對于圓錐形號筒聲學(xué)輸出的研究

張睿智

摘 要

本文對圓錐形號筒輸出聲音的聲學(xué)屬性進行了理論與實驗的探究。通過對傳統(tǒng)假設(shè)進行分析，給出傳統(tǒng)假設(shè)的優(yōu)化，得到了較為接近實際的號筒傳聲模型。理論分析了圓錐形號筒的輸入聲音與輸出聲音在聲壓、頻率、波形上的關(guān)系。并且從實驗上探究了圓錐形號筒的形狀、大小、材質(zhì)，對于輸出聲音的聲壓的影響。

關(guān)鍵詞

圓錐形號筒;聲學(xué)輸出;接近實際的號筒傳聲模型

中圖分類號： TM46? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 10 . 10

0 前言

一個簡易的錐形或牛角形裝置可以優(yōu)化人聲向遠處收聽者的傳遞。人們利用該現(xiàn)象制作了各式各樣的號筒。而在生活中最常見的就是指數(shù)形、雙曲線形和錐形的號筒。

前人對號筒中聲音的傳播大都基于假設(shè)：傳播的聲波的波陣面按照截面的規(guī)律變化。該假設(shè)存在以下的不足：首先，沒有考慮過聲音可以“透過”號筒壁進行傳播，或被號筒壁吸收;其次，由于假設(shè)中的條件，后人在研究號筒時，大都假設(shè)號筒“無限長”，這也與實際情況不符。

本文將以圓錐形號筒為例，利用能量守恒定律，對傳統(tǒng)模型中的“忽視能量損失”的假設(shè)進行修正，并對“有限長”號筒內(nèi)外的聲學(xué)輸出進行探究。

1 緒論

我們先回顧一下傳統(tǒng)的號筒模型。由傳統(tǒng)假設(shè)，我們得到號筒內(nèi)的波動方程應(yīng)為：

S為號筒在x處的截面積，P為聲壓，而該圓錐形號筒的形狀，如圖1所示：

若用P=P（x）ejwt來表示輸入聲波，那么（1）式變?yōu)椋?/p>

其中，k為輸入聲波的波矢。

當(dāng)該號筒無限長時，在號筒內(nèi)的反射波不存在，故而，上方的微分方程，解得：

上述過程存在如下的問題：

（1）聲音在號筒內(nèi)的傳輸過程是有損耗的。

（2）現(xiàn)實生活中無限長的號筒是不存在的，號筒外的輸出聲波也要探究。

2 理論分析

2.1 號筒內(nèi)

首先，我們來解決問題1，當(dāng)聲波“撞擊”到號筒壁時，將會有三個去向：被反射、發(fā)生透射或者被吸收。雖然絕大部分的聲能會通過反射保留在號筒內(nèi)，但還有相當(dāng)?shù)穆暷芤驗橥干浠蛭斩鴵p失掉，如圖2所示：

這部分損失的聲能，我們假設(shè)與該截面處的側(cè)面積微元和聲強值成正比，比例系數(shù)我們設(shè)為α，并定義該系數(shù)為耗散系數(shù)（α<1）。于是，我們可以利用能量守恒定律，得到以下方程：

W0是初始的聲功率，I（x）是x處的聲強值。

聲強與聲壓的關(guān)系：

Pe為聲壓有效值，ρ0為空氣介質(zhì)密度，c0為聲速。由（4）與（5）我們得到：

忽略其波形失真（在后面會解釋原因），我們最終有：

其中P1（x）是x處的聲壓最值，P1（0）是喉部的聲壓最值。

（8）式是我們相對于傳統(tǒng)的理論所給出的修正，相對于傳統(tǒng)的（3）式，（8）式考慮到了材質(zhì)因素的影響。

現(xiàn)在我們來討論有關(guān)于號筒內(nèi)聲波的失真現(xiàn)象。由先前的推導(dǎo)過程我們發(fā)現(xiàn)P=P（x）ejwt中的時間項始終不受影響，故而對于號筒傳聲，是不存在頻率失真的，即號筒內(nèi)的輸入頻率與輸出頻率始終相同。但是號筒在傳聲過程中會存在諧波失真，原因主要有兩點：

