淺談導(dǎo)數(shù)知識在經(jīng)濟(jì)學(xué)利潤最大化的應(yīng)用

摘要導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)運(yùn)用首先是體現(xiàn)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中，包括求函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最小和最大值;導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用包括偏微分、定積分與不定積分的運(yùn)用。經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展又以數(shù)學(xué)的發(fā)展作為基礎(chǔ)的載體，隨著我國社會(huì)地位的提高，經(jīng)濟(jì)生活的水平也得到極大的提升，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)生活中扮演著極為重要的角色。人們通常會(huì)把導(dǎo)數(shù)運(yùn)用在邊際成本、邊際利潤以及邊際效應(yīng)的分析上。本文就以導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中利潤最大化和成本最小化的運(yùn)用上面進(jìn)行分析，從而說明導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要意義。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用;利潤最大化;邊際利潤

中圖分類號：F224文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

一.引言

導(dǎo)數(shù)最開始起源于17世紀(jì)初，由于生產(chǎn)力的發(fā)展從而推動(dòng)了科學(xué)的發(fā)展。著名的科學(xué)家牛頓、萊布尼茨提出了導(dǎo)數(shù)的用法，但是此時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念并沒有被提出，直到十九世紀(jì)二十年代，偉大的科學(xué)家柯西提出了導(dǎo)數(shù)的概念，從此導(dǎo)數(shù)被人們所熟知、運(yùn)用。導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)解決了數(shù)學(xué)界很多之前無法解決或者說不能得到精確答案的問題，導(dǎo)數(shù)的提出也為之后的微分學(xué)奠定的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)不僅僅在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也扮演著極為重要的角色。

在如今科技成為第一發(fā)展力的時(shí)代里，激烈的競爭不再以單純的勞動(dòng)力為主，企業(yè)面臨的不僅僅是要提升自身的產(chǎn)品質(zhì)量問題，在投資決策方面也要做好工作，企業(yè)需要對比分析每一次決策的利潤與成本才能更好的使得企業(yè)利潤最大化，從而實(shí)現(xiàn)股東利潤最大化的目標(biāo)。

二.導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)定義

2.1導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義

導(dǎo)數(shù)又名導(dǎo)函數(shù)值，是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)的也是重要的概念。假設(shè)一個(gè)函數(shù)?y =f（x），自變量x在其中的任意一點(diǎn)x₀的附近有意義，此時(shí)x發(fā)生一個(gè)變化量為Δx時(shí)，f（x）發(fā)生變化量為Δy。當(dāng)Δx趨向于0，此時(shí)自變量的變化量Δx與函數(shù)值的變化量Δy的比值的極限存在的話，記為A，稱A為在x₀處的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f′（x₀）=或者為?f′（x₀）=

2.2導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義

經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把一個(gè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）稱作f（x）的邊際函數(shù)，那么在x₀這個(gè)特定的點(diǎn)上的值稱作函數(shù)在這一定點(diǎn)上的邊際值，通常是變化速度或者變化率。當(dāng)函數(shù)的自變量x在某一個(gè)點(diǎn)x₀的附近再變化一個(gè)單位的值時(shí)，此時(shí)函數(shù)y的變化量就是自變量變化量的導(dǎo)數(shù)。

三.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用問題

在討論企業(yè)生產(chǎn)的成本最小化和生產(chǎn)利潤最大化的問題時(shí)，其實(shí)本質(zhì)上都?xì)w于一個(gè)問題的討論，那就是企業(yè)的最優(yōu)問題的研究。企業(yè)的最優(yōu)決策就是在控制生產(chǎn)成本一定的的情況下選擇使得企業(yè)利潤最大的投資決策或者在利潤一定的情況下選擇生產(chǎn)成本最小化的方案。利潤的最大化主要討論的是邊際利潤的大小，同時(shí)成本最小化也是主要討論邊際成本的大小，邊際利潤與邊際成本的計(jì)算就涉及到導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用。下面我們分別從四個(gè)方面討論導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體應(yīng)用。

3.1導(dǎo)數(shù)與企業(yè)成本最小化

在經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)算過程中，成本最小化一般用邊際成本來表達(dá)。邊際成本既是在其他條件不變的情況下，每多生產(chǎn)一單位的商品從而帶來的總成本的變化量。

