基于SIQR模型的新冠肺炎期間深圳市防控措施分析

徐韌哲，汪家偉，葉聲豪，王 雄

1) 深圳大學高等研究院，廣東深圳518060；2)安徽農(nóng)業(yè)大學信息與計算機學院，安徽合肥230036

2019 年12月新型冠狀病毒肺炎(coronavirus disease 2019, COVID-19，以下簡稱新冠肺炎)疫情在中國武漢市出現(xiàn)，并在較短時間內(nèi)蔓延至其他地區(qū)．隨著中國各項防控措施的緊急出臺，以深圳市為代表的輸入型地區(qū)疫情很快趨于穩(wěn)定．世界衛(wèi)生組織在《中國-世界衛(wèi)生組織新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)聯(lián)合考察報告》中積極評價中國防控措施的影響，并將深圳市作為唯一一個典型城市個案進行防控措施分析．然而，國際上許多其他地區(qū)卻采取了相比中國更為溫和的防疫措施．因此，以量化方法展示不同地區(qū)及不同程度的疫情防控措施所帶來的效果十分必要，同時也可為平衡經(jīng)濟發(fā)展與疫情防控提供重要的理論支持．

經(jīng)典的傳染病模型SEIR(susceptible exposed infectious recovered)早在20世紀便已提出[1]，成為眾多傳染病擴散研究的基礎(chǔ)模型．新冠肺炎疫情爆發(fā)以來，已有研究對疫情發(fā)展進行分析與預測．JONATHAN等[2]在2020年1月對中國疫情進行初步估計，但研究沒有考慮政府防控措施的有效性，致使估計結(jié)果遠高于病情的實際發(fā)展情況．WU等[3]利用考慮了輸入輸出型病例的SEIR模型對中國實際疫情傳染情況進行估計與預測，并根據(jù)境外確診人數(shù)反推出2020-01-28中國實際感染人數(shù)為6 000人左右．周濤等[4]基于SEIR模型及報告確診病例數(shù)，估算出中國新冠病毒的基本再生數(shù)為2.9～3.3，認為及時有效的防控措施能夠較快抑制傳染病的進一步蔓延．TANG等[5]對SEIR模型進行改進，在模型中引入隔離觀察者、潛伏期隔離者及發(fā)病期隔離者，并預測不同參數(shù)下的可能病例數(shù)．通過離散模型也可以動態(tài)描述新冠肺炎疫情的發(fā)展，并估計所需的流行病學參數(shù)，其離散的傳播模型和稍作修改的SIR(susceptible infectious recovered)模型在動力學方面具有良好一致性[6]．曹盛力等[7]基于修正SEIR模型對武漢的疫情發(fā)展進行回溯分析，為制定未來的疫情干預決策提供一定理論支持．

本研究以疫情輸入地為研究對象，考慮疫情發(fā)源地與輸入地之間的傳播關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，建立以防疫措施為參數(shù)的傳播動力學SIQR(susceptible infectious quarantined recovered)模型．以中國人口遷徙數(shù)據(jù)和深圳市疫情數(shù)據(jù)為依據(jù)，使用基于蒙特卡洛方法的網(wǎng)格搜索算法對SIQR模型的各個參數(shù)進行最優(yōu)化擬合．依據(jù)模型對深圳市疫情防控措施進行打分，并模擬不同得分下疫情的發(fā)展情況．最后，對比深圳與其他疫情國家，分析其他國家疫情發(fā)展的特點．

1 資料與數(shù)據(jù)

模型考慮的時間范圍為2020-01-10至2020-03-10，研究對2020-01-10至2020-03-10期間全國遷徙數(shù)據(jù)和2020-01-24至2020-03-10期間全國疫情數(shù)據(jù)進行收集和分析，并假設(shè)疫情傳播過程中病毒未發(fā)生顯性突變．

1.1 全國疫情數(shù)據(jù)

這里只取中國國家衛(wèi)生健康委員會(國家衛(wèi)健委)2020-01-24至2020-03-10公布的每日疫情數(shù)據(jù)[8]，經(jīng)過分析擬合，最終估算出自1月10日起的全國各省份的真實感染數(shù)據(jù)，具體步驟如下．

步驟1根據(jù)生物界常見的S型生長曲線，使用logistic模型對全國各省確診人數(shù)進行擬合及估計，擬合函數(shù)為

(1)