（1）當(dāng)號筒口部的聲壓滿足人們要求時，其喉部聲壓級大到十分可觀。前腔中的空氣發(fā)生很大的壓縮（稠密）和膨脹（稀疏），這一過程十分迅速，以致空氣來不及進行熱交換。此時，空氣的壓縮和膨脹是一絕熱過程，前室中PV滿足：

PVγ=C（P為氣壓，C是常數(shù)）

P和V之間的關(guān)系如圖三，若聲源振幅較大時，在喉部形成的壓力波不再是正弦波。聲源向前振動（壓縮）時，前室壓強增大，并且大于聲源向后振動（膨脹）時的壓強降低，這種失真的壓力波由喉部向號筒口部傳播出去，便產(chǎn)生非線性失真。

（2）即使在喉部獲得一個不失真的正弦波，聲波在傳播中也會產(chǎn)生失真。究其原因是大振幅時壓力大的部分（壓縮區(qū)）傳播速度要比壓力小的部分（稀疏區(qū)）傳播速度大，從而造成波形失真（見圖 2），其中包括 2次諧波失真。由此可以估算由于空氣壓縮和膨脹的不對稱性而產(chǎn)生的2次諧波失真系數(shù)：D圓錐

上式中，D圓錐和D指數(shù)代表高度相同，兩端開口面積相同的號筒：γ是空氣的絕熱系數(shù)，約為1.4;P（0）是喉部聲壓，若對應(yīng)聲壓級為85dB，則聲壓為0.37Pa;L為號筒高度，設(shè)為1m;f為輸入頻率，設(shè)為1000Hz;P0是大氣壓，約為103kPa;聲速c0常溫下約為340m/s，由此估算得：D圓錐<5.74×10-3%

由此可見，對于圓錐形號筒，其非線性失真可以忽略不計。在下面的實驗部分我們會針對號筒內(nèi)頻率和波形的穩(wěn)定進行驗證。

（3）號筒外

其次，我們來解決問題2，在號筒外的聲波的波陣面屬于活塞輻射，喇叭口看為圓形活塞平面。

對于號筒外的聲波的傳導(dǎo)應(yīng)是三維的，但考慮到幾何的對稱性，我們將其降到二維（如圖四）其中，是到號筒端口中心的距離，θ是r與號筒軸線的夾角，d為號筒口部的半徑。對于遠聲場活塞輻射滿足：

條件：遠聲場（r>>d）。其中P1（L）是號筒口部的聲壓最值，由號筒內(nèi)的聲波的傳導(dǎo)決定，將號筒的高度L帶入（7）得。d為號筒口的半徑。J1（）表示1階貝塞爾函數(shù)。對于（r，θ）處存在聲壓的最大值P1（r， θ）。

通過P1（r，θ）柱坐標(biāo)系圖像，我們可以對（11）有更直觀的理解。（上圖五是P1（L）對應(yīng) 94.2dB，d=0.15m，K=18.5/m，時利用Matlab模擬的圖像）

3 實驗探究

（1）通過實驗說明，號筒傳導(dǎo)的聲波發(fā)生的頻率失真和諧波失真較少。實驗器材：鐵架臺，小型音響，2.60mm厚的PVC塑料材質(zhì)號筒（母線斜率a值為0.144，b為20.25mm，號筒高L為35cm），聲壓計。

方案：在號筒喉部放置小型音響作為聲源（號筒與音響不接觸），用鐵架臺進行固定，保證輸入聲波為500Hz正弦聲波，在號筒口部放置聲音示波器，觀察輸出聲波的波形;移去號筒，在同一位置處再次測量進行對比。

對比兩幅圖像，我們發(fā)現(xiàn)，聲音在號筒中傳播時的頻率失真和波形失真都較小，與理論相符合。

（2）驗證理論輸出壓強的函數(shù)形式。

號筒內(nèi)：方案：選擇形狀已知，材質(zhì)固定均勻的號筒，首先測出輸入的聲壓最值P1（0），再測量任意位置x處的聲壓，帶入式（6），得α。然后測量不同位置處的聲壓，將實驗值與理論值進行比較。