一般來說邊際成本隨著生產(chǎn)量的增加而減少，這是由于規(guī)模效應(yīng)存在。假如生產(chǎn)一輛坦克的生產(chǎn)成本很高，那么生產(chǎn)一萬輛架坦克每一輛的成本就會(huì)降低。但是也不乏邊際成本隨著生產(chǎn)量的增加而增加的情況，這通常是由于沉默成本的存在。

邊際成本的數(shù)學(xué)公式： MC =公式中的MC代表的是邊際成本，ΔTC是變化的總成本，ΔQ代表的是變化的總產(chǎn)量。當(dāng)變化的產(chǎn)量無限趨近于零時(shí)，邊際成本MC的值就是關(guān)于成本的函數(shù)在Q這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

3.2導(dǎo)數(shù)與企業(yè)利潤最大化

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的利潤最大化通常用邊際利潤來表示，邊際利潤是指在其他條件不變的情況下，每增加一個(gè)單位的的商品所帶來的經(jīng)濟(jì)利潤的變化量。

邊際利潤是分析企業(yè)利潤最大化中的一個(gè)重要的概念。邊際利潤又叫邊際收益，與邊際成本相似在其他情況不發(fā)生改變的情況下，當(dāng)把一種可變的生產(chǎn)要素加入到另外的要素中去的時(shí)候，開始的時(shí)候總產(chǎn)量會(huì)隨著某一種生產(chǎn)要素的增加而增加，但是到達(dá)了某一固定的時(shí)刻時(shí)，增加速度隨著要素投入的增加而減少，最后會(huì)使總產(chǎn)量減少這種現(xiàn)象叫做邊際收益遞減。與此同時(shí)還有邊際收益遞增的現(xiàn)象，不過這種現(xiàn)象極少發(fā)生，暫不討論。

邊際利潤的數(shù)學(xué)公式：MR =

公式中的MR代表的是邊際利潤，ΔTR代表的是變化的生產(chǎn)量帶來的變化的總利潤，ΔQ代表的是變化的總產(chǎn)量。當(dāng)變化的產(chǎn)量無限趨近于零時(shí)，邊際成本利潤的值就是關(guān)于利潤的函數(shù)在Q這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

3.3企業(yè)利潤最大化的條件

企業(yè)追求的是股東利潤最大化，想要達(dá)到利潤最大化就必須在成本一定的條件下實(shí)現(xiàn)利潤最大或者在利潤一定的情況下控制成本最小。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，想要實(shí)現(xiàn)這種情況的原則就是使企業(yè)生產(chǎn)商品的邊際成本與邊際利潤相等，即MC=MR。假如企業(yè)的邊際成本大于邊際利潤，此時(shí)企業(yè)每多生產(chǎn)一單位商品帶來的成本大于帶來的利潤，企業(yè)一定不會(huì)再多生產(chǎn);假如企業(yè)的邊際成本小于邊際利潤，此時(shí)企業(yè)每多生產(chǎn)一單位商品帶來的成本小于帶來的收益，企業(yè)一定會(huì)增加商品的生產(chǎn)，直到每多生產(chǎn)一單位的商品帶來的成本與收益相等時(shí)，企業(yè)才不會(huì)調(diào)整生產(chǎn)策略。所以企業(yè)想要實(shí)現(xiàn)利潤最大化，其邊際成本既不能大于邊際利潤也不能小于邊際利潤，而是兩者正好相等才達(dá)到最優(yōu)的效果。

3.4企業(yè)利潤最大化的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用

利潤最大化與成本最小化密不可分，廠商生產(chǎn)商品時(shí)往往遵循邊際利潤與邊際成本相等的原則，從而達(dá)到利潤最大的目標(biāo)。下面就關(guān)于利潤最大化的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉出以下案例解釋說明。

例1.A汽車制制造商2018年1月份制造汽車的最大極限是100輛，汽車的銷售函數(shù)為R（x）=5000x-25x²，汽車的成本函數(shù)為C（x）=600x+600，求該汽車制造商制造多少輛汽車可以得到最大的利潤？

