考慮畸變影響的箱梁橫向彎矩計(jì)算方法

王兆南，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 蘭州 730070)

1 引 言

垂向偏心荷載作用下，由于箱梁畸變的影響，準(zhǔn)確計(jì)算箱梁的橫向彎矩是橋梁設(shè)計(jì)中需要關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此作了不少研究。研究方法可分兩種，一種為框架分析法[1-6]，通過(guò)疊加施加了剛性支承和解除剛性支承且考慮了畸變影響的框架彎矩，得出箱梁的橫向彎矩；一種為能量變分法[3]，通過(guò)對(duì)取出的單位長(zhǎng)度框架以施加剛性支承和解除剛性支承的方式計(jì)算箱梁的橫向彎矩，但基本計(jì)算模型和框架分析法不同，通過(guò)能量變分法解出箱梁頂板上的剪力差，最后得到箱梁的橫向彎矩。對(duì)于箱梁橫向內(nèi)力的研究，Chithra等[7]采用SFA(Simple Frame Analysis)法分析單箱雙室箱梁的橫向內(nèi)力，并對(duì)結(jié)果采用三維有限元程序進(jìn)行了計(jì)算對(duì)比。Kurian等[8,9]分析了SFA法的不足，并分析了腹板和懸臂板厚度的比值變化及車輛荷載對(duì)橫向彎矩的影響。文獻(xiàn)[10，11]對(duì)彎箱梁橋的橫向內(nèi)力進(jìn)行了研究。鐘新谷等[12]采用有限元對(duì)箱梁橫向內(nèi)力進(jìn)行了計(jì)算和分析。由于箱梁畸變對(duì)橫向彎矩的影響不容忽視，無(wú)論采用類似于研究扭轉(zhuǎn)的方法[13]還是采用廣義坐標(biāo)法[14]，或采用HSA(Hamiltonian Structural Analysis Method)法[15-18]都涉及到畸變微分方程的求解，得到箱梁畸變角或畸變位移。

采用框架分析法計(jì)算箱梁的橫向彎矩，公式簡(jiǎn)單，但方程個(gè)數(shù)較多，求解較為繁瑣[1-6]；能量變分法目前僅用于矩形截面箱梁的分析。本文根據(jù)需要優(yōu)化框架分析法的方程，在剛性支承法的基礎(chǔ)上，考慮箱梁畸變角和橫向彎矩的關(guān)系，給出了更加簡(jiǎn)單的求解橫向彎矩的方法；之后，用能量變分法分析了梯形截面箱梁的橫向彎矩；最后，結(jié)合算例對(duì)這幾種計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證。

2 基本假定

等高度梯形截面簡(jiǎn)支箱梁，頂板上作用有垂向偏心均布荷載p(z)，記為p，單位為kN/m。從跨中截取單位長(zhǎng)度的梁段，其頂板、底板和腹板等板件形成一個(gè)閉合框架如圖1所示，并假定

(1) 組成框架各板件的橫向變形忽略不計(jì)，箱形截面的周邊不可壓縮，橫向應(yīng)變?yōu)?。

(2) 箱梁發(fā)生畸變翹曲時(shí)，組成箱形截面的各板件作為各縱向板梁的橫截面，分別滿足平截面假定。

(3) 忽略箱梁各板件厚度對(duì)翹曲的影響，剪應(yīng)力和翹曲正應(yīng)力沿壁厚均勻分布。

箱梁橫向彎矩分析模型，根據(jù)框架B點(diǎn)是否施加側(cè)向水平支承分為兩種，如圖2所示。橫向彎矩最簡(jiǎn)化的方法為剛性支承法，一般取圖2(a)的分析模型，由于不考慮畸變，計(jì)算結(jié)果較為粗略。箱梁頂板上的垂向偏心荷載使箱梁產(chǎn)生畸變，因此通常采用框架分析法計(jì)算橫向彎矩。