其中，Ci(t)為第t天i地區(qū)(省市)的累計確診病例數(shù)；a,b及c為參數(shù)，分別影響函數(shù)的最值、坡度及位置．

步驟2由于疫情傳播過程中存在具有傳染性的潛伏病例，還需根據(jù)確診病例數(shù)估計各省市的潛伏病例數(shù)，從而得到各個時期、各個省市的真實感染人數(shù)．這里取平均潛伏期為7.5 d[9]，則潛伏者每日轉(zhuǎn)化為感染者的概率約為1/7.5≈0.13．由此可根據(jù)各個省市的每日新增確診數(shù)反推每日存在的潛伏者病例數(shù)為

Ei(t)=[Ci(t+1)-Ci(t)]/0.13

(2)

其中，Ei(t)為第t天i地區(qū)(省市)的潛伏者病例數(shù)．

步驟3將以上兩步計算得出的各個省市每日確診病例數(shù)和每日潛伏病例數(shù)相加，即可計算出第t天i地區(qū)(省市)的感染總?cè)藬?shù)為

Ii(t)=Ei(t)+Ci(t)

(3)

1.2 全國遷徙數(shù)據(jù)

基于百度地圖遷徙大數(shù)據(jù)[10]，將全國各個地區(qū)至深圳的人口遷徙情況分兩個階段：

1) 武漢“封城”前：使用2020-01-10至2020-01-23的各省市遷入遷出深圳人口流量強度日均值，單位流量強度為10 萬人，按照平均每日遷入深圳流量強度排名，前6名的省份見表1.

表1 武漢“封城”前各省平均每日遷徙 深圳流量強度(前6)Table 1 The average daily migration flow intensity of each province to Shenzhen before the lockdown of Wuhan (top 6) 10萬人

2)武漢“封城”后：使用2020-01-24至2020-03-10各省市遷入遷出深圳人口流量強度日均值，單位流量強度為10 萬人，平均每日遷入深圳流量強度前6名見表2.

表2 武漢“封城”后各省平均每日遷徙 深圳流量強度(前6)Table 2 The average daily migration flow intensity of each province to Shenzhen after the lockdown of Wuhan (top 6) 10萬人

1.3 深圳疫情數(shù)據(jù)

根據(jù)深圳市政府數(shù)據(jù)開放平臺提供的詳細病例數(shù)據(jù)[11]，對深圳市疫情數(shù)據(jù)進行分析整合，以便后續(xù)模型的擬合與分析．假設(shè)深圳常住人口總數(shù)為2 500萬人，各類病例統(tǒng)計情況如圖1．以下模型根據(jù)病例情況，使用輸入型病例的來深時間和感染型病例的染病時間，作為深圳新增感染人數(shù)的時間，可有效避免確診日期的滯后性．深圳市的新增病例中，82.9%為輸入型病例，感染病例中55.2%為家庭傳播，每組家庭傳播中病源平均傳染人數(shù)為1.7人[12]．以2020-01-23為分界點，此時間前后的病例自染病至入院的平均時間分別為6.5 d和4.2 d；由百度遷徙大數(shù)據(jù)可得，分界點時間前后深圳市平均城市內(nèi)部人口流動規(guī)模強度分別為5.0和0.8．

圖1 深圳每日病例情況統(tǒng)計Fig.1 Statistics of daily cases in Shenzhen

2 模型與方法

2.1 考慮輸入型病例的 SIQR 模型

鑒于新冠肺炎患者在潛伏期和發(fā)病期同樣具有傳染性，而隔離后的患者傳染性幾乎為0，因此，本研究將全部感染病例劃分為感染者I和隔離者Q．感染者為染病后具有傳染性的患者(無論是否已經(jīng)發(fā)病)，隔離者為發(fā)病就診后已經(jīng)被隔離的患者和已經(jīng)被提前隔離的潛伏期患者．除感染病例外，未被感染但存在被傳染可能性的為易感者S．感染后康復且不會再被感染的人群為康復者R．模型中新加入因人口流動所帶來的輸入型患者，這部分患者被包括在每日新增感染者人數(shù)中．模型內(nèi)部人群轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖2．

圖2 模型內(nèi)部人群轉(zhuǎn)化關(guān)系示意圖Fig.2 Population transformation diagram in the model

