納米流體在伸/縮楔體上的MHD流動(dòng)數(shù)值研究

許曉勤，陳淑梅,林紹義

(1.福建船政交通職業(yè)學(xué)院 汽車運(yùn)用工程系，福州 350007；2.福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116)

1 引 言

由于導(dǎo)熱系數(shù)低，傳統(tǒng)的傳熱流體如水、乙二醇和機(jī)油等傳熱性能一般，而金屬的導(dǎo)熱系數(shù)是這些流體的三倍[1]。Choi等[2]首次提出納米流體的概念，即由尺寸小于100 nm的固體顆粒(通常由金屬或金屬氧化物制成)分散在基液中形成，研究發(fā)現(xiàn)，將體積分?jǐn)?shù)為1%的納米顆粒添加到常規(guī)流體中，會(huì)使流體的熱導(dǎo)率增加約兩倍。引起納米流體熱導(dǎo)率異常增大的因素很多，Buongiorno[3]經(jīng)過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，在層流情況下，布朗擴(kuò)散和熱泳是納米顆粒/基液滑移機(jī)制中兩種最重要的影響因素；之后，結(jié)合布朗擴(kuò)散和熱泳的影響，建立了納米流體輸運(yùn)現(xiàn)象的通用兩組分非均質(zhì)平衡模型。納米流體在許多工業(yè)領(lǐng)域、核反應(yīng)堆、運(yùn)輸、電子、生物醫(yī)學(xué)和食品中都得到廣泛應(yīng)用。

磁性納米流體是含有基液和磁性納米顆粒的磁性膠體懸浮液，磁流體(MHD)磁場(chǎng)參數(shù)是控制冷卻速度和產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵參數(shù)之一[4]。在實(shí)際應(yīng)用中，納米顆粒由于粒度小，表面原子比例、比表面積及表面能大，處于能量不穩(wěn)定狀態(tài)[5]，極易產(chǎn)生凝并和團(tuán)聚現(xiàn)象，形成二次粒子，粒徑變大，使納米顆粒原有特性減弱或失去，因此需要在制備和保存中防止粒子團(tuán)聚。目前，磁性納米流體常見的制備方法主要有化學(xué)共沉淀法、溶膠-凝膠法、水熱法、 熱分解法和微乳液法等[6]。對(duì)納米顆粒進(jìn)行表面改性也是避免納米顆粒在儲(chǔ)存以及使用過程中發(fā)生團(tuán)聚現(xiàn)象非常有效的方法之一[7]。

在拉伸/收縮表面上的流體流動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于聚合物工藝、薄膜/片材的冷卻或加熱、輸送帶、圓筒或金屬板加工等場(chǎng)合。作為流體動(dòng)力學(xué)和傳熱領(lǐng)域的一個(gè)重要部分，繞楔流動(dòng)受到眾多學(xué)者的關(guān)注[8]。Falkner等[9]首次分析了繞楔穩(wěn)態(tài)層流現(xiàn)象，提出了著名的Falkner-Skan方程來描述楔體上的流動(dòng)。Hartree[10]隨后給出了傳統(tǒng)楔形問題的數(shù)值迭代求解方案，提高了求解的精度。Postelnicu等[11]研究了冪律流體在變自由流下通過可滲透拉伸楔體的二維穩(wěn)態(tài)層流邊界層流動(dòng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)楔體運(yùn)動(dòng)方向與自由流方向相反時(shí)存在雙解，并證明了下支解(第二個(gè)解)是不穩(wěn)定的，而上支解(第一個(gè)解)是穩(wěn)定的。Salem等[1]探討了在磁場(chǎng)和粘性耗散作用下，銅-水納米流體在可滲透楔體表面的流動(dòng)和傳熱現(xiàn)象；發(fā)現(xiàn)當(dāng)速度比參數(shù)λ為某些負(fù)值時(shí)，速度場(chǎng)和溫度分布存在雙重相似解。

本文旨在研究納米流體在拉伸/收縮楔體上的磁流體流動(dòng)與傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象。在將控制偏微分方程簡(jiǎn)化為一組常微分方程后，利用打靶法得到數(shù)值解。詳細(xì)討論了各控制參數(shù)對(duì)無量綱速度、溫度、濃度、表面摩擦系數(shù)、局部Nusselt數(shù)和局部Sherwood數(shù)的影響。

2 數(shù)學(xué)模型

考慮納米流體通過拉伸/收縮楔體的穩(wěn)態(tài)二維磁流體流動(dòng)問題，坐標(biāo)系如圖1所示。x軸與楔體表面的流體流動(dòng)方向平行，y軸與楔體垂直。楔體的傾斜角Ω=βπ,其中β是Hartree壓力梯度參數(shù)；自由流的速度ue(x)=U∞xm，其中m和U∞是常數(shù)且為正；拉伸/收縮楔體速度uw(x)=Uwxm，拉伸時(shí)Uw>0，收縮時(shí)Uw<0。沿y方向施加可變磁場(chǎng)強(qiáng)度B(x)=B0x(m -1)/2，其中B0為常數(shù)。注意0≤m≤1，m=0時(shí)成為固定平板上的邊界層流動(dòng)即Blasius問題，m=1時(shí)成為無限長壁面上的駐點(diǎn)流問題。

