和電阻分別為：E′=■E，r =■r。由此可見E′< E，r ′< r。

【例5】如圖5所示，凸透鏡L的焦距為f，在離透鏡1.5 f處，垂直放置一平面鏡M?，F(xiàn)在焦點F處有一點光源S，則在透鏡另一側(cè)_________（是否成像，成在何處）。

解析：點光源放在凸透鏡L的焦點F，直接發(fā)出的光經(jīng)凸透鏡L折射后不成像。S在平面鏡前，經(jīng)平面鏡M反射后成虛像S′（與S相距f），經(jīng)平面鏡M反射后部分光好像從S′發(fā)出照射到L上，折射后匯聚于L另一側(cè)2 f處，成實像。

對于L，虛像S′可看作一個等效點光源，放在L右側(cè)的2f處，根據(jù)凸透鏡成像規(guī)律可知，成實像于另一側(cè)2 f處。

四、路的等效

從對立統(tǒng)一規(guī)律來看，無限與有限是一對矛盾的兩個方面，在一定條件下無限與可以相互轉(zhuǎn)化，等效替代。如電學(xué)中分析和解決無限網(wǎng)絡(luò)電路問題時，就常用到這樣的基本思想方法。

【例6】如圖6為用同樣電阻R組成的無限網(wǎng)絡(luò)，求等效電阻RAB。

解析：由于去掉最左端一個網(wǎng)絡(luò)，對無限網(wǎng)絡(luò)的等效電阻并沒有用什么影響，因此由如圖7的等效電路圖，則根據(jù)串、并聯(lián)電路的電阻關(guān)系有RAB=2R+■，整理得RAB 2 -2RRAB-2R2=0，解得RAB =（1+3）R。

五、條件的等效

【例7】如圖8所示，理想變壓器輸入端電動勢為E、內(nèi)電阻為r的交流電源，輸出端接電阻為R的負(fù)載，求原副線圈匝數(shù)比■為多少時，R獲得的電功率最大？這個最大電功率是多少？

解析：從有效電阻考慮，交流電源與恒定電源等效，且恒定電源輸出最大電功率的條件之一是外電阻R等于電源內(nèi)電阻r。除此之外，還有兩個等效條件：電源輸出電流為I=■;電源輸出電壓為U=■。當(dāng)三個條件中任意一個得到滿足時，電源輸出電功率最大，為Pmax=■。

因為是理想變壓器，故電源的輸出電功率、變壓器的輸入電功率、輸出電功率及負(fù)載獲得的電功率都是相等的。即R上獲得的最大電功率為

Pmax =■……………………①

為了求原、副線圈匝數(shù)比，可根據(jù)條件R = r以外的其它兩個等效條件之一進(jìn)行求解。

根據(jù)電源輸出電功率最大時，輸出電壓為U1 =■，由公式■=■，有U2 =■U1。則負(fù)載獲得的最大電功率可表示為

Pmax =■=■=■（■）2 …………………②

由①、②兩式有■=■（■）2，可得匝數(shù)比為■=■。

六、過程的等效

對于一定質(zhì)量的氣體，在狀態(tài)1的狀態(tài)參量分別為p1、V1、T1，經(jīng)過一系列的狀態(tài)變化達(dá)到狀態(tài)2，這時狀態(tài)參量分別為p2、V2、T2。兩狀態(tài)參量滿足■=■。在推導(dǎo)這個方程時，可設(shè)想兩個過程：等溫過程、等壓過程，來代替復(fù)雜的實際的狀態(tài)變化過程，可收到殊途同歸、化繁為簡的效果。

對抽氣機(jī)對容器連續(xù)抽氣（或貯氣筒對不同容器分別充氣），可設(shè)想實際的抽氣或充氣過程為等溫過程，對容器或某一容器內(nèi)氣體來說，總體的溫度雖不變，但這部分氣體的質(zhì)量是變化的，不能用波義耳定律求解。因為這屬于變質(zhì)量問題，可設(shè)想如下的與實際過程等效的一個過程：讓符合題意的多個相同的抽氣機(jī)同時對某容器抽氣（或貯氣筒對符合題意的不同容器同時充氣），這樣變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題，便于運用波義耳定律求解。

通過以上分析可以看出，采用靈活變通的方法，將狀態(tài)、過程等效替代，運用理想過程解決實際問題，對訓(xùn)練同學(xué)們的科學(xué)思維起到了妙不可言的獨特作用。

【例8】如圖9所示，一粗細(xì)均勻兩端封閉玻璃管中央有一段水銀柱，將此水平放置的玻璃管B端抬高，并同時改放到熱水中，如圖10所示，則水銀柱將向哪一端移動？

解析：B端抬高，水銀向A端移動，升溫時向B端移動，最終結(jié)果不易確定。若改為如下程序則易于獲解。

先放入熱水中，再抬高B端，可知水銀柱向A端移動。從而簡捷獲解。

九、模型等效

【例9】（2015課標(biāo)全國卷Ⅰ）1824年，法國科學(xué)家阿拉果完成了著名的“圓盤實驗”。實驗中將一銅圓盤水平放置，在盤中心正上方用柔軟細(xì)線懸掛一枚可以自由旋轉(zhuǎn)的磁針，如圖11所示。實驗中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓盤在磁針的磁場中繞過圓盤中心的豎直軸旋轉(zhuǎn)時，磁針也隨著一起轉(zhuǎn)動起來，但略有滯后。下列說法正確的是（）

A. 圓盤上產(chǎn)生了感應(yīng)電動勢

B. 圓盤內(nèi)的渦電流產(chǎn)生的磁場導(dǎo)致磁針轉(zhuǎn)動

C. 在圓盤轉(zhuǎn)動過程中，磁針的磁場穿過整個圓盤的磁通量發(fā)生了變化

D. 圓盤中的自由電子隨圓盤一起運動形成電流，此電流產(chǎn)生的磁場導(dǎo)致磁針轉(zhuǎn)動

解析：本題考查電磁感應(yīng)、楞次定律、磁通量。如圖12所示，將銅圓盤等效為無數(shù)個長方形線圈的組合，則每個線圈繞OO′軸轉(zhuǎn)動時，均有感應(yīng)電流產(chǎn)生，這些感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場對小磁針有作用力，從而使小磁針轉(zhuǎn)動起來，可見選項A、B正確;由上述分析可知，感應(yīng)電流的方向與圓盤的轉(zhuǎn)動方向并不一致，則選項D錯誤;由對稱性可知，穿過整個圓盤的磁通量始終為零，則選項C錯誤。應(yīng)選A、B。

點評：求解本題的關(guān)鍵在于抓住由于圓盤切割磁感線而產(chǎn)生沿半徑方向的徑向電動勢使金屬圓盤在局部區(qū)域產(chǎn)生渦流。此外還要抓住楞次定律的本質(zhì)為回路磁通量的變化，本題中由于圓盤具有對稱性，故穿過圓盤的磁通量保持不變。

以上實例說明，等效思維在求解物理問題中有很重要的應(yīng)用，它是以效果相同為出發(fā)點，對所研究的對象提出一些方案或設(shè)想進(jìn)行研究的一種方法。這種科學(xué)的思維方式不僅在于解題簡捷，更重要的是有助于我們對物理概念、規(guī)律、過程、情境及模型的深入理解，起到啟迪思維、擴(kuò)大視野、觸類旁通的作用。

責(zé)任編輯李平安