提高關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)質(zhì)量的研究

張雷洪，張志晟，樊麗萍

（上海理工大學(xué) 出版印刷及藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院，上海 200092）

引 言

關(guān)聯(lián)成像（GI），又稱鬼成像，它是利用量子糾纏特性或空間強(qiáng)度關(guān)聯(lián)獲取物體像[1]的一種新型成像方法。由Pittman等根據(jù)Klyshko提出的基于糾纏光子對(duì)的方案實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)成像實(shí)驗(yàn)后，催生了許多新研究[2-6]。與傳統(tǒng)成像不同，關(guān)聯(lián)成像是一種非局域成像方式[7-8]。關(guān)聯(lián)成像具有廣泛的應(yīng)用前景，例如移動(dòng)物體關(guān)聯(lián)成像、圖像加密等。近年來，許多學(xué)者提出了不同的用于改善圖像質(zhì)量和提高成像速度的重構(gòu)方法。其中，比較有代表性的是基于壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像?；趬嚎s感知關(guān)聯(lián)成像是利用壓縮感知可以在遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率下對(duì)信號(hào)采樣并以高質(zhì)量重構(gòu)圖像的特點(diǎn)與關(guān)聯(lián)成像結(jié)合，該方法的提出成功解決了關(guān)聯(lián)成像“成像時(shí)間久，復(fù)雜物體成像的局部清晰度不高”的問題[1]。偽逆關(guān)聯(lián)成像則是從優(yōu)化算法入手，通過求觀測矩陣的偽逆矩陣而不是轉(zhuǎn)置矩陣來進(jìn)行計(jì)算[9-10]，該方法不僅大大縮減了成像時(shí)間而且提高了重構(gòu)圖像的質(zhì)量。這兩種方法都是在關(guān)聯(lián)成像基礎(chǔ)上利用不同的目標(biāo)重構(gòu)算法達(dá)到減少成像時(shí)間、提高圖像質(zhì)量的目的，然而這兩種成像方法的成像效果卻存在差異。本文將以這兩種具有代表性的方法為例，進(jìn)行數(shù)值仿真，比較不同方法的關(guān)聯(lián)成像目標(biāo)重構(gòu)效果，同時(shí)使用形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)對(duì)關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行去除噪聲。

本文在壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像的基礎(chǔ)上，在不同的采樣次數(shù)下，對(duì)兩種圖像重構(gòu)方法所得出的圖像進(jìn)行對(duì)比，在兩種理論的基礎(chǔ)上，開展了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，再以峰值信噪比（PSNR）、相關(guān)系數(shù)（CC），作為量化指標(biāo)并進(jìn)行分析。同時(shí)展現(xiàn)了使用形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)對(duì)關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)結(jié)果去除噪聲的效果。本文對(duì)比了關(guān)聯(lián)成像兩種具有代表性的重構(gòu)方法，同時(shí)改進(jìn)了應(yīng)用于關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)結(jié)果的形態(tài)學(xué)自適應(yīng)濾波。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中，為進(jìn)一步提高關(guān)聯(lián)成像的還原精度提供了參考意義。

1 理論方法

1.1 關(guān)聯(lián)成像

圖1 關(guān)聯(lián)成像原理Fig. 1 Principle of ghost imaging

式中：Bn為桶探測器獲得的第n次測量的總光強(qiáng)；N為總的測量次數(shù)； 〈Bn〉 為N次測量的總光強(qiáng)平均值；hz(x,y) 為傳播一段距離z時(shí)的菲涅爾衍射函數(shù)；代表卷積運(yùn)算；Ein(x,y)為輸入光的振幅分布；TGI代表計(jì)算關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)圖像。

關(guān)聯(lián)成像作為一種統(tǒng)計(jì)算法，容易受到外界噪聲的干擾，且成像探測所需時(shí)間和關(guān)聯(lián)算法解析時(shí)間比較長，通常情況下成像清晰度不高。

