一類具有時滯的比例依賴型捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性

崔舒為, 張 婧

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

探究捕食者種群與食餌種群之間的動態(tài)關(guān)系是種群生態(tài)學(xué)體系的重要主題之一.自第一個預(yù)測捕食者種群及其資源種群數(shù)量變化的數(shù)學(xué)模型即Lotka-Volterra模型[1]出現(xiàn)之后, 捕食者-食餌模型就成為了學(xué)者們關(guān)注與研究的對象. 近年來對于捕食者-食餌模型的研究更是層出不窮. 如：付靜研究了在白噪聲擾動下具有比例依賴的捕食者-食餌模型的動力學(xué)性質(zhì)[2]; 邵長旭從分形理論的角度討論了三種群的捕食者-食餌模型[3]; 朱子睿等對捕食者-食餌模型增加了擾動擴(kuò)散項, 分析了其平衡解的全局漸近穩(wěn)定性[4]. 隨著研究的不斷深入與拓展, 時間因素對種群密度的影響逐漸成為研究的焦點(diǎn). 目前對這類方程的研究主要集中在平衡點(diǎn)存在性、穩(wěn)定性和周期解等方面.

2012年，Banerjee M[5]研究了如下捕食者-食餌模型

(1)

2005年，周淑榮[10]等研究了具有Allee效應(yīng)的捕食者-食餌模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 2009年，Celik[11]對此模型中的食餌種群引入了時滯, 探究了模型正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和Hopf 分支問題.

受文[5][10][11]啟發(fā), 考慮由于食餌種群妊娠期產(chǎn)生的時間滯后對模型(1)產(chǎn)生的影響, 對模型(1)中的食餌種群引入時滯, 得到如下模型

(2)

1 局部穩(wěn)定性與Hopf 分支

1.1 平衡點(diǎn)的存在性,解方程組

可得模型(2)的平衡點(diǎn)

定理1 若

(3)

成立, 則模型(2)存在唯一正平衡點(diǎn)E*(u*,v*).

1.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

令x(t)=u(t)-u*,y(t)=v(t)-v*,得到(2)的線性化系統(tǒng)

即

(4)

其對應(yīng)的特征方程為:

即

(5)

令

則式(5)化為:

λ2+Pλ+Q+Re-λτ=0

(6)

1.2.1τ=0時正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

當(dāng)不考慮時滯,即τ=0時,式(6)可表達(dá)為λ2+Pλ+Q+R=0,容易得出: 當(dāng)P>0,Q+R>0時, 即

(7)

時,系統(tǒng)平衡點(diǎn)E*漸近穩(wěn)定.

1.2.2τ≠0時正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

令λ=iω(ω>0)為方程(6)的一個根, 把iω(ω>0)代入方程(6), 得

(iω)2+Piω+Q+R(cosωτ-isinωτ)=0.

分離上述方程的實(shí)部與虛部,得

(8)

把上述方程的兩端平方相加, 得到關(guān)于ω的代數(shù)方程

ω4+(P2-2Q)ω2+Q2-R2=0

(9)

當(dāng)P2>2Q,Q2>R2時,對于任意的τ>0,方程(9)的所有根都具有負(fù)實(shí)部,系統(tǒng)平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

當(dāng)Q2

當(dāng)P2<2Q,Q2>R2時,方程(9)存在兩個正根

對方程(6)求關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù), 得:

得到橫截性條件

定理3 對于系統(tǒng)(2), 假設(shè)(3)成立.

1) 若P2>2Q,Q2>R2, 即

(10)

成立, 則對于所有τ>0, 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

2) 若Q2

(α(1+m)2-β(2+m))2<β2

(11)

成立, 則當(dāng)τ<τj時, 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)τ>τj時, 平衡點(diǎn)E*不穩(wěn)定,當(dāng)τ=τj時, 系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E*處發(fā)生Hopf 分支.

3) 若P2<2Q,Q2>R2, 即

(12)

2 數(shù)值模擬

圖1 當(dāng)τ取3時模型(2)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定情況

例2 在模型(2)中令α=3,β=3,m=0.5, 則模型(2)存在唯一正平衡點(diǎn)E*(1,1), 這些系數(shù)滿足(3)和(11), 當(dāng)τ>0時, 根據(jù)上節(jié)計算可得ω+=0.899,τj=0.604. 圖2說明當(dāng)τ<τj時, 平衡點(diǎn)E*(1,1)漸近穩(wěn)定; 圖3說明當(dāng)τ在τj附近時一個穩(wěn)定的周期解從平衡點(diǎn)E*(1,1)分支出來.

圖2 當(dāng)τ取0.45時模型(2)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定情況

圖3 當(dāng)τ取0.6時模型(2)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定情況

3 結(jié)論

研究了一類具有時滯的比例依賴型捕食-食餌模型. 考慮了食餌種群妊娠期對捕食者-食餌模型種群密度帶來的時間滯后影響. 當(dāng)模型(2)存在唯一正平衡點(diǎn)即式(3)成立時, 若模型(2)中的系數(shù)滿足條件(3), 時滯不會影響模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性; 若模型(2)中的系數(shù)滿足條件(11)或條件(12), 當(dāng)時滯達(dá)到某個臨界值時會影響模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性并導(dǎo)致分支的出現(xiàn).