為便于求解分析，忽略影響較小的因素，作如下假設(shè),(1) 納米流體為牛頓不可壓縮流體； (2) 納米顆粒具有統(tǒng)一的形狀和尺寸； (3) 納米流體為懸浮穩(wěn)定和化學(xué)穩(wěn)定流體； (4) 納米流體基液和顆粒之間處于熱平衡狀態(tài)，且無相對(duì)滑移； (5) 感應(yīng)磁場(chǎng)與所施加的磁場(chǎng)相比較小，可忽略； (6) 楔體表面均勻，僅沿x方向拉伸或收縮，無其他變形。

基于上述假設(shè)，在Navier-Stokes方程的基礎(chǔ)上，納米流體繞楔體流動(dòng)動(dòng)量方程采用Falkner-Skan方程，能量及濃度方程采用Buongiorno模型，建立控制方程如下。

圖1 物理模型和坐標(biāo)系

Fig.1 Physical model and coordinate system

(1)

(2)

(3)

(4)

邊界條件如下。

y=0∶u=uw(x),v=vw,T=Tw

(5)

y→∞∶u=ue(x),T=T∞，C=C∞

(6)

式中u和v分別是沿著x軸和y軸方向的速度分量；T和C分別是納米流體溫度和納米顆粒濃度；υ是運(yùn)動(dòng)粘度；ρ是流體密度；σ是電導(dǎo)率；α是熱擴(kuò)散率；τ=(ρc)p/(ρc)f是納米顆粒的熱容與基液的熱容之比；DB和DT分別是布朗擴(kuò)散系數(shù)和熱泳擴(kuò)散系數(shù)；Tw和Cw分別是楔體表面溫度和納米顆粒濃度；T∞和C∞分別是環(huán)境溫度和納米顆粒濃度；vw是質(zhì)量流速，抽吸時(shí)vw<0，噴注時(shí)vw>0，而vw=0表示表面不可滲透。

引入相似變量：

(7)

式中Ψ(x,y)是流函數(shù)。

方程(1～4)簡(jiǎn)化為

f?+ff″+β(1-f′2)+M2(1-f′)=0

(8)

(9)

(10)

邊界條件(5，6)轉(zhuǎn)化為

(11)

(12)

(13)

局部表面摩擦系數(shù)Cf x、局部Nusselt數(shù)Nux和局部Sherwood數(shù)Shx表達(dá)式如下。

(14)

式中 Rex=uex/υ為局部Reynold數(shù)。

3 數(shù)值方法

常微分方程(8～10)及邊界條件(11,12)構(gòu)成了兩點(diǎn)邊值問題，可采用打靶法結(jié)合四階五常龍格庫塔迭代方案進(jìn)行數(shù)值求解。為了驗(yàn)證該數(shù)值迭代方法的準(zhǔn)確性，當(dāng)β=1,s=M=0時(shí),求解λ取不同值時(shí)的f″(0)，發(fā)現(xiàn)與其他文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，結(jié)果列入表1。

4 結(jié)果討論

表1 λ取不同值時(shí)f ″(0)與文獻(xiàn)結(jié)果的比較(β=1，s =M=0)Tab.1 Comparison of f ″(0) for various values of λ with references when β=1, s =M=0

圖3描述了不同參數(shù)(λ,β和M)對(duì)速度輪廓的影響(Nt=Nb=0.5，Pr=Le=s=1)，考慮了拉伸(λ>0)和收縮(λ<0)兩種情況?？梢钥闯觯诶烨闆r下解是唯一的(只有第一個(gè)解)，而在收縮情況下存在雙解(有第一個(gè)解和第二個(gè)解)，與 圖2 結(jié)果相符。而且，第一個(gè)解的邊界層厚度比第二個(gè)解的邊界層厚度薄，即能更快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。所有曲線均滿足無窮遠(yuǎn)處邊界條件(f′(∞)=1)，進(jìn)一步驗(yàn)證了數(shù)值仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖3 不同參數(shù)(λ,β和M)對(duì)速度輪廓的影響

Fig.3 Effects of different parameters (λ,βandM) on the velocity profiles

可以看出，三個(gè)參數(shù)(λ,β和M)對(duì)速度輪廓的影響類似，在第一個(gè)解中，速度隨任何一個(gè)參數(shù)的增大而增大，而在第二個(gè)解中情況恰好相反，這與Awaludin等[12]給出的結(jié)果相符。三個(gè)參數(shù)對(duì)第二個(gè)解的影響明顯大于對(duì)第一個(gè)解的影響；拉伸情況下β和M對(duì)速度的影響較小，如圖3(b，c)所示。

