基于核心素養(yǎng)的教學(xué)案例《用點差法解圓錐曲線問題》

楊竹青

涉及圓錐曲線的弦的中點、斜率時，一般都可以用點差法來解，但高中人教版課本并沒有直接出現(xiàn)“點差法”。 為此，在講完數(shù)學(xué)選修2—1雙曲線的性質(zhì)后， 我專門設(shè)計了一節(jié)點差法解決圓錐曲線問題的拓展課，現(xiàn)把 2019年12月中旬我上課的案例實錄如下：

一、 創(chuàng)設(shè)情景，引發(fā)思維

教師：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，歷來是高考的重點內(nèi)容，在近幾年的高考都是2小1大。圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線和直線的位置關(guān)系，知道了解決這類問題的主要方法。下面我們先來看一道例題：

例1、過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。

師：怎樣求這條直線的方程？

二、 自主探索，暴露思維

問題提出后，猶如一石激起千層浪，學(xué)生的探究熱情被激發(fā)起來，開始了對問題的探索。教師巡視后請學(xué)生說例1的解題思路。

學(xué)生1：將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立。通過研究聯(lián)立之后的方程的解來研究直線與圓錐曲線的問題。

學(xué)生2：老師，涉及到解決圓錐曲線中點弦的問題，可采用"點差法"來求解。

師：有的同學(xué)可能第一次聽到點差法，不知道點差法解題方法，我們今天就通過這節(jié)課來解決。下面請同學(xué)1和同學(xué)2板演解答。兩位同學(xué)用了二種方法，一種韋達(dá)定理，一種點差法。解法1：當(dāng)直線斜率不存在時，A點不可能為弦的中點，故可設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），聯(lián)立方程組，將直線方程代入橢圓方程，消去y得并整理得顯然此方程的根的判別式大于0.又設(shè)直線與橢圓的交點為，則是方程的兩個根，于是又因為M為AB的中點，所以，解得故所求直線方程為x+2y-4=0.

師：以上兩種解法就是求解以定點為中點的弦所在直線方程的常用方法，我們不妨稱之為“點差法”和“聯(lián)立法”（又叫韋達(dá)定理法）。那么，使用“點差法”時要注意什么問題呢？請同學(xué)們按學(xué)習(xí)小組分組討論上述解法的優(yōu)劣。

生：解法1是其中聯(lián)立直線與橢圓方程消去y（或x）再由韋達(dá)定理求出k雖然思路很清晰，但運算比較復(fù)雜。解法二巧用代點做差，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，很容易求出所求直線的斜率，從而達(dá)到解題的目標(biāo)，兩法比較，高下立現(xiàn)。

師：點差法的解題技巧是什么？

生：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

師：請學(xué)生總結(jié)韋達(dá)定理法和點差法到底哪一種更好？

生：點差法好，設(shè)而不求，形式有美感。還能起到化繁為簡、出奇制勝的效果。

三、 辨析錯誤，正本清源

師 ：在圓錐曲線中涉及中點弦問題時，“點差法”往往發(fā)揮很大作用。那么，使用“點差法”時要注意什么問題呢？接下來我們再看例2（課本62頁B組第4題）：

已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。

師：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線 ，然后驗證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點弦問題，應(yīng)考慮點差法或韋達(dá)定理。

師：同學(xué)們。從例2你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。

師：這又是什么原因呢？

生：“點差法”可以簡化計算，前提是直線與圓錐曲線必須要有兩個不同的交點。忽略了對"直線是否與雙曲線有交點"這個問題討論很可能導(dǎo)致產(chǎn)生增解，如雙曲線的中點弦就經(jīng)常出現(xiàn)增解，利用點差法解題時一定要注意點差法的不等價性 。

師：使用點差法的有哪些步驟？

生：使用“點差法”時，一般分三個步驟進行：設(shè)點、作差、檢驗。

四、當(dāng)堂訓(xùn)練，活學(xué)活用

練習(xí)1：（2013年高考新課標(biāo)1）已知橢圓E： （a>b>0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A，B兩點.若AB的中點坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為（ ）

A.? ?B.? ?C.? ? D.

