調(diào)和γ-正規(guī)映射和調(diào)和γ-正規(guī)型映射

喬金靜，翟小雨

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 保定 071002)

即在D上，|h′(z)|>|g′(z)|或|ω(z)|<1，這里ω(z)=g′(z)/h′(z)是f的伸縮[1].

記H(D)為D上的調(diào)和映射類，記A(D)為D上的解析函數(shù)類.設(shè)解析函數(shù)f∈A(D)，常數(shù)γ∈(0,∞)，如果

則稱f為γ-正規(guī)函數(shù)[2].特別地，γ=1時，稱f為正規(guī)函數(shù)[3].

正規(guī)函數(shù)對于亞純函數(shù)性質(zhì)的研究，特別是亞純函數(shù)的邊界性質(zhì)的研究，是非常重要的.相關(guān)的結(jié)果，參見文獻(xiàn)[3-4].文獻(xiàn)[5]定義并研究了調(diào)和正規(guī)映射，從而把正規(guī)函數(shù)推廣到調(diào)和映射的情形.本文給出調(diào)和γ-正規(guī)映射的概念，并研究其性質(zhì).

那么稱它為調(diào)和γ-正規(guī)映射.

及其上的半范數(shù)‖f‖N(γ)∶=|f(0)|+βγ(f).

那么稱它為調(diào)和γ-正規(guī)型映射.

作為經(jīng)典的Bloch空間的推廣，Colonna研究了調(diào)和Bloch空間[6].近年來,調(diào)和Bloch空間被推廣到調(diào)和γ-Bloch空間[7].在文獻(xiàn)[8]中，作者定義了調(diào)和γ-Bloch型空間，將調(diào)和γ-Bloch空間的一些結(jié)果推廣到了調(diào)和γ-Bloch型空間上.顯然調(diào)和Bloch映射是調(diào)和正規(guī)映射，但反之不成立.本文的主要目的是研究調(diào)和γ-正規(guī)映射和調(diào)和γ-正規(guī)型映射的性質(zhì)，主要討論調(diào)和γ-正規(guī)映射和調(diào)和γ-正規(guī)型映射的如下性質(zhì)：仿射不變性、線性不變性、包含關(guān)系、與局部一致單葉調(diào)和映射的關(guān)系及從屬原則.從而推廣文獻(xiàn)[8]中調(diào)和γ-Bloch空間和調(diào)和γ-Bloch型空間的相應(yīng)結(jié)果.

1 仿射不變性、線性不變性及包含關(guān)系

(1)

若||a|2-|b|2|>1，由式 ⑴ 得

若||a|2-|b|2|<1，由式 ⑴ 可得

因此,A°f∈NH(γ).

因此

(2)

若||a|2-|b|2|>1，由式 ⑵ 得

若||a|2-|b|2|<1，由式 ⑵得

故f°φα∈NH(γ).

故fγ∈N(γ).但是當(dāng)x∈(0,1)且x→1-，0<μ<γ時，

故fγ?N(μ).結(jié)論得證.

因為|g′(z)|<|h′(z)|，z∈D，而

因此

2 調(diào)和γ-正規(guī)映射、調(diào)和γ-正規(guī)型映射和局部一致單葉調(diào)和映射的關(guān)系

局部一致單葉調(diào)和映射f也可以用pre-Schwarz導(dǎo)數(shù)及其范數(shù)來刻畫.f的pre-Schwarz導(dǎo)數(shù)及其范數(shù)分別定義如下[10-11]：

與文獻(xiàn)[11]中定理7的證明類似，函數(shù)f是局部一致單葉的當(dāng)且僅當(dāng)‖Pf‖<∞(也可參考文獻(xiàn)[12]).定義調(diào)和映射類

PH(γ)={f∶f是D上保向的調(diào)和映射，且‖Pf‖≤γ}

證明：對于γ>0，假設(shè)f∈PH(γ).因為fz(0)≠0，考慮函數(shù)

顯然F在D上是保向的，滿足規(guī)范化條件F(0)=Fz(0)-1=0，且有‖PF‖=‖Pf‖.因此，F(xiàn)∈PH(γ).由文獻(xiàn)[12]得

因此

考慮函數(shù)

3 從屬原則

2000年，Schaubroeck將解析函數(shù)從屬的概念推廣到調(diào)和映射的情形[13].設(shè)f和F是D上的2個調(diào)和映射，如果存在解析函數(shù)φ滿足φ(0)=0和|φ(z)|<1，使得f=F°φ，那么稱f從屬于F，記為fF.如果存在D上的解析函數(shù)φ滿足|φ(z)|<1，使得f=F°φ，則記為f?F.明顯地，若fF，那么f?F.

證明：這里僅需要證明調(diào)和γ-正規(guī)型映射的情況，調(diào)和γ-正規(guī)映射情形的證明類似.

Jf(z)=JF(φ(z))|φ′(z)|2，

由Schwarz-Pick引理，(1-|z|2)|φ′(z)|≤1-|φ(z)|2.因此