設(shè)第t日深圳市內(nèi)部人口總數(shù)為N(t)，

N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)+In(t)-Out(t)

其中，S(t)、I(t)、Q(t)及R(t)分別為第t日對應(yīng)的易感者、感染者、隔離者及康復者人數(shù)； In(t)和Out(t)為第t日遷入和遷出深圳的總?cè)藬?shù)．

SIQR模型方程組構(gòu)建如下

其中，M為每日每個感染者的傳染人數(shù)；α為感染者每日隔離率；γ為隔離者的每日康復率；δ為輸入人口管控力度； InS和InI分別為每日輸入易感者和感染者； OutS和OutI分別為每日輸出易感者和感染者；Ii(t-1)為第t-1天i地區(qū)(省市)的感染者總數(shù)；Ni為i地區(qū)的人口總數(shù)；Fi,in和Fi,out為i地區(qū)每日遷入和遷出深圳人數(shù)．

對以上模型中的M， 有

M=(k2cβ+l)e-f

(4)

其中，k為城市內(nèi)部人口流動規(guī)模；c為城市內(nèi)部單位流動人口規(guī)模下，每人在單位出行頻率下的有效密切接觸人數(shù)；β為密切接觸傳染率；f為個人防疫力度；l為因家庭內(nèi)部接觸而造成的平均每日感染家庭成員數(shù)，由1.3節(jié)中數(shù)據(jù)可知l≈0.3． 考慮到每人每日的出行頻率與城市內(nèi)部人口流動規(guī)模有關(guān)，因此，每人每日密切接觸人數(shù)為k2c． 對于密切接觸者，其被感染的概率為βe-f．

2.2 深圳疫情仿真

根據(jù)深圳市人口流動數(shù)據(jù)及相關(guān)防控政策出臺時間，本研究將深圳市疫情發(fā)展分為2個階段：① 2020-01-10至2020-01-23的武漢“封城”前階段，深圳市的人口輸入指數(shù)、人口輸出指數(shù)、城市內(nèi)部人口流動規(guī)模及防疫力度等都處于無防疫措施時的正常水平；② 2020-01-24開始的武漢“封城”后階段，深圳市的輸入和輸出人口指數(shù)明顯下降，來自武漢地區(qū)的人員大幅減少，對入境人群的防疫篩查加大力度，城市內(nèi)部人口流動較平時有大幅降低，城市內(nèi)部人群有較高的防疫水平．

SIQR模型對參數(shù)的敏感性較高，除β為差別較小的參數(shù)外，其余參數(shù)在不同時間點和不同地區(qū)取值不同．因此，本研究使用基于蒙特卡洛方法的網(wǎng)格搜索算法，對深圳市不同防疫階段進行最適參數(shù)的數(shù)值求解，從而得到防疫措施對模型參數(shù)的影響．武漢“封城”前后深圳市各階段參數(shù)對比見表3．其中，參數(shù)δ、f及c由擬合得出；k由百度遷徙大數(shù)據(jù)獲??；α取深圳病例自發(fā)病至入院平均時間的倒數(shù)．

表3 深圳各階段參數(shù)對比Table 3 Comparison of parameters in different stages of Shenzhen

根據(jù)深圳市自2020-01-10起的累計實際感染者人數(shù)，進行模型擬合，結(jié)果如圖3．由于深圳市人口基數(shù)大，感染人數(shù)相對較少，結(jié)果中不再展示S、 Q及R人數(shù)，僅展示衡量城市管控措施最為關(guān)鍵的指標——每日感染人數(shù)．在防疫前深圳市的每日新增感染者人數(shù)持近似指數(shù)型上升，且新增感染者中80%左右都是輸入型病例．在武漢“封城”后，由于深圳的輸入病例，尤其是來自湖北的輸入病例大幅減少，因此，每日新增感染者人數(shù)開始下降．且在深圳內(nèi)部由于人口流量管控及戴口罩等個人防疫措施的作用，傳染率始終保持較低水平．同時，政府的高效行動使感染者的隔離率進一步提升，從而有效避免疫情在城市內(nèi)部爆發(fā)．由圖3可知，擬合優(yōu)度R2=98.2%， 表明模型很好地模擬了深圳疫情的發(fā)展規(guī)律．