師：同學(xué)們，這個題只是點差法的初級應(yīng)用。

五、深入探究，拓展延伸

師：請同學(xué)們根據(jù)以上例1和練習(xí)，觀察、思考、探索弦的中點與坐標(biāo)原點連線斜率和直線斜率的積與橢圓的基本量a，b之間有什么關(guān)系呢？

生：有著密切關(guān)系。若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦 的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。

師：請說具體一點。大家小組討論總結(jié)一下。

歸納總結(jié)得結(jié)論1：在橢圓中，若直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，直線與橢圓相交于、兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則

師：同學(xué)們，真棒！下面我們一起證明點差法公式。（教師課件出示以下證明過程）。

師：圓錐曲線中點弦公式太神奇了，你必須要掌握。這些神奇性質(zhì)可秒殺相關(guān)選擇題、填空題，達(dá)到事半功倍的效果。高中數(shù)學(xué)有許許多多靚麗的風(fēng)景線，你們有意識、有目的地去發(fā)現(xiàn)。

六、 類比推理，橫向拓展

同學(xué)們，若把定理1中的橢圓改為雙曲線，又會有怎樣的結(jié)論？

生：用類比方法很快得出結(jié)論2：已知雙曲線，若直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，直線與雙曲線相交于、兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則。請同學(xué)課后自己完成證明。

總結(jié)：同學(xué)們，我們可以把結(jié)論1、2可以統(tǒng)一歸納成：若線段AB是橢圓（或雙曲線）的弦，AB中點為M，則，其中e為離心率，且均存在. 通過這一簡單的結(jié)論，我們可以秒殺一些在選擇和填空題中有關(guān)橢圓或雙曲線中點弦的問題，我們只需要以上結(jié)論，即可做到秒殺該類型的題目，大大縮短了做題時間。

七、隨堂練習(xí)，強化技巧

1.（2010年高考新課標(biāo)）已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程為

2、（2014年江西高考題）過點作斜率為的直線與橢圓C： 相交于，兩點，若是線段AB的中點，則橢圓的離心率為__________.

八、課堂小結(jié)，有助提升

教師總結(jié)：同學(xué)們，本節(jié)課，我們主要研究了利用“點差法”求解以定點為中點的弦所在的直線方程問題。通過大家的努力，不僅掌握了用“點差法”求直線斜率的方法，而且了解到中點弦是否存在只與中點（定點）的位置有關(guān)，并對于所求結(jié)果是否為增根找到了檢驗方法。由“點差法”還得到了與橢圓、雙曲線的中點弦相關(guān)的一些有用的重要結(jié)論。

九、課后作業(yè) 鞏固消化

1.已知橢圓+=1（a>b>0）的右焦點為F，過點F的直線與橢圓交于點A、B，若AB中點為（1，- ），且直線AB的傾斜角為45°，則橢圓方程為

3、（2015年高考）已知橢圓的離心率為，點在上。（1）求的方程;（2）直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸， 與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

十、課后反思，助力教學(xué)

本節(jié)課從常見的兩道例題和一道習(xí)題入手，從引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題起，通過師生互動、合作探究的方式，在解決例1中找到了簡便易行的方法。在例2的教學(xué)使學(xué)生認(rèn)清了產(chǎn)生增根的根源，從而認(rèn)識到用點差法要進行檢驗。最后在教師的引領(lǐng)下把橢圓、雙曲線中點弦問題的研究推向一般化，不僅實現(xiàn)了教學(xué)任務(wù)，而且所得結(jié)論對于學(xué)生系統(tǒng)掌握直線與圓錐曲線的中點弦問題具有一定的指導(dǎo)意義，學(xué)生主體核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。當(dāng)然，本節(jié)課因容量大，給學(xué)生思考時間不夠，今后還需繼續(xù)努力。