基于增量諧波平衡法的含時滯半主動懸架的動力學分析

屈文濤，郝宇軒，徐劍波，呂 曌

(西安石油大學，陜西 西安 710065)

0 引 言

車輛懸架作為車身與車輪間的傳力連接裝置，對乘坐的舒適性和行駛安全性有重要影響。半主動懸架能夠在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)阻尼，結構簡單，工作時幾乎不消耗車輛動力[1-2]，成為當前研究的熱點。雖然半主動懸架系統(tǒng)有較好的綜合控制效果，但系統(tǒng)內(nèi)時滯因素是始終存在且不可避免的，嚴重時會導致系統(tǒng)運動失去穩(wěn)定性。時滯因素主要包括：由傳導線和A/D、D/A轉換裝置產(chǎn)生的傳輸時滯、振動結構的阻尼時滯和控制器建立控制引起的計算時滯等[3]。因此半主動懸架動力學特性的深入研究有助于時滯控制技術的開發(fā)，合理有效地利用時滯帶來的影響。

當前針對半主動懸架動力學特性的研究已開展一定的研究工作，文獻[4]采用改進的平均法研究非線性懸架系統(tǒng)的解析解，并與數(shù)值積分結果進行對比分析。增量諧波平衡法(Incremental harmonic balance method，簡稱IHB法)最早由Lau等將增量法與諧波平衡法結合提出的一種半數(shù)值半解析方法，能以很高的精度研究非線性系統(tǒng)的振動分析[5]。蔡銘等[6]將增量諧波平衡法應用于求解多自由度機翼的顫振問題，為解決多自由度強非線性系統(tǒng)的自激振動提供新途徑。劉上等[7]應用增量諧波平衡法研究流量調(diào)節(jié)器系統(tǒng)在入口壓力擾動下的強迫振蕩問題，其結果與數(shù)值積分結果良好吻合。已有的研究表明增量諧波平衡法在處理非線性系統(tǒng)的優(yōu)勢，但應用在含時滯因素的懸架非線性系統(tǒng)的研究并沒有。汽車懸架系統(tǒng)作為復雜的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)時滯因素的疊加效應影響著系統(tǒng)的穩(wěn)定性，嚴重時會出現(xiàn)輪跳現(xiàn)象等懸架失穩(wěn)問題。將增量諧波平衡法應用于含時滯半主動懸架系統(tǒng)，一方面可以為求解懸架非線性系統(tǒng)的振動分析提供新的途徑，另一方面便于得到解的表達式，可靈活選擇控制參數(shù)同時保持高精度。

1 含時滯懸架系統(tǒng)模型

半主動懸架作為控制阻尼力可變的自反饋控制系統(tǒng)，控制策略采用天棚阻尼控制，但在實際系統(tǒng)控制中，由于信號采集傳輸?shù)娇刂茊卧治鎏幚磉M而作動器作出反應，時滯因素的疊加效應影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制效果。因此，考慮時滯因素和非線性阻尼因素，建立1/4車輛懸架系統(tǒng)的模型，如圖1所示，其中：zs和zu分別為簧載質量與非簧載質量的垂向位移，ms和mu分別為簧載質量與非簧載質量，k1、k2、k3分別為非線性懸架彈簧剛度的一次、二次、三次擬合系數(shù)，cs為基值阻尼系數(shù)，ck為可控阻尼減振器的阻尼系數(shù)，q為路面垂向激勵，q=sinωt，B為激勵幅值，ω為激勵頻率。

圖1 兩自由度含時滯懸架模型

根據(jù)達朗貝爾定理建立系統(tǒng)的運動微分方程：

(1)

實際反饋控制系統(tǒng)可變阻尼力的控制規(guī)律是：

(2)

令x=zs，y=zs-zu，將式(2)帶入式(1)后寫成矩陣形式：

(3)

2 增量諧波平衡過程

(4)

設X0和ω0表示某一時刻的解，則其臨近狀態(tài)可表示為增量形式：

X=X0+ΔX，ω=ω0+Δω

(5)

將式(5)代入式(4)，展開并省略其中高階小量得：

(6)

將精確解和增量解傅里葉級數(shù)展開：

(7)

=CsΔAj

(8)

令S=diag[CsCs]，A=[A1A2]T，ΔA=[ΔA1ΔA2]T，diag表示取對角線元素，Cs=[1 cosτcos 2τ… cos nτsinτsin 2τ… sin nτ]T，Cs=[1 cosτcos 2τ… cos nτsinτsin 2τ… sin nτ]T。應用伽遼金法(Galerkin)將增量方程式(6)左乘δ(ΔX)T，并對τ在[0,2π]上積分，得到以精確解X0和增量ΔX為未知量的方程組：

