中考幾何綜合題對數(shù)學(xué)活動考查的命題研究與反思

摘要： 中考幾何綜合題常以幾何圖形為載體去考查幾何或函數(shù)，并以動態(tài)幾何或數(shù)學(xué)活動兩大類的題型出現(xiàn).作者以參與命制的福建省莆田市近年來的中考質(zhì)檢與中考試卷中的幾何綜合題為例，對數(shù)學(xué)活動過程的考查方式進(jìn)行試題評析與命題反思，從而對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的啟示作用.

關(guān)鍵詞： 中考幾何綜合題數(shù)學(xué)活動評析反思教學(xué)啟示

中考數(shù)學(xué)試卷應(yīng)繼續(xù)加強(qiáng)對問題形成過程的考查，這樣做有助于引導(dǎo)課標(biāo)所倡導(dǎo)的教學(xué)方式，加強(qiáng)探索性問題考查有利于引導(dǎo)教學(xué)實踐中讓學(xué)生有更多的自主探究的機(jī)會，完善教學(xué)方式.在實施過程中命題者應(yīng)該關(guān)注：怎樣設(shè)問才能較好地讓學(xué)生展現(xiàn)自己認(rèn)識問題和選擇解題策略的過程、探究問題和說理的思維活動過程、提出問題與解決問題的過程，什么樣的試題形式比較適合于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)活動過程，等等.

中考幾何綜合題常以幾何圖形為載體去考查幾何或函數(shù)，常見的是以動態(tài)幾何或數(shù)學(xué)活動兩大類的題型出現(xiàn).數(shù)學(xué)活動過程的考查方式有：

1.數(shù)學(xué)活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關(guān)知識與方法的理解深度；

2.遷移活動過程中的知識水平、思想方法，間接考查學(xué)生的數(shù)學(xué)活動過程；

3.能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學(xué)猜想，并尋求證明猜想的合理性；

4.能否使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言有條理地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考過程；

5.經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究活動過程，形成較強(qiáng)的合情推理意識，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.

現(xiàn)以我參與命制的福建省莆田市近年來的中考質(zhì)檢與中考試卷中對數(shù)學(xué)活動考查的幾何綜合題為例進(jìn)行試題評析與命題反思.

一、試題評析與命題反思

例1.（2008年莆田市中考25題）

閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時，易證△ABP∽△PCD，從而得到BP·PC=AB·CD，解答下列問題：

（1）模型探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時，求證：BP·PC=AB·CD；

（2）拓展應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于點O，以O(shè)為原點，以BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點P為線段OC上一動點（不與端點O、C重合）.

①當(dāng)∠APD=60°時，求點P的坐標(biāo)；

②過點P作PE⊥PD，交y軸于點E，設(shè)OP=x，OE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

［試題評析］本題通過“閱讀理解—模型探究—拓展應(yīng)用”三環(huán)節(jié)問題設(shè)置，實際上向?qū)W生展示了一個研究具有一般性問題的較完整的過程：先從這個一般性問題的“特殊”（圖1為直角情形）入手，到“一般”（圖2為非直角情形）；再從“一般”（問題（2）①）上升到新背景中的“特殊”（問題（2）②），使學(xué)生經(jīng)歷了“特殊—一般—特殊”由淺入深、歸納與演繹交替變化的思維過程.試題在第一環(huán)節(jié)中提供了“易證△ABP∽△PCD”的啟示，學(xué)生在解完“易證”中的具有廣泛意義的思考或研究方法（即所謂“一般性方法”）后，就能類比解決后續(xù)的各個問題.考查學(xué)生利用類比方法進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)的能力.本題的價值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的精彩設(shè)置，而且在于其本身突出地展示著“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性.能掌握并善于運用一般性方法，就顯示出較高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.（以上是2008年福建省中考數(shù)學(xué)評價組的評析）

［命題反思］信息遷移題主要考查數(shù)學(xué)的活動過程，無論是對于信息的收集和處理，還是對于活動對象、相關(guān)知識與方法的理解深度，能否進(jìn)行觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學(xué)猜想，或者是否能運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述自己的數(shù)學(xué)思考過程都是信息遷移題所關(guān)注的，因此該類試題的考核往往也與過程性的目標(biāo)相一致，體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)思考和解決問題能力方面的要求.試題突出模型的探究、抽象、概括與應(yīng)用，體現(xiàn)了研究一個問題時比較全面的過程：第一，對問題情景分析的基礎(chǔ)上先形成猜想；第二，對猜想進(jìn)行驗證（或證明成立，或予以否定）；第三，在經(jīng)過證明肯定了猜想之后，再做進(jìn)一步的推廣.因此，該類題的意義就不僅在于考查了相應(yīng)的知識，而且在于考查了活動過程.學(xué)生需要掌握通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得的數(shù)學(xué)猜想正確與否的原理、策略與方法，以及結(jié)合演繹推理與合情推理發(fā)展推理能力，從而進(jìn)一步加強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)活動過程中的方法與策略的認(rèn)識及運用.這樣的考題嘗試了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性考查，它在很大程度上可以檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和方式，形式又新穎，體現(xiàn)了新課改理念，有著較好的可推廣性和教育性.