從信號(hào)采集角度出發(fā)，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像利用信息的稀疏特性，以低于奈奎斯特采樣極限的速率獲取信息，即采樣速率可以低于信號(hào)帶寬的兩倍，而且能精確重構(gòu)信號(hào)[11]。壓縮感知關(guān)聯(lián)成像在不丟失逼近原信號(hào)所需信息的情況下，用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降維處理，通過優(yōu)化從少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)在采樣較少的情況下獲得較為清晰的圖片[12]，該過程表達(dá)式為

式中：TCS代表壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)圖像；||·||L1為范數(shù)；Ψ為稀疏表示。從優(yōu)化算法的角度出發(fā)，偽逆關(guān)聯(lián)成像用觀測矩陣的偽逆矩陣代替原有的轉(zhuǎn)置矩陣[9-10]，其重構(gòu)公式表示為

式中：φ為由M個(gè)散斑場排列而成，M×n2的觀測矩陣，φ-1為φ的偽逆矩陣，T為目標(biāo)物體的透射系數(shù)；代表偽逆關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)圖像。

通過理論分析可以看出，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像通過不同的方法實(shí)現(xiàn)減少成像時(shí)間、提高圖像質(zhì)量的目的。然而在信息傳輸過程中，信息將不可避免地受到噪聲的干擾。在優(yōu)化算法，增加抗干擾性的同時(shí)，也可使用不同的算法對(duì)重構(gòu)圖像進(jìn)行去噪。

1.2 形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)濾波

本文提出對(duì)重構(gòu)圖像使用形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去除噪聲，與文獻(xiàn)[13]不同，本文進(jìn)行數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)自適應(yīng)濾波時(shí)，將濾波后的重構(gòu)圖像與原圖的差異值作為權(quán)值，對(duì)4種形態(tài)學(xué)自適應(yīng)濾波進(jìn)行了加權(quán)，以尋求更好的效果。根據(jù)重構(gòu)圖像中噪聲的特點(diǎn)選用維數(shù)為2～5的線性結(jié)構(gòu)元素，將 4 個(gè)方向（+45°，-45°，0°，90°）的濾波器先按維數(shù)由小到大進(jìn)行串聯(lián)，再將串聯(lián)的濾波器進(jìn)行并聯(lián)，結(jié)合自適應(yīng)權(quán)值算法構(gòu)建復(fù)合濾波器，其公式為

2 數(shù)字仿真分析

本文選用 4幅 32×32的二值圖像，即“上”“?！薄袄怼薄肮ぁ弊鳛橹貥?gòu)目標(biāo)，開展數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)以對(duì)比壓縮感知關(guān)聯(lián)成像與偽逆關(guān)聯(lián)成像的成像效果。對(duì)“上”“?！薄袄怼薄肮ぁ睘槟繕?biāo)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2、圖3、圖4、圖5所示，其中，圖2為原圖像，圖3為關(guān)聯(lián)成像，圖4為偽逆關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果，圖5為基于壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果。圖3、圖4、圖5的采樣次數(shù)N都為3 000次。通過對(duì)比結(jié)果可以看出：在采樣次數(shù)都為3 000次的情況下，關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)圖像不清晰，存在較多的噪聲，僅能重構(gòu)大致輪廓，重構(gòu)效果不好；與關(guān)聯(lián)成像相比，偽逆關(guān)聯(lián)成像與壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的成像效果有較大的改善，大部分重構(gòu)圖像可以清晰重構(gòu)出原物體的像，但還是存在部分噪聲，兩者重構(gòu)圖像的輪廓也比較清晰；與關(guān)聯(lián)成像相比，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)效果有了更明顯的改善，上述現(xiàn)象說明基于壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果都較好，重構(gòu)圖像的噪聲得到了一定的抑制。

圖2 原圖Fig. 2 Original image

圖3 關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果Fig. 3 Reconstruction results of ghost imaging

圖4 偽逆關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果Fig. 4 Reconstruction results of pseudo-inverse ghost imaging

圖5 基于壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果Fig. 5 Reconstruction results based on compressed perceptual ghost imaging