3 框架分析法

用框架分析法進(jìn)行箱梁橫向彎矩分析一般會(huì)有9個(gè)方程[1-6]。在圖2(a)虛設(shè)了剛性支承分析模型的計(jì)算基礎(chǔ)上，解除剛性支承，代之以反向支承力進(jìn)行畸變橫向彎矩的計(jì)算，將求得的解除剛性支承的框架橫向彎矩和施加了剛性支承的橫向彎矩疊加可得箱梁的最終橫向彎矩。虛設(shè)剛性支承的框架橫向彎矩和支承力可采用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法或有限元進(jìn)行計(jì)算。將得到的支承力反向加在框架上，并分解為正對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載qh=(R1-R2)/2和qs=-R3=R4，其中R1和R2為箱梁點(diǎn)D和C的豎向支承力，R3和R4為箱梁點(diǎn)D和B的水平支承力。正對(duì)稱荷載作用下框架的橫向彎矩較小，可忽略，反對(duì)稱荷載qh和qs作用下箱梁將發(fā)生畸變并產(chǎn)生畸變橫向彎矩。此時(shí)，箱梁頂板、底板和腹板上存在著扭轉(zhuǎn)剪力差ts，tx和th及畸變剪力差Ts，Tx和Th，剪力差和反對(duì)稱荷載分布如圖3所示。

圖1 箱梁橫截面

Fig.1 Cross section of box girder

圖2 橫向彎矩分析模型

Fig.2 Analysis model of transverse bending moment

圖3 框架剪力差及反對(duì)稱荷載

Fig.3 Shear increments and dissymmetric load

箱梁各角點(diǎn)彎矩的計(jì)算點(diǎn)和正負(fù)值的規(guī)定如圖4所示，各角點(diǎn)的畸變橫向彎矩值可采用各板件跨中的剪力Qs，Qh和Qx來(lái)表示，由此可得式(1，2)，其中ηm為腹板上畸變彎矩反彎點(diǎn)高度的比值。

Qh=Qs(1+ηm)a4/(2a1)

(1)

Qx=Qsηma4/a2

(2)

根據(jù)假定，箱梁發(fā)生畸變變形時(shí)，截面上的畸變正應(yīng)力在各板件上的分布為線性，并合成各板件上的力矩，如圖5所示。頂板、腹板和底板上的力矩為Mo，Mc和Mu。其中σA和σD為框架A和D兩點(diǎn)的畸變正應(yīng)力，令β=σD/σA，α0=1+2d/a4，β可根據(jù)各板件畸變力矩對(duì)y軸的平衡得出。

圖4 箱梁畸變橫向彎矩

Fig.4 Distortion transverse moment of box girder

圖5 畸變正應(yīng)力及力矩

Fig.5 Distortion warping stress and moments

圖6 箱梁各板件板端位移

Fig.6 Displacement of plate of box girder

根據(jù)箱梁畸變位移協(xié)調(diào)原理，有γ01+γ02+2γh=2γ1-γ2，將γ01，γ02，γh，γ1和γ2代入得到，

(3)

(4)

式中Γ3=1+a4ηm/a2。通過(guò)式(4)可求得板件上的剪力Qs，并換算求得解除剛性支承的框架畸變橫向彎矩，將其和施加了剛性支承的橫向彎矩疊加可得箱梁的最終橫向彎矩。本文根據(jù)需要將方程優(yōu)化至4個(gè)，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

4 本文方法

框架分析法得出的方程形式簡(jiǎn)單，適用于工程設(shè)計(jì)人員使用，但方程個(gè)數(shù)較多，推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜。事實(shí)上，考慮到箱梁畸變角和畸變橫向彎矩的直接關(guān)系，在剛性支承法計(jì)算的基礎(chǔ)上，通過(guò)求解畸變角，再換算得出箱梁的畸變橫向彎矩，經(jīng)疊加則可求得箱梁最終的橫向彎矩。以框架角點(diǎn)D的畸變角γ為未知量的箱梁四階畸變控制微分方程為

γ″″+4λ4γ=pΩ/(EIω d)

(5)

式中λ=[IR/(4Iω d)]1/4，EIω d為箱梁的抗畸變翹曲剛度，Iω d的單位為m6。

EIR為箱梁橫向框架剛度，IR的單位為m2，其中Ω=a1(a2+a4)/(2h)，E為各板件彈性模量。

圖7 箱梁頂板的側(cè)移

Fig.7 Lateral displacement of top slab of box girder

根據(jù)箱梁畸變微分方程和彈性地基梁撓曲微分方程的相似關(guān)系，可得箱梁跨中作用單位畸變荷載時(shí)箱梁畸變角的影響線。當(dāng)箱梁跨中作用單位畸變荷載時(shí)，畸變微分方程的初參數(shù)解如式(6，7)。設(shè)梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，若λL>2π，微分方程可用式(6)求解；若λL≤2π，可用式(7)求解，其中γ0，Bω d 0和Qω d 0分別為坐標(biāo)原點(diǎn)的畸變角、畸變雙力矩及畸變矩，其值可由相應(yīng)的邊界條件確定[13]。式中z為箱梁各截面距跨中坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

