基于Winkler基體的滾柱絲杠降維接觸模型研究

劉佳 彭航 羅英 張毅雄 朱紫豪 顏達(dá)鵬

摘 要：本文結(jié)合滾柱絲杠傳動(dòng)副結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和赫茲接觸理論，采用降維法快速求解，基于Winkler基體研究了滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸模型;通過自編譯程序分析了一型滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸作用力，進(jìn)行了有限元分析驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法可用于滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸分析，可與赫茲接觸方法相結(jié)合，為進(jìn)一步研究滾柱絲杠傳動(dòng)副傳動(dòng)特性奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：滾柱絲杠傳動(dòng)副;Winkler基體;接觸

中圖分類號(hào)：TH21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2020）08-0011-03

Research on Dimension Reduction Contact Model of Planetary Roller Screw Based on Winkler Foundation

LIU Jia PENG Hang LUO Ying ZHANG Yixiong ZHU Zihao YAN Dapeng

（Science and Technology on Reactor System Design Technology Laboratory in Nuclear Power Institute of China，

Chengdu Sichuan 610041）

Abstract： In this paper， combined with the structural characteristics of the planetary roller screw and Hertz contact theory， the dimension reduction method was adopted to solve the problem quickly， and based on Winkler Foundation， the contact model of the planetary roller screw was studied; the contact force of the planetary roller screw was analyzed by self compiled program， and the finite element analysis was carried out to verify the model. The results show that this method can be used for contact analysis of the planetary roller screw， and it can be combined with Hertz contact method to lay a foundation for further study of transmission characteristics of the planetary roller screw.

Keywords： planetary roller screw;Winkler foundation;contact

滾柱絲杠傳動(dòng)副是一種能將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)換的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)[1]，常見形式如圖1所示。由于應(yīng)用場景不一，該種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的具體結(jié)構(gòu)形式多樣，主要結(jié)構(gòu)特點(diǎn)包括軸向中心的絲杠（具備螺紋升角，直徑一般比滾柱大）以及周向均布的多個(gè)滾柱（具備或不具備螺紋升角，直徑一般比絲杠小，軸向長度較絲杠小）。該種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由瑞典科學(xué)家Carl Bruno Strandgren于20世紀(jì)40年代發(fā)明，已發(fā)展成為一種廣泛應(yīng)用的優(yōu)秀傳動(dòng)裝置。其核心傳動(dòng)部件為滾柱絲杠，每個(gè)滾柱的多個(gè)面與絲杠表面接觸，接觸形式為線接觸。該種接觸形式與大量廣泛應(yīng)用的滾珠絲杠傳動(dòng)副相比，由點(diǎn)接觸變?yōu)榫€接觸，傳動(dòng)性能更為優(yōu)異。

滾柱絲杠傳動(dòng)副的接觸問題一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)和研究的難點(diǎn)，一般常見的分析方法為有限元分析或基于赫茲接觸理論開展分析。赫茲接觸理論及接觸數(shù)值解法對(duì)滾柱絲杠傳動(dòng)副中的線接觸可得到有效解[2]，但一般分析復(fù)雜。根據(jù)彈性力學(xué)基本原理，接觸表面上一法向作用力會(huì)影響該法向力作用點(diǎn)附近區(qū)域。當(dāng)傳動(dòng)副接觸表面作用力為分布力時(shí)，滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸表面上接觸區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的位移不僅僅由作用于該點(diǎn)的法向力大小決定，即接觸表面任一點(diǎn)的位移取決于接觸表面壓力分布。因此，如果僅由滾柱表面與絲杠表面的干涉值求解分析干涉位置的法向接觸力，困難較大。

針對(duì)上述困難，可以采用降維法快速求解[3]，基于Winkler基體將三維接觸映射到一維接觸。Winkler彈性基礎(chǔ)或“墊子”的核心思想是接觸區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的位移僅由作用于該點(diǎn)的法向力大小決定，即接觸表面任一點(diǎn)的位移取決于接觸表面該點(diǎn)處的壓力分布情況。本文將采用基于Winkler基體的降維接觸模型研究滾柱絲杠接觸問題。

