有關(guān)隱圓及一線三等角題型解題

中學(xué)的學(xué)習(xí)在同學(xué)們的學(xué)習(xí)生涯中是非常重要的階段,這個(gè)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要,為了提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率,本文就有關(guān)隱圓及一線三等角題型展開探討,希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供一定的幫助。

一、隱圓

幾何最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一,而隱圓問(wèn)題是常見(jiàn)的一類題型,此類題目常常出現(xiàn)在填空最后一題或壓軸最后一問(wèn),是作為難點(diǎn)拉開分值的問(wèn)題。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要重視這一問(wèn)題,要掌握這個(gè)模型的重點(diǎn)知識(shí)。

圖1

圖2

如圖1 所示,圓外一點(diǎn)P連接圓心與圓交于A,B兩點(diǎn),則P到圓上最近與最遠(yuǎn)的距離分別為PB和PA。如圖2 所示,CH垂直于AB時(shí),CH為圓上點(diǎn)到AB的最大距離。米勒最大張角問(wèn)題：如圖3 所示,點(diǎn)A,B為OM邊的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)C是ON邊上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)C在切點(diǎn)處時(shí),∠ACB最大。

圖3

(一)定點(diǎn)定長(zhǎng)

圖4

例1如圖4 所示,在四邊形OABC中,AB=OA=OB=OC,則∠ACB=____度。

圖5

分析：由題意可知A,B,C三點(diǎn)到O點(diǎn)的長(zhǎng)度相等,由此想到“定點(diǎn)定長(zhǎng)存隱圓”。那么A,B,C三點(diǎn)就在以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓上(如圖5所示),此時(shí)問(wèn)題就很容易解決了。

(二)定弦定角

圖6

例2如圖6 所示,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F是AB與BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),CE=BF,連接DE與CF相較于點(diǎn)P。連接BP,則BP的最小值是_____。

圖7

分析：根據(jù)題意不難判斷△ECD≌△FBC,可得CF垂直于DE。我們發(fā)現(xiàn)不論E、F兩點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng),∠CPD始終是直角,并且∠CPD所對(duì)的邊CD固定(如圖7所示)。

二、一線三等角

1.一線三等角的類型。

圖8

(1)同側(cè)型,如圖8所示。

(2)穿越型,如圖9所示。

圖9

2.一線三等角的應(yīng)用。

(1)主要有三種狀態(tài)：一是只有一線三等角的情況;二是先給出一線二等角,不用一等角;三是直線上只有一個(gè)角。

(2)建立一線三等角的步驟,首先是找角,其次是找線也就是定線,最后便是構(gòu)相似,如圖10所示。

圖10

圖11

例3如圖11所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D為AB上一點(diǎn),連接CD,P為CD上一點(diǎn),∠BPD=45°,若CP=6,△ACD的面積為18,則線段DB的長(zhǎng)為____。

分析：解答此題需要先從點(diǎn)A作AE⊥CD,然后在CE上取一點(diǎn)F,使∠AFE=45°(圖略),所以△AFC∽△CPB,由此得出在等腰Rt△AEF中,AE=3,根據(jù)S△ACD=18,可以推出CD=12,那么△BDP∽△CDB,得出BD2=PD·CD,最終求得