(6)

[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

(7)

畸變角γ和各板元橫向板端彎矩之間的關(guān)系可采用圖乘法導(dǎo)出。如圖7的框架，當(dāng)頂板點(diǎn)B作用單位水平力時(shí)，頂板的側(cè)移值為δh，頂板跨中剪力值為X，δh和X可采用圖乘法求出。由于γ2較小，可認(rèn)為γ1為畸變角γ，所以角點(diǎn)D的夾角改變?yōu)棣脮r(shí)，頂板的水平位移為γa1sinθ，頂板點(diǎn)B作用的水平力為γa1sinθ/δh，有a1sinθ=h，頂板跨中剪力值為γhX/δh，對(duì)點(diǎn)A取矩有mA B=mA D=γa4hX/(2δh)，同理可得mD C=mD A=γ(2h2-a2hX)/(2δh)。

令k1=a4hX/(2δh)，k2=(2h2-a2hX)/(2δh)，

則有

mA B=k1γ,mD C=k2γ

(8,9)

畸變橫向彎矩關(guān)于y軸對(duì)稱，和剛性支承法計(jì)算的彎矩疊加就得到箱梁最終的橫向彎矩。該方法借助于成熟的以畸變角為未知量的畸變微分方程，求出畸變角，并通過(guò)式(8,9)得出畸變橫向彎矩，與框架分析法相比過(guò)程簡(jiǎn)單，理論明確，能直接反映箱梁畸變對(duì)橫向彎矩的影響。

5 能量變分法

箱梁橫向彎矩的計(jì)算可采用能量變分法，以 圖2(b)的分析模型進(jìn)行分析。將箱梁頂板上作用的垂向偏心荷載分解為正反對(duì)稱荷載，如圖8所示，a為荷載與頂板邊緣的距離，e為荷載作用在頂板上的間距。

框架在正對(duì)稱荷載作用下的橫向彎矩可采用先加支承，再解除支承，代之以反向支承力的方法計(jì)算，最后將二者疊加形成正對(duì)稱荷載作用下框架的橫向彎矩。正對(duì)稱荷載產(chǎn)生的橫向彎矩采用有限元或結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法就可簡(jiǎn)單求得。

框架在反對(duì)稱荷載作用下的橫向彎矩也采用先加支承，后解除支承，代之以反向支承力的方法分析。加支承的框架上除了反對(duì)稱荷載外，各板件上還有未知的剪力差T(z)，記為T，如圖9所示?？蚣軓澗貙⒂煞磳?duì)稱荷載p/2和剪力差T共同產(chǎn)生。其中Ts 2,Tx 2和Th 2分別為頂板、底板和腹板上的剪力差，在剪力差單獨(dú)作用下，導(dǎo)致框架側(cè)移并產(chǎn)生的內(nèi)力為Ts 2，所以本文的未知剪力差T指Ts 2。

剪力差T可采用能量變分原理構(gòu)建一個(gè)以T為未知量的微分方程求出，再用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法得出頂板剪力差引起的框架彎矩，反對(duì)稱荷載p/2引起的框架彎矩可用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法或有限元法求出。

5.1 框架總勢(shì)能

反對(duì)稱荷載p/2引起圖9框架的水平位移為ΔP(z)=pKP，剪力差T引起的框架水平位移為ΔT(z)=TKT，則框架的總位移Δ(z)=pKP+TKT，微分兩次可得式(10)，其中KP和KT的表達(dá)式見附錄。

(10)

5.1.1 框架橫向彎曲應(yīng)變能Πw

單位長(zhǎng)梁段在反對(duì)稱荷載p/2和剪力差T共同作用下的橫向彎曲應(yīng)變能為

圖8 框架上荷載的分解

Fig.8 Loads decomposition of frame

圖9 反對(duì)稱荷載作用下加支承的框架

Fig.9 Supported frame under dissymmetric loads

(11)