KmcΔA=R-RmcΔω

Kmc=ω02M+ω0C(1)+ω0C(2)+K(1)+

2K(21)+3K(31)

R=P(1)-[ω02M+ω0C(1)+ω0C(2)+K(1)+

K(21)+K(31)]A

(9)

其中：

Rmc=[2ω0M+C(1)+C(2)]A

3 數(shù)值驗證

為了驗證IBH法求解系統(tǒng)近似解析解的精確性，需要通過數(shù)值方法對動力學方程進行求解驗證。由于非線性方程組難以直接進行求解，因此利用龍格庫塔(Runge-Kutta)迭代計算求解方程(3)。通過MATLAB仿真計算得到圖2，路面激勵幅值B=0.025 m，激勵頻率ω=5.0 Hz。其中，實線部分是采用增諧波平衡法進行分析的仿真結果，虛線部分是四階龍格庫塔法處理的仿真結果。通過對比可看出兩種曲線的吻合較好，從而驗證了通過增量諧波平衡法得到的近似解析解具有良好的精度。

圖2 系統(tǒng)的位移響應對比

4 仿真過程

汽車行駛時影響舒適性的因素主要是由路面不平度引起的，其中舒適性是指駕駛員和乘員對汽車振動的適應程度。Smith[8]驗證了加速度均方根值作為舒適性評價參考的合理性，加速度均方根值越小說明舒適性越好，因此簧載質量的加速度均方根值大小能客觀地反應路面激勵對舒適性的影響程度。參考路面不平度狀況和人體對振動的敏感頻率范圍，仿真中路面激勵頻率為0～10 Hz，路面激勵幅值為0.01～0.10 m。

圖3 不同時滯因素下系統(tǒng)的加速度響應曲線

取B=0.070 m，ω=6 Hz，以時滯ε作為控制參數(shù)，作出不同時滯狀態(tài)下的系統(tǒng)的加速度響應曲線如圖3。時滯是影響舒適性的因素，時滯因素的改變不僅影響運動幅值也影響運動周期。不同時滯狀態(tài)時系統(tǒng)的加速度均方根值分別為：0.002 9、0.002 4、0.003 5，ε=0.25時系統(tǒng)的加速度均方根值最小。由圖4可看出，當懸架系統(tǒng)參數(shù)一定時，隨著時滯量的增大，系統(tǒng)運動幅值呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，系統(tǒng)保持穩(wěn)定作周期運動。因此，當時滯ε=0.25時系統(tǒng)的加速度均方根值和幅值最小，懸架有更好的衰減振動的能力和舒適性。

圖4 不同時滯因素下系統(tǒng)的幅值響應曲線

圖5 不同時滯因素下系統(tǒng)的相平面圖

懸架系統(tǒng)存在的時滯因素也會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可通過相平面法分析其對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[9]。圖5(a)、(b)為不同時滯狀態(tài)下系統(tǒng)的相平面圖。通過對無時滯和有時滯狀態(tài)下幅值影響曲線對比，不考慮時滯因素，系統(tǒng)處于周期運動，但考慮時滯因素的影響后，小時滯范圍內(nèi)系統(tǒng)是擬周期運動的。圖5(a)可知ε=0.55時系統(tǒng)運動確實呈擬周期性，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。但在超出一定范圍后，由5(b)可看出當ε=0.95時系統(tǒng)遠離穩(wěn)定區(qū)域處于雜亂無章且無規(guī)則的混沌運動，不穩(wěn)定的運動狀態(tài)會使得車身處于高頻變化的垂向運動行為，進而影響汽車的舒適性乃至對行駛安全造成威脅。

5 結 論

考慮時滯和非線性阻尼因素，建立了二自由度含時滯半主動懸架的動力學模型，通過增量諧波平衡法展開得到系統(tǒng)的近似周期解，與數(shù)值法對比驗證增量諧波平衡法的準確性。通過對有時滯和無時滯因素的系統(tǒng)響應分析與對比，不考慮時滯因素的系統(tǒng)是周期運動的；考慮時滯因素的系統(tǒng)幅值隨著時滯增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，其中ε=0.25時系統(tǒng)的加速度均方根值和幅值最小，懸架有更好的衰減振動的能力和舒適性。小范圍內(nèi)時滯的存在確實能減少系統(tǒng)的幅值響應，對舒適性的提高起到促進作用。此外還通過相平面圖對懸架系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析。懸架系統(tǒng)的舒適性受到時滯因素的影響且對系統(tǒng)時滯的變化敏感，結論對系統(tǒng)時滯控制策略的研究具有參考價值。