圖3 深圳市感染數(shù)擬合結(jié)果Fig.3 Fitting result of the number of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 (SARS-CoV-2) infected people in Shenzhen

3 分析與評估

基于深圳市疫情傳播模型，使用控制變量法對各項防控措施進行量化評估，以解釋其在疫情防控中所起到的真實作用．評估參數(shù)包括武漢“封城”時間T、δ、f及k． 為了便于比較，根據(jù)各參數(shù)有效范圍對各項防疫措施進行打分，無防疫措施時為0分，最佳理想防疫狀態(tài)下為100分．

3.1 武漢“封城”時間

武漢“封城”時間與輸入人口管控都直接影響深圳的外來輸入型病例．武漢“封城”時間是2020-01-23，即為自2020-01-10起的第13 d，模擬假設(shè)T分別為18、23及28 d，并在深圳其他防疫措施不變的情況下估計疫情發(fā)展，結(jié)果見圖4．

圖4 自2020-01-10起武漢“封城”時間對深圳疫情影響Fig.4 Effect of Wuhan lockdown time on Shenzhen epidemic since January 10th, 2020

由圖4可見，若武漢“封城”時間為自2020-01-10起的第18 d，深圳的染病人數(shù)將從419人增加至1 895 人；而若為28 d后，深圳的染病人數(shù)會大幅提高至28 698人，是當前防疫措施下染病人數(shù)的69.5倍．一旦處置不當便可能面臨疫情失控的風險．中國政府所采取的“封城”時間點，從經(jīng)濟和人民生產(chǎn)生活的角度分析較為理想，及時避免了疫情在其他地區(qū)的爆發(fā)．

3.2 輸入人口管控

武漢進行“封城”之后，來自疫情發(fā)源地的威脅大幅減少，但由于疫情已出現(xiàn)擴散態(tài)勢，作為疫情輸入地的其他地區(qū)仍不能懈怠，需對地區(qū)的輸入人口進行大力度的監(jiān)察和管控．假設(shè)深圳自2020-01-23起全面對外管控，規(guī)定輸入人口管控力度得分為100δ/2.5， 比較得分分別為0、20、40及80分時的感染人數(shù)，模型估計結(jié)果如圖5．

圖5 輸入人口管控力度對深圳疫情影響Fig.5 Effect of input population control strength on Shenzhen epidemic

由圖5可見，雖然自2020-01-23起武漢已經(jīng)進行“封城”，但若深圳的管控就此松懈，當δ=0時，深圳的染病人數(shù)依然會大幅提升至2 147人；當輸入人口管控力度減少至20分時，染病人數(shù)為950人；當輸入人口管控力度減少至40分時，染病人數(shù)為571人．因此，武漢“封城”后深圳的管控措施在很大程度上減弱了外來病例輸入，輸入人口的管控力度效果已近乎達到理想情況，深圳市政府很好地完成了作為疫情輸入地區(qū)的輸入性病例防控．

3.3 個人防疫力度與城市內(nèi)部人口流動管控

當已有染病患者進入城市，患者會在城市內(nèi)部傳播疫情．因此，在深圳市具有較好對外防控基礎(chǔ)上，也需要分析比較不同內(nèi)部管控對疫情的影響．城市內(nèi)部個人防疫力度f代表市民因戴口罩及保持社交距離等個人措施，使因密切接觸而導致傳染概率的降低程度；城市內(nèi)部人口流動管控k代表市民因減少外出及保持居家隔離等措施所導致有效密切接觸次數(shù)的減少程度．規(guī)定個人防護力度得分計算方式為100f/2.5． 根據(jù)百度遷徙大數(shù)據(jù)，深圳市正常情況下的k=5， 防疫狀態(tài)下k減小至0.8．規(guī)定城市內(nèi)部人口流動管控得分為100(5-k)/5． 由于這兩項防控措施相輔相成，同時分析當f=0、 20、 60及100和k=0、 40及84時的疫情傳播情況，結(jié)果如圖6．

由圖6可見，若深圳人口流動管控和個人防疫力度同時為0時，將會出現(xiàn)疫情大爆發(fā)，感染人數(shù)將暴增至1 346萬人．當放松人口流動管控至40分時，若個人防疫力度為60分，感染人數(shù)會增加到955人；若個人防疫力度為20分，感染人數(shù)會增加到468萬人．因此，當個人防護資源不充足、難以保證個人防疫力度時，城市人口流動管控可以大幅度有效降低疫情風險．當個人防護力度足夠大時，足以有效控制疫情，此時可以適當放松人口流動管控，以滿足人民生產(chǎn)生活需要．