本文選用灰度圖像“大象”作為重構(gòu)目標(biāo)，繼續(xù)開展數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比壓縮感知關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)圖像的去噪聲效果。為了更好地模擬實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文先對(duì)壓縮感知關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)后的圖像使用松柏噪聲，再對(duì)其去噪。對(duì)灰度圖像“大象”的仿真去噪聲結(jié)果如圖6所示。其中（a）為原圖，（b）為壓縮感知關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)圖，（c）為加噪聲圖，（d）為形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去噪聲圖，（e）為形態(tài)學(xué)串聯(lián)去噪。通過對(duì)比可以看出，單純的形態(tài)學(xué)串聯(lián)去除噪聲算法可以去除部分噪聲，但會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)的失真，使用形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去噪，雖然仍有噪聲，但是通過調(diào)節(jié)權(quán)值可減少去除噪聲時(shí)對(duì)目標(biāo)圖像的影響。

3 仿真數(shù)據(jù)分析

為了進(jìn)一步分析偽逆關(guān)聯(lián)成像和壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的效果，我們以峰值信噪比（PSNR）、相關(guān)系數(shù)（CC）作為量化指標(biāo)，分別對(duì)偽逆關(guān)聯(lián)成像和壓縮感知關(guān)聯(lián)在不同采樣次數(shù)下得出的重構(gòu)圖像進(jìn)行分析[14-16]。

3.1 峰值信噪比

峰值信噪比常用dB來表示，用于圖像處理中對(duì)圖像進(jìn)行客觀的評(píng)價(jià)，PSNR也是衡量圖像失真或是噪聲水平的客觀標(biāo)準(zhǔn)之一。峰值信噪比的定義為

式中MSE表示原始圖像與重構(gòu)圖像的均方差。

對(duì)比結(jié)果如圖 7所示，其中（a）、（b）、（c）、（d）分別對(duì)應(yīng)圖3、圖4、圖5中的重構(gòu)目標(biāo)。從圖可知，在測量次數(shù)較低64～1 024次時(shí)，散斑場的隨機(jī)性比較大，關(guān)聯(lián)成像在測量次數(shù)增加的情況下，其PSNR值會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)；在測量次數(shù)達(dá)到1 024～3 000次時(shí)，PSNR值較為穩(wěn)定，在測量次數(shù)增加的情況下，三種方法的PSNR值上升趨勢(shì)明顯。

圖6 數(shù)字仿真—形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去噪聲效果Fig. 6 Digital simulation - morphological weight adaptive noise removal Effect

圖7 峰值信噪比分析Fig. 7 PSNR analysis

由圖7可以觀察到：整體上壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像的PSNR隨著測量次數(shù)N的增大而增大；偽逆關(guān)聯(lián)成像的PSNR高于壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和關(guān)聯(lián)成像的PSNR；在采樣次數(shù)較低的區(qū)域，偽逆關(guān)聯(lián)成像的效果較好，但隨著采樣次數(shù)的增加，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的PSNR值提升的幅度較大，在采樣次數(shù)增加相同次數(shù)的情況下，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的PSNR值與偽逆關(guān)聯(lián)成像的PSNR值相比，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的PSNR值更高。該數(shù)據(jù)結(jié)果與圖3、圖4、圖5所示的視覺效果是一致的。

數(shù)據(jù)表明壓縮感知關(guān)聯(lián)成像和偽逆關(guān)聯(lián)成像在高采樣次數(shù)下比關(guān)聯(lián)成像的成像效果要好。同時(shí)也可進(jìn)一步說明壓縮感知關(guān)聯(lián)成像達(dá)到一定采樣次數(shù)的時(shí)候，優(yōu)化的結(jié)果會(huì)大幅提升，在此之前的成像效果并不佳。而偽逆關(guān)聯(lián)成像則因?yàn)閭文嫠惴ǖ膬?yōu)化，在低采樣次數(shù)下能有較好的成像效果，但在采樣次數(shù)較高的情況下，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像與偽逆關(guān)聯(lián)成像的成像效果并無明顯區(qū)別。

為進(jìn)一步比較壓縮感知關(guān)聯(lián)成像與偽逆關(guān)聯(lián)成像的成像效果，我們將用兩種方法重構(gòu)圖像，并分析兩者與原圖的相似程度。