不同參數(shù)(λ,β,M,Nt,Nb和Le)對(duì)溫度分布的影響如圖4所示。對(duì)于每個(gè)特定的參數(shù)，拉伸情況下的溫度均比收縮情況下低，且受β和M影響不大。另外，在收縮情況下，第一個(gè)解更快接近無窮遠(yuǎn)處的邊界條件(θ(∞)=0)，即第一個(gè)解的邊界層厚度小于第二個(gè)解，顯示出第一個(gè)解的穩(wěn)定特性。參數(shù)(λ,β和M)對(duì)溫度的影響類似，且變化趨勢(shì)與速度正好相反，如圖4(a～c)所示。即在第一個(gè)解中，溫度隨參數(shù)(λ,β和M)的增大而減??；在第二個(gè)解中，溫度隨參數(shù)(λ,β和M)的增大而增大。

參數(shù)(Nt,Nb和Le)對(duì)溫度分布的影響如圖4(d～f)所示。從圖4(d，f)可以看出，對(duì)于任何一個(gè)解，溫度及其邊界層厚度均隨Nt或Le的增大而增大。而布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)Nb對(duì)溫度分布幾乎沒有影響(如圖4(e)所示，放大圖曲線顯示的誤差屬于數(shù)值迭代誤差)。與文獻(xiàn)[18]的結(jié)果一致。

參數(shù)λ,β和M對(duì)濃度分布的影響類似，如圖5(a～c)所示。與速度輪廓曲線類似，三個(gè)參數(shù)對(duì)第二個(gè)解的影響明顯大于第一個(gè)解；且拉伸情況下，參數(shù)β和M對(duì)濃度分布的影響很小。

參數(shù)Nt和Nb對(duì)濃度分布曲線的影響相反，而參數(shù)Le和Nb對(duì)濃度分布曲線的影響類似，如圖5(d～f)所示。

在楔體拉伸情況下，抽吸/噴注參數(shù)s和磁場(chǎng)參數(shù)M對(duì)表面摩擦系數(shù)、局部Nusselt數(shù)和局部Sherwood數(shù)的影響如圖6所示(β=0.1,Nb=Nt=λ=0.5,Pr=Le=1)。表面摩擦系數(shù)、局部Nusselt數(shù)和局部Sherwood數(shù)的絕對(duì)值均隨噴注強(qiáng)度的增大而減小，隨抽吸強(qiáng)度的增大而增大，即噴注增大了流速，降低了傳熱速率和濃度擴(kuò)散速率，而抽吸的效果與之相反，與圖2的結(jié)果一致。

圖4 不同參數(shù)(λ,β,M,Nt,Nb和Le)對(duì)溫度分布的影響

Fig.4 Effects of different parameters (λ,β,M,Nt,NbandLe) on the temperature distributions

圖5 不同參數(shù)(λ,β,M,Nt,Nb和Le)對(duì)濃度分布的影響

Fig.5 Effects of different parameters (λ,β,M,Nt,NbandLe) on the concentration distributions

圖6 表面摩擦系數(shù)、局部Nusselt數(shù)和Sherwood數(shù)與s的關(guān)系曲線

Fig.6 Plots of the skin friction coefficient,the local Nusselt number and the Sherwood number versuss

5 結(jié) 論

本文分析了納米流體在拉伸/收縮楔體上的磁流體流動(dòng)與傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象，考慮了抽吸/噴注參數(shù)的影響。采用打靶法進(jìn)行數(shù)值求解，得出各控制參數(shù)對(duì)流場(chǎng)、溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的影響規(guī)律，主要結(jié)論如下。

(1) 楔體在拉伸情況下只有唯一解，理論上不會(huì)出現(xiàn)邊界層分離現(xiàn)象。

(2) 楔體在一定的收縮強(qiáng)度范圍內(nèi)存在雙解， 意味著楔體收縮時(shí)層流邊界層在壁面處可能會(huì)出現(xiàn)分離；壁面抽吸可使邊界層分離推遲。

(3) 在楔體拉伸情況下，噴注增大了流速，降低了傳熱速率和濃度擴(kuò)散速率，而抽吸的效果相反。

(4) 磁場(chǎng)參數(shù)對(duì)表面摩擦系數(shù)的影響較大，對(duì)局部Nusselt數(shù)和局部Sherwood數(shù)的影響較小。

本文對(duì)于分析表面收縮引起的邊界層分離與控制方法，研究納米流體在楔體表面流動(dòng)時(shí)，各參數(shù)對(duì)速度輪廓、溫度分布和濃度分布的影響規(guī)律有一定的借鑒意義。