圖6 不同個人防疫力度下，不同城市內(nèi)部人口流動規(guī)模對疫情的影響Fig.6 The effect of population flow scale in city on epidemic situation under different individual epidemic prevention efforts

3.4 深圳防疫措施與其他國家對比

選擇疫情發(fā)展特點明顯的國家與深圳的疫情發(fā)展情況比較，以當?shù)氐囊咔槌跏紙蟾鏁r間為起點(意大利：2020-01-31；美國：2020-02-01；新加坡：2020-01-27；深圳：2020-01-10)，將感染人數(shù)改為以感染人數(shù)占該地區(qū)總?cè)藬?shù)百分比的形式表示，結(jié)果如圖7．同時，根據(jù)各地區(qū)對應(yīng)的模型參數(shù)進行各項防控措施打分，結(jié)果見表4．

意大利疫情發(fā)展的特點是在疫情初期幾乎完全沒有對外防控措施，但隨著疫情爆發(fā)，國家內(nèi)部及時“封城”并大力防疫管控，此后疫情增長有所放緩．新加坡疫情恰好相反，在疫情初期一直有著較為嚴格的輸入人口管控，但城市內(nèi)部的防疫力度不強，雖然初期保持相對較低的感染率，但隨著時間推進，逐漸出現(xiàn)疫情爆發(fā)．美國的輸入人口管控和城市內(nèi)部防疫力度在3地中相對比較均衡，但管控和防疫力度仍在較低水平，前期的輸入病例導致感染人數(shù)快速上升，在沒有完善的內(nèi)部防疫措施下，美國很快成為新的疫情震中．對比之下，深圳在綜合打分上高于以上3個國家，具有全方位、力度大的疫情防控措施，這些措施有效避免了疫情在深圳的爆發(fā)．

圖7 深圳疫情發(fā)展與其他國家對比Fig.7 Comparison of epidemic development in Shenzhen with that in other countries

表4 深圳與其他國家防疫措施打分
Table 4 Comparison of the scores of epidemic prevention measures between Shenzhen and other countries

輸入人口管控力度得分個人防疫力度得分城市內(nèi)部人口流動管控得分深 圳809284意大利105080美 國404525新加坡853530

結(jié) 語

本研究基于新型冠狀病毒肺炎輸入型病例地區(qū)特點，建立考慮輸入型病例的 SIQR 傳播動力學模型對深圳市的疫情發(fā)展進行模擬，使用基于蒙特卡洛方法的網(wǎng)格搜索算法對疫情不同階段的參數(shù)進行擬合，并對各項防控措施進行量化評估，以解釋其在疫情防控中所起到的實際作用．分析結(jié)果如下：

1)在保持其他防疫措施不變的情況下，若武漢“封城”時間再推遲15 d，深圳的染病人數(shù)會大幅提高至28 698人，是當前防疫措施下染病人數(shù)的69.5倍．考慮到當時處于春運期間，綜合經(jīng)濟發(fā)展和人民生產(chǎn)生活，武漢“封城”時間點較為理想．

2)在武漢“封城”后，深圳市政府對來自其他地區(qū)的輸入人口管控使深圳可能的染病人數(shù)下降80%，很好地完成了作為疫情輸入地區(qū)的輸入性病例防控工作．

3)在城市內(nèi)部防控方面，若深圳人口流動管控和個人防疫力度同時為0分，將會出現(xiàn)疫情大爆發(fā)，感染人數(shù)將暴增至1 346萬人．當放松人口流動管控至40分時，若個人防疫力度為60分，感染人數(shù)會增加至955人；但若個人防疫力度為20分，感染人數(shù)會增加到468萬人．因此，在疫情期間適當放松人口流動管控時，應(yīng)時刻保持高水平的個人防疫力度，否則可能會出現(xiàn)新一輪的疫情爆發(fā)．

與意大利、美國及新加坡防疫情況的對比分析發(fā)現(xiàn)，在全球出現(xiàn)多個疫情震中的情況下，只有外部防控和內(nèi)部防控全面同時進行，才能有效抑制疫情的發(fā)展．