在實際實驗中我們用到的是：鐵架臺，小型音響，2.60mm厚的PVC塑料材質(zhì)號筒（母線a值為0.144，b為20.25mm），聲壓計。

經(jīng)測量x=0.3m時，當(dāng)輸入聲壓級的最大值為82.5dB時，輸出聲壓級為69.5dB（鑒于聲壓級滿足：Γ=201g■，實驗中我們使用的都是相對聲壓），故PVC塑料的α=0.044 ，故各處聲壓最大值滿足：

號筒外：方案：固定r，驗證P1與θ關(guān)系。固定θ，驗證P1與r關(guān)系。

在實際實驗中我們用到的是：鐵架臺，小型音響，2.60mm厚的PVC塑料材質(zhì)號筒（母線a值為0.144，b為20.25mm），聲壓計。其口部輸出聲壓級為94.2dB，號筒口半徑d為0.15m。

首先固定r為1.5m，驗證P1與θ關(guān)系。由輸入?yún)?shù)，我們得到理論函數(shù)：

理論值與實驗值相差較小，理論與實驗符合得較好。

其次固定θ=0，驗證P1與r關(guān)系。（控制其他參數(shù)不變）

我們得到：■=■

（3）驗證號筒形狀、大小、材質(zhì)對號筒內(nèi)外輸出聲壓的影響。

號筒內(nèi)：由（7）我們可以知道號筒內(nèi)的輸出聲壓與位置x、形狀（母線形式）、材質(zhì)都有關(guān)。由于與位置的關(guān)系在前面已經(jīng)證明，故而只要探究輸出聲壓與形狀和材質(zhì)的關(guān)系。

形狀：控制號筒材質(zhì)和高度不變，只改變其母線的函數(shù)（為方便起見，我們控制截距b不變，只改變斜率a），測量號筒端口處的輸出聲壓，將測量值與實驗值進行比較。

實驗器材：鐵架臺，小型音響，0.075mm厚的牛皮紙材質(zhì)號筒（高為30cm，b=1.5cm，a值為0.258、0.305、0.354、0.405、0.458、0.516、0.577），聲壓計。

a值為0.258的紙?zhí)柾?，高度L為0.3m，在輸入最大聲壓級為75.3dB時，口部聲壓級為50.2dB，故0.075mm牛皮紙的α=0.147 ，此時保持高度，輸入聲壓，號筒材質(zhì)不變，口部聲壓的最大值滿足：

理論值與實驗值相差較小理論與實驗符合得較好。

材質(zhì)：耗散系數(shù)與材料的隔聲性能和吸聲性能有關(guān)。隔聲性能越差，吸聲性能越好的材料，耗散系數(shù)越大。測量材質(zhì)不同的號筒的耗散系數(shù)，并進行定性的驗證。

號筒外：由（11）知，P1（r，θ）值與號筒口部輸出值P1（L）有關(guān)，與口部半徑d有關(guān)。

探究與P1（L）的關(guān)系：

我們知道P1（L）則與號筒的高度、形狀、材質(zhì)都有關(guān)，因此探究P1（L），便間接探究形狀、材質(zhì)對號筒外輸出聲壓的影響?？刂苧=1.5m，θ=0，d=0.15m，則有：

探究與d的關(guān)系?？刂苧=1.5m，θ=0，P1（L）對應(yīng)的聲壓級為70dBA，則有：

改變d，測量對應(yīng)P1（1.5，0），將實驗值與理論值進行比較。

理論值與實驗值相差較小，理論與實驗符合得較好。

4 結(jié)論

在號筒內(nèi)：

（1）輸出聲壓隨著截面到入口的距離（X）增大而減小（X受號筒高度L限制）。

（2）輸出聲壓隨著號筒母線的斜率（a）增大而減小。

（3）輸出聲壓隨著號筒材質(zhì)的耗散系數(shù)（α）增大而減小。

在號筒外：

（1）輸出聲壓隨著號筒外端口的輸出聲壓P1（L）增大而增大;（P1（L）由在號筒內(nèi)的傳播規(guī)律決定）

（2）輸出聲壓隨著號筒外端口半徑（d）增大而增大。

參考文獻

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