相關(guān)試題：（2008年莆田市初三質(zhì)檢第24題）

（1）探究：如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，請猜測并寫出線段BE、EF、FD之間的等量關(guān)系（不必證明）.

（2）變式：如圖2，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，∠EAF＝∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關(guān)系又如何？請加以證明.

（3）應(yīng)用：在條件（2）中，若∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，BC＝CD（如圖3），求此時△CEF的周長.

例2.（2009年莆田市質(zhì)檢24題）

（1）如圖1，△ABC的周長為l，面積為s，其內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為r，求證：r=；

（2）如圖2，在△ABC中，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（-3，0）、B（3，0）、C（0，4）.若△ABC的內(nèi)心為D，求點D的坐標(biāo)；

（3）若與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓叫旁心圓，圓心叫旁心.請求出（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標(biāo).

［試題評析］三角形的內(nèi)心為三角形角平分線的交點，由三角形其內(nèi)切圓組成的圖形是初中幾何的基本圖形之一.學(xué)過三角形的內(nèi)切圓后，幾乎每個學(xué)生都做過如下的題目:設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，求證:s＝1/2（a+b+c）r.此題正是在上述圖形和結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展與延伸:首先第（1）小題的變換結(jié)論為；r=，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識;接著第（2）小題將第（1）小題的基本圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)耐卣?，考查學(xué)生知識遷移的能力和靈活應(yīng)用知識的能力;最后第（3）小題又在第（2）小題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸，知識的應(yīng)用也由形內(nèi)擴(kuò)展到了形外，而解決問題的方法也呈現(xiàn)出多樣性和靈活性，較好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和綜合應(yīng)用知識分析、解決問題的能力.整個試題的設(shè)計以三角形的內(nèi)切圓為背景，由簡單到復(fù)雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，具有較好的效度和區(qū)分度.（以上引自《中國數(shù)學(xué)教育》2009年第10期中考試題研究張衛(wèi)東老師的評析）

［命題反思］本題要求學(xué)生應(yīng)用新定義探索解決問題，需要學(xué)生閱讀題目給出的相對于學(xué)生來說是新知識的材料，并在理解的基礎(chǔ)上加以運用，以解決新問題.考查了學(xué)生自己閱讀材料獲取新知識，學(xué)習(xí)理解新知識和應(yīng)用新知識的能力，考查層次豐富，不同水平的學(xué)生可以充分展示自己不同的探究深度，較好地考查了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力.試題在知識遷移的同時方法也可以遷移，而且是一題多解，從而讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)、探索、問題解決的整個過程.這里將考試過程與學(xué)習(xí)過程結(jié)合起來，體現(xiàn)了一種較好的理念.借助問題解決的過程實現(xiàn)對所直接考查知識和技能的再抽象到一般意義下該能力和思想方法的考查，考題顯現(xiàn)出新的問題模式策略，對于改進(jìn)、提高中考的科學(xué)有效性、引導(dǎo)課堂教學(xué)改革具有積極的作用.

相關(guān)試題：（2010年莆田市質(zhì)檢卷第24題）

某課題組在探究“泵站問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線L同旁有兩個定點A、B，則在直線L上存在點P，使PA+PB的值最小.

解法：作點A關(guān)于直線L的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線L的交點即為P.

且PA+PB的最小值為A′B.

請利用上述模型解決下列問題：

（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是邊AC上的一動點，求PB+PE的最小值.

（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值.

（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式+（0≤x≤4）的最小值.

已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F.

（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心.

（2）若點E、F始終在分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為點P.

①猜想驗證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷+是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

［試題評析］本題是一道集閱讀理解、實驗操作、猜想證明、應(yīng)用探究于一體的綜合題型.試題以菱形中的一個等邊三角形旋轉(zhuǎn)作為載體，綜合考查了等邊三角形、菱形兩個基本圖形的性質(zhì)，同時考查了等邊三角形的外心（中心）、三角形的中位線、相似、全等等初中數(shù)學(xué)幾何主干知識.其新意主要體現(xiàn)在讓學(xué)生在操作、實驗等嘗試性活動中表現(xiàn)出對基礎(chǔ)知識的理解水平，對圖形的分解與組合的能力，考查了學(xué)生的分析、觀察、猜測、驗證、計算與推理能力.本題的情境較為復(fù)雜，要求學(xué)生在眾多的可變元素中確定不變的元素，有利于全面考查探索過程（類比、歸納、猜想等合情推理等在整個思維過程中能得到充分的體現(xiàn)），從而較為有效地發(fā)揮了證明題在考查學(xué)生觀察、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動方面能力的功能，可謂操作與探究相融，猜想與創(chuàng)新同途.本題結(jié)論開放、方法開放、思路開放，因而能有效地反映高層次思維，融會了特殊與一般、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題目.（以上是2011年福建省中考數(shù)學(xué)評價組的評析）