式中MP和MT分別為加支承框架在反對(duì)稱荷載p/2和剪力差T作用下框架的彎矩，I為各板件面外慣性矩，對(duì)s的積分路徑為箱形截面的周長(zhǎng)。式(11)的運(yùn)算可通過(guò)對(duì)圖9框架的彎矩圖乘得到，則框架的橫向彎曲應(yīng)變能為

Πw=p2Km P+T2Km T+TpKm P T

(12)

式中Km P，Km T和Km P T的表達(dá)式見附錄。

5.1.2 框架上外部荷載勢(shì)能ΠP

反對(duì)稱荷載作用下箱梁截面將有轉(zhuǎn)角θ(z)，記為θ，則箱梁截面的轉(zhuǎn)角θ為

(13)

式中Mθ為框架頂板跨中作用單位力矩產(chǎn)生的框架彎矩，同理可通過(guò)相應(yīng)彎矩圖的圖乘對(duì)式(13)進(jìn)行運(yùn)算，得到θ=pKθ P+TKθ T。其中，Kθ P和Kθ T的表達(dá)式見附錄，則框架上的外荷載勢(shì)能為

Πp=-(p2Kθ P+pTKθ T)e/2

(14)

5.1.3 框架縱向翹曲應(yīng)變能Πq

Πq=Kq[Δ″(z)]2

(15)

式中Kq的表達(dá)式見附錄，將式(10)代入后得到Πq為

(16)

通過(guò)以上分析，計(jì)入框架橫向彎曲應(yīng)變能、翹曲應(yīng)變能和外荷載勢(shì)能的框架總勢(shì)能為

Π=Πw+Πq+ΠP

(17)

5.2 微分方程的建立及求解

代入相應(yīng)的項(xiàng)并根據(jù)歐拉方程，運(yùn)算可得微分方程為

T″″KqKT+TKm T+pKm P T/2-peKθ T/4=0

(18)

(19)

該微分方程和彈性地基梁撓曲微分方程相似，可采用比擬的彈性地基梁解法求解，當(dāng)p(eKθ T-2Km P T)/(4KT)為單位荷載時(shí)，其彈性地基梁解為式(20)，其中k=Km T/KT。由式(20)可解得單位荷載作用下框架的剪力差，將結(jié)果乘以p(eKθ T-2Km P T)/(4KT)可得反對(duì)稱荷載作用下加支承框架的剪力差T。

(20)

箱梁在固定端、設(shè)置了剛性橫隔板的簡(jiǎn)支端和自由端，有T(z)=0。求出剪力差T后，可得剪力差作用下的框架橫向彎矩，并和反對(duì)稱荷載p/2作用下的框架橫向彎矩疊加得到反對(duì)稱荷載作用下加支承框架的橫向彎矩。

在計(jì)算反對(duì)稱荷載作用下的框架橫向彎矩時(shí)，當(dāng)支承力反向加在解除支承的框架上時(shí)，該部分的箱梁畸變橫向彎矩可通過(guò)求解畸變角γ后換算得出。求出框架的畸變橫向彎矩后與反對(duì)稱荷載作用下加支承的框架橫向彎矩以及正對(duì)稱荷載作用下加支承的框架橫向彎矩疊加，得到框架的最終橫向彎矩。

能量變分法分析過(guò)程較為復(fù)雜，但可用于變截面箱梁的橫向彎矩計(jì)算；框架分析法公式較為簡(jiǎn)單，但方程個(gè)數(shù)較多；本文給出的方法在考慮畸變對(duì)橫向彎矩的影響時(shí)較為直觀，公式較少。現(xiàn)給出數(shù)值算例說(shuō)明各橫向彎矩計(jì)算方法結(jié)果的差異。

6 數(shù)值算例

算例1梯形截面簡(jiǎn)支箱梁，其上作用有均布線荷載p=1 kN/m，計(jì)算跨徑L=1.2 m，材料彈性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37，截面尺寸如圖10所示，荷載p作用位置離點(diǎn)A為50 mm。通過(guò)本文箱梁橫向彎矩計(jì)算方法，計(jì)算各角點(diǎn)的橫向彎矩，列入表1。

圖10 算例1的箱梁截面尺寸(單位:mm)

Fig.10 Cross section of example 1 (unit:mm)