由題意了解到：?汽車得利潤函數(shù)為R（x）=5000x-25x²，此時(shí)求導(dǎo)得到汽車邊際利潤函數(shù)為R′（x）=5000-50x.汽車的成本函數(shù)為C（x）=600x+600，求導(dǎo)得到汽車邊際成本函數(shù)為C′（x）=600.此時(shí)令汽車邊際成本等于邊際利潤，即5000 -50x=600，得出X=88。將X=88帶入汽車銷售利潤函數(shù)中，R（x）=5000x-25x²=5000*88-25*88²=246400。由此得到A汽車制造場一月份制造的汽車輛數(shù)為88輛時(shí)利潤最大，為246400元。

例2.?居民大樓現(xiàn)在有100間單人間可以出租，假如每個(gè)房間的價(jià)格為1000元 的時(shí)候可以全部出租。但是出租的房間每個(gè)月要上交30元錢的水電費(fèi)，水電費(fèi)由房東上繳。假如房租每個(gè)月漲價(jià)一個(gè)100元的話，就會(huì)留下一個(gè)空余的單人間，分析當(dāng)每個(gè)月的房價(jià)為多少時(shí)房東的利潤最多？

由題意了解到：假設(shè)每一個(gè)房間漲價(jià)x個(gè)100元的話，那么房租的費(fèi)用為R（x）=（100-x）*（1000+100x）=-100x²+9000x+10000，此時(shí)的水電費(fèi)為30*（100-x），此時(shí)的收益函數(shù)h（x）=（100-x）*（1000+100x）-30*（100-x）=-100x²+9030x+7000。因?yàn)閤要考慮到實(shí)際具體的情況，那么x的取值范圍在1-100之間，即1≤x≤ 100，此時(shí)要求收益的最大值既是求函數(shù)h（x）在 [1，100]上的最大值。當(dāng)h′（x）= -200x+9030= 0，解得?x=45，h″（x）=-200< 0，所以 x= 45處取極大值。因此h（x）在x=45處取得最大值，即h（x）=-100x²+9030x+7000=210850。那么當(dāng)月的收益為210850，此時(shí)有45個(gè)單人間被租出去，閑房為55間。由此分析并不是把所有的房間都租出去才能使得利潤最大化，薄利多銷也是有條件的。

例3.?B工廠是制造杯子的， 當(dāng)杯子的內(nèi)容量一定的時(shí)候，考慮杯子的高度、直徑，從而使得杯子的用量最少。

由題意得知：假設(shè)杯子的高是h，杯子的半徑為 r，那么杯子的側(cè)面積與上下底面積S=2πrh+2πr²。杯子的體積V=πr²h，由此可知?h=，由此可得S（r）=+2πr²=2rV+2πr²，再對S（r）求導(dǎo)得到S（r）=4πr-2πr²= 0。由此得到h=2r。又因?yàn)?S（r）的極值是唯一的，那么實(shí)際問題的值也是理論意義上的值，即h=2r。

四.總結(jié)

導(dǎo)數(shù)對于解決經(jīng)濟(jì)生活中的最優(yōu)問題最為有效，而最優(yōu)問題主要是解決利潤最大化和成本最小化的問題，導(dǎo)數(shù)在此間的核心就是解決極值問題。根據(jù)以上問題的分析比較，不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用很普遍，尤其是涉及到經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)商品與求極大值極小值的應(yīng)用最為廣泛，當(dāng)要求最大最小值時(shí)，往往牽扯到函數(shù)的求導(dǎo)，對于二階函數(shù)的求導(dǎo)來判斷一階函數(shù)是極大值還是極小值，對一階函數(shù)的求導(dǎo)來確定臨界的點(diǎn)。在使用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程中往往還存在著實(shí)際問題的答案與理論上答案的相悖，此時(shí)就要求我們關(guān)注實(shí)際的問題，不能一味的追求理論答案，假設(shè)對于求導(dǎo)得到的結(jié)果往往不止一個(gè)，那么我們需要排除不符合實(shí)際情況的答案，選擇符合實(shí)際情況的答案。在使用導(dǎo)數(shù)解決經(jīng)濟(jì)中的實(shí)際問題時(shí)我們需要關(guān)注實(shí)際問題的自變量是不是連續(xù)的，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)存在的前提需要保證自變量是連續(xù)存在并且有意義的，此時(shí)求出的導(dǎo)數(shù)才具有實(shí)際意義。

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作者簡介：楊瑞云（1982-），女，籍貫：陜西寶雞，講師，碩士學(xué)位，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究和數(shù)學(xué)建模學(xué)生指導(dǎo)。