3.2 相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)（CC）反映兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系，即表明原圖與重構(gòu)圖像之間相似的程度，相關(guān)系數(shù)（CC）的計(jì)算公式為

圖8 相關(guān)系數(shù)分析Fig. 8 CC analysis

式中：x,y分別為圖像中相鄰2個(gè)像素點(diǎn)的像素值；cov代表x與y之間的協(xié)方差。通過圖8可以看出：對(duì)于“上”、“?！薄ⅰ袄怼?、“工”這四個(gè)目標(biāo)，采樣次數(shù)較低時(shí)，偽逆關(guān)聯(lián)成像與壓縮感知關(guān)聯(lián)成像相關(guān)系數(shù)都不高，表明與原圖相差較大，且在采樣次數(shù)較低的情況下，偽逆關(guān)聯(lián)成像可以在較低的采樣次數(shù)下重構(gòu)出接近原圖的輪廓；在采樣次數(shù)提高的情況下，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像與偽逆關(guān)聯(lián)成像相比，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像提高的幅度更大，并且最后結(jié)果表明，隨著采樣次數(shù)增加，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像比偽逆關(guān)聯(lián)成像更好，壓縮感知關(guān)聯(lián)成像的重構(gòu)結(jié)果十分接近原圖；再次證明在高采樣區(qū)域壓縮感知關(guān)聯(lián)成像也擁有十分好的成像效果，并不亞于偽逆關(guān)聯(lián)成像。

4 實(shí) 驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)為關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)圖像去除噪聲的實(shí)驗(yàn)，對(duì)壓縮感知關(guān)聯(lián)成像實(shí)驗(yàn)重構(gòu)的圖像采用數(shù)字仿真的方式使用形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去除噪聲。壓縮感知關(guān)聯(lián)成像實(shí)驗(yàn)裝置為：激光二極管作為照明光源，使用的伸縮式鏡頭型號(hào)為尼康A(chǔ)F-S DX 55-200 mm f/4-5.6 G ED（68 mm*79 mm）。使用供應(yīng)灰點(diǎn)POINTGREY原裝進(jìn)口的BFLYPGE-50H5M實(shí)驗(yàn)相機(jī)（29*29*30 mm），采集卡為M2i.2030-exp，采用DMD空間光調(diào)制器，成像的目標(biāo)物體是圖像“字母M”。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9（b）所示，通過圖9（b），可以發(fā)現(xiàn)：因?yàn)樵O(shè)備組件、實(shí)驗(yàn)環(huán)境等原因，在關(guān)聯(lián)成像的過程中會(huì)產(chǎn)生噪聲。對(duì)重構(gòu)圖像使用形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去除噪聲的效果如圖9（c）所示。通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)可以有效去除關(guān)聯(lián)成像實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的噪聲。

5 結(jié) 論

圖9 形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)去除噪聲實(shí)際效果Fig. 9 Morphological weight adaptive noise removal experiment effect

本研究對(duì)比了關(guān)聯(lián)成像、偽逆關(guān)聯(lián)成像和壓縮感知關(guān)聯(lián)成像三種重構(gòu)方法，通過開展詳細(xì)理論分析、數(shù)字仿真以及實(shí)驗(yàn)來比較關(guān)聯(lián)成像重構(gòu)圖像的效果。通過數(shù)字仿真，分別利用關(guān)聯(lián)成像、偽逆關(guān)聯(lián)成像和壓縮感知關(guān)聯(lián)成像對(duì)四個(gè)重構(gòu)目標(biāo)進(jìn)行重構(gòu)，通過對(duì)重構(gòu)圖像的視覺效果、峰值信噪比曲線圖及相關(guān)系數(shù)曲線圖分別對(duì)三種方法進(jìn)行對(duì)比分析。仿真結(jié)果顯示壓縮感知關(guān)聯(lián)成像在視覺上、峰值信噪比、相關(guān)系數(shù)上要優(yōu)于關(guān)聯(lián)成像。通過數(shù)字仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明形態(tài)學(xué)權(quán)重自適應(yīng)可以有效去除關(guān)聯(lián)成像實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的噪聲。