［命題反思］將旋轉(zhuǎn)納入新課程，不只是因為知識本身重要，更重要的是改變了研究問題的視角和方法.通過圖形的旋轉(zhuǎn)來呈現(xiàn)問題，并對旋轉(zhuǎn)進(jìn)行拓展和延伸，以達(dá)到揭示方法、考查能力的“研究性試題”已漸露鋒芒.將旋轉(zhuǎn)與相似巧妙地融為一體，體現(xiàn)了知識交匯處命題的指導(dǎo)思想.以旋轉(zhuǎn)為載體并融全等、相似、四邊形等初中主體知識為一體的動態(tài)幾何題，已成為近年中考幾何壓軸題的一種重要形式.坐標(biāo)幾何問題融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和綜合能力的良好載體.對圖形運動過程中基本幾何要素之間關(guān)系的探究等，只有通過親身探究和實踐，才能感知與體驗.試題的設(shè)計不只是對基礎(chǔ)知識基本技能進(jìn)行測試，而應(yīng)放在分析和解決數(shù)學(xué)問題的背景中去評價，應(yīng)體現(xiàn)情境性、探究性、開放性和實踐性的統(tǒng)一.同時試題的考核也與過程性的目標(biāo)相一致，體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)思考和解決問題能力方面的要求，因而能更好地培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識與創(chuàng)新能力.

相關(guān)試題：（2003年莆田市中考第26題）

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點.圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.

探究：

（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖2加以證明.

（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由.

（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明.（圖4供操作、實驗用）結(jié)論為：

二、對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

1.要重視基礎(chǔ)，回歸教材，突出數(shù)學(xué)基本概念和基本原理的教學(xué)，注意數(shù)學(xué)各部分知識之間的銜接與聯(lián)系，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展背景、過程和本質(zhì).復(fù)雜圖形是由基本圖形構(gòu)成的，若真正了解了基本圖形，就能在具體的解題過程中，從復(fù)雜圖形中分解、發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造基本圖形.命題中對幾何基本圖形進(jìn)行加工、改造時，常用的策略有：原題條件的弱化或強(qiáng)化、結(jié)論的延伸與拓展、條件與結(jié)論的互換；或?qū)D形進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等操作，使之形成一系列的變式與拓展問題.同時也可變靜態(tài)情境為動態(tài)情境，由特殊位置到一般情形，改變試題的設(shè)問形式等.教師在教學(xué)中應(yīng)注意挖掘其性質(zhì)與功能，從而更好地提高學(xué)生的解題功能，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、數(shù)學(xué)閱讀、知識遷移、歸納總結(jié)的能力，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和探究意識.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手、實驗、操作、歸納能力.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》非常重視學(xué)習(xí)過程和動手操作能力，數(shù)學(xué)教學(xué)絕不能只是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的結(jié)論，而應(yīng)強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)生和發(fā)展過程，學(xué)生絕不能“只知其然，而不知其所以然”.教學(xué)中，要創(chuàng)造一定的空間和時間，重視學(xué)生對自我學(xué)習(xí)過程的品味和反思，使學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)解題的方法與過程，弄清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈.

教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力，通過讓學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)結(jié)論的“來歷”，在操作過程中獲取“解決問題的經(jīng)驗”，在學(xué)習(xí)過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能.

3.突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的自主探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新和實踐能力.數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”和“方法”，更是一種思維模式，其表現(xiàn)就是數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識在更高層次上的抽象與概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識之中，是數(shù)學(xué)知識的精髓.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例.因此教學(xué)中應(yīng)選擇具有代表性、典型性、研究性的問題給予仔細(xì)剖析、精講精練，反對追求繁、難、偏、怪的問題.在掌握通性通法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步尋求其不同解題途徑和思維方法，善于打破已有的思維定勢，深化其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化、簡化解題方法，以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

4.要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解、分析能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識.在教學(xué)中，要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從所熟悉的實際生活中和相關(guān)學(xué)科的實際問題出發(fā)，通過觀察分析，歸納抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，讓學(xué)生不斷體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，在提高學(xué)習(xí)興趣的同時，培養(yǎng)應(yīng)用意識與建模能力，突出學(xué)生閱讀分析能力訓(xùn)練.當(dāng)試題的敘述較長時，不少學(xué)生往往摸不著頭腦，抓不住關(guān)鍵，從而束手無策，究其原因就是閱讀分析能力低.解決的途徑是：讓學(xué)生自己讀題、審題、作圖、識圖、強(qiáng)化用數(shù)學(xué)思想和方法在解題中的指導(dǎo)性，強(qiáng)化變式，有意識有目的地選擇一些閱讀材料，利用所給信息解題等.在當(dāng)今信息時代，收集和處理信息的能力，對每一個人都是至關(guān)重要的，也是中考命題的熱點.

中考壓軸題是經(jīng)過命題者精心編制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，只有教師認(rèn)真鉆研，學(xué)會拓展延伸、類比遷移，才能讓自己從一個單純的執(zhí)行者轉(zhuǎn)變?yōu)殚_發(fā)者，她改變了“記題型，對模式”的僵化、死板的學(xué)習(xí)方式，從而能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力和邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，教學(xué)也必將更加有效.

參考文獻(xiàn)：

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