四葉圖距離矩陣2個最大特征值和的變化

呂哲 高玉斌

摘要：為了能夠在任何情況下準確得到四葉圖在2種圖變換下距離特征值的極值，運用行列式的性質(zhì)、韋達定理及不等式的放縮，給出了四葉圖的2種圖變換及上述問題的結(jié)果。首先分別給出變換前后3種四葉圖距離矩陣、距離拉普拉斯矩陣及距離無符號拉普拉斯矩陣，利用行列式的性質(zhì)計算得出其特征多項式，由韋達定理判斷出3種距離特征多項式正負根的個數(shù)，通過不等式的放縮估計出特征值的范圍，從而求出2個最大特征值和的范圍;其次對變化前后四葉圖的3種距離矩陣2個最大特征值的和進行比較。結(jié)果顯示，四葉圖在經(jīng)過2種變換后2個最大特征值的和是增加的。所得結(jié)果為特殊圖類距離特征值極值問題提供了研究方法，對分子穩(wěn)定性問題的研究具有一定的借鑒價值。

關(guān)鍵詞：圖論;四葉圖;距離矩陣;特征值;圖變換

中圖分類號：0157.5文獻標識碼：A doi：10.7535/hbkd.2020yx02000

1問題的提出

多年來，圖距離矩陣特征值的研究一直是熱點問題。GRAHAM等證明了樹的距離矩陣的行列式僅是頂點數(shù)的函數(shù)，之后國內(nèi)外學者對距離矩陣的譜進行了研究。HAKIMI等提出了距離矩陣的可實現(xiàn)性問題，RUZIEH等找到了路的所有特征值和特征向量，F(xiàn)OWLER等給出了圈Cn的所有距離特征值，文獻[5]給出了螢火蟲圖距離矩陣2個最大特征值的下界，楊若松等得出了5類特殊圖的距離矩陣的多項式。關(guān)于圖的拉普拉斯矩陣特征值的研究有很多。文獻[12]給出了距離拉普拉斯矩陣和無符號拉普拉斯矩陣的定義，文獻[13]得到了簡單圖拉普拉斯矩陣第一大與第二大特征值和的上界及樹的前k大特征值和的上界，文獻[14]研究了單圈圖距離拉普拉斯矩陣的2個最大特征值。對于特殊圖類距離矩陣特征值的相關(guān)研究見文獻。

若圖G中有一塊是樹，其他塊是圈，且所有圈都粘在這顆樹的根節(jié)點上，則稱G為仙人掌圖，用G（n，r）表示含有r個圈的n階仙人掌圖。當r=4且每個圈為三角形時稱為四葉圖。筆者主要研究四葉圖在2種變換下的距離矩陣、距離拉普拉斯矩陣和距離無符號拉普拉斯矩陣的2個最大特征值的和。由于確定上述矩陣的2個最大特征值和的問題比較困難，所以本文給出四葉圖的2種變換，估計了變換前后四葉圖的距離矩陣、距離拉普拉斯矩陣和距離無符號拉普拉斯矩陣的2個最大特征值的和，進而得出經(jīng)過這2種變換，上述矩陣2個特征值的和是增加的。

鑒于四葉圖結(jié)構(gòu)的復雜性，確定矩陣的2個最大特征值和的問題是比較困難的。筆者只研究了四葉圖的2種圖變換下3種距離矩陣2個最大特征值和的變化。研究方法可為繼續(xù)研究四葉圖3種距離矩陣2個最大特征值和的極值問題開拓思路。