表1 不同方法求解算例1框架橫向彎矩對(duì)比

Tab.1 Transverse bending moment comparison of example 1 for different methods

角點(diǎn)ABCD剛性支承法彎矩①-26.120-9.5180.082-3.441框架分析法彎矩[5]②-22.897-12.741-7.7634.404能量變分法彎矩③-23.118-12.344-9.1155.710本文方法彎矩④-22.753-12.563-8.2584.935有限元法彎矩[5]⑤-22.068-12.108-8.7865.206誤差1/%3.765.23-11.64-15.41誤差2/%4.761.953.749.68誤差3/%3.103.76-6.01-5.21注:彎矩單位為10N·m/m,誤差1=(②-⑤)/⑤×100,誤差2=(③-⑤)/⑤×100,誤差3=(④-⑤)/⑤×100。

剛性支承法由于不考慮畸變產(chǎn)生的彎矩所以誤差較大；框架分析法考慮了畸變橫向彎矩，使計(jì)算精度有了很大的提高，但角點(diǎn)C和D的彎矩依然存在較大的誤差，其誤差分別為-11.64%和 -15.41%；能量變分法得出的結(jié)果將點(diǎn)C和D的彎矩誤差降到了3.74%和9.68%，相比框架分析法，雖角點(diǎn)A彎矩的誤差略微增大，但其余角點(diǎn)誤差較??；本文方法彎矩誤差絕對(duì)值最大為6.01%。相比框架分析法，本文方法和能量變分法使點(diǎn)C和D的彎矩誤差有所減小，精度得到提高。

算例2鐵路雙線無(wú)砟軌道簡(jiǎn)支箱梁，計(jì)算跨徑L=31.5 m，C50混凝土，彈性模量E= 34.5 GPa，泊松比μ=0.17，結(jié)構(gòu)自重為25 kN/m3，活載換算為箱梁的橫向荷載p=27.28 kN/m2，其橫向分布寬度為2.8 m。箱梁截面及荷載分布如圖11所示,計(jì)算結(jié)果列入表2。

有限元采用殼單元計(jì)算，由表2可以看出，通過(guò)文中橫向彎矩計(jì)算結(jié)果的比較，框架分析法結(jié)果在角點(diǎn)D的誤差為8.26%，能量變分法的點(diǎn)D誤差為3.10%，本文方法得出的點(diǎn)D誤差為 4.56%。能量變分法和本文方法降低了箱梁底板的彎矩誤差。

圖11 算例2的箱梁截面尺寸(單位：cm)

Fig.11 Cross section of example 2(unit：cm)

表2 不同方法求解算例2框架橫向彎矩對(duì)比

Tab.2 Transverse bending moment comparison of example 2 for different methods

角點(diǎn)ABCD剛性支承法彎矩①-316.220-293.090-157.340-157.340框架分析法彎矩②-296.090-313.220-181.550-133.130能量變分法彎矩③-291.726-311.644-180.456-126.786本文方法彎矩④-293.457-312.254-180.874-128.578有限元法彎矩⑤-287.210-306.050-171.670-122.970誤差1/%3.092.345.768.26誤差2/%1.571.835.123.10誤差3/%2.182.035.364.56注:彎矩單位為kN·m/m,誤差1=(②-⑤)/⑤×100,誤差2=(③-⑤)/⑤×100,誤差3=(④-⑤)/⑤×100。

7 結(jié) 論

(1) 本文優(yōu)化了框架分析法計(jì)算箱梁橫向彎矩的方程，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。在剛性支承法計(jì)算的基礎(chǔ)上，直接給出用畸變角計(jì)算畸變橫向彎矩的方程，簡(jiǎn)化畸變橫向彎矩的計(jì)算過(guò)程，數(shù)值結(jié)果表明，本文方法結(jié)果和有限元結(jié)果誤差絕對(duì)值不超過(guò) 6.01%。

(2) 采用能量變分法給出了梯形截面箱梁橫向彎矩計(jì)算的以頂板剪力差為未知量的四階控制微分方程，能量變分法橫向彎矩計(jì)算結(jié)果和有限元結(jié)果誤差不超過(guò)9.68%。

(3) 相比框架分析法，采用本文方法和能量變分法計(jì)算箱梁橫向彎矩，能有效降低箱梁底板上的彎矩誤差，提高橫向彎矩的計(jì)算精度。

附 錄：

η2=[a1(a4-a2)(2a4+a2)/(a2I1)+

2a2a2η2(3a4-2a)+2a2(3a4-3a2-2a)+

4a2η3-4a4η3)+a1(a4-a2)(6a-a4+a2-