1 滾柱絲杠傳動(dòng)副Winkler應(yīng)力模型

傳動(dòng)副接觸時(shí)，每一個(gè)滾柱絲杠接觸面上，滾柱表面軸向方向的接觸長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于垂直該方向的接觸長度，因此截取垂直于滾柱軸向的接觸面為分析曲面，如圖2所示。

[分析截面][絲杠軸截面][滾柱軸截面]

圖2 接觸分析截面

在分析視圖內(nèi)，傳動(dòng)副可互相表示為彈性“墊子”，彈性“墊子”設(shè)置大量無相互作用垂直于接觸表面的彈簧，即忽略傳動(dòng)副內(nèi)各相鄰單元之間的剪切力。模型示意圖所圖3所示。

可建立接觸模型中的傳動(dòng)副接觸法向方向的干涉值與彈性位移的關(guān)系：

[uz=dmax-x22R]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，[uz]為接觸區(qū)域的彈性位移，mm;[dmax]為絲杠與滾柱接觸面中的最大干涉值，也為接觸面對(duì)稱軸處的最大干涉值，mm;x為接觸面與接觸對(duì)稱軸的距離，mm;R為接觸綜合曲率半徑，mm。

其中，接觸區(qū)域邊緣有彈性位移[uz]，大小為0，由此可知：

[b=2R·dmax12]? ? ? （2）

式中，[b]為半接觸寬度，mm。

根據(jù)彈性力學(xué)基本原理可得，接觸范圍內(nèi)任一點(diǎn)的接觸壓力（接觸應(yīng)力）為：

[px=K·uzh]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

式中，[K]為基礎(chǔ)彈性模量或彈簧剛度;[h]為基礎(chǔ)深度。

對(duì)式（3）在接觸范圍內(nèi)進(jìn)行積分，可得接觸軸向方向上單位長度的線接觸力，即

[P=-bbpxdx=Kh-bbdmax-x22Rdx=2Kb33hR]? ? ? ? ? （4）

本模型中的單位長度線接觸力要與基于赫茲理論的分析結(jié)果保持一致，由此可得：

[Kh=3πE*8b]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

因此，傳動(dòng)副接觸范圍內(nèi)任一點(diǎn)接觸應(yīng)力可表示為：

[p=3πE*82R·dmaxuz]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

當(dāng)傳動(dòng)副相對(duì)位置固定時(shí)，式（6）中[dmax]為已知量，并結(jié)合數(shù)值求解方式可得任一點(diǎn)的接觸深度[uz]，即可分析得到任一點(diǎn)的接觸應(yīng)力。

2 滾柱絲杠傳動(dòng)副Winkler接觸力模型

基于接觸點(diǎn)接觸深度與接觸應(yīng)力的關(guān)系，為進(jìn)一步分析滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸狀態(tài)（或干涉深度）與接觸力之間的關(guān)系，考慮在滾柱各齒上齒面選取足夠多具有合適相對(duì)位置的點(diǎn)，并結(jié)合式（1）分析傳動(dòng)副接觸區(qū)域接觸深度，結(jié)合式（6）分析各接觸點(diǎn)接觸應(yīng)力，最后考慮各接觸點(diǎn)所代表的接觸微元區(qū)域面積，求出微元接觸力，再求出當(dāng)前傳動(dòng)副狀態(tài)下的接觸力。

考慮到滾柱為旋轉(zhuǎn)體，以滾柱軸線中心面所在柱坐標(biāo)進(jìn)行分析，選取滾柱接觸面上任一點(diǎn)[Ar，β，z]，且相鄰兩點(diǎn)之間半徑、角度差值為定值[dr、dβ]，因此任一[A]點(diǎn)所表示的面積可表示為：

[ds=r·dr·dβ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

當(dāng)確定傳動(dòng)副相對(duì)位置狀態(tài)時(shí)，接觸力可表示為：

[F=pds=3πE*82R·dmaxuz·dr·dβ]? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

3 滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸力分析

針對(duì)單一接觸面承載約55 N的滾柱絲杠傳動(dòng)副，采用Winkler接觸力模型，通過Matlab編譯程序進(jìn)行傳動(dòng)副接觸力分析。分析得出，最大接觸深度為0.000 12 mm，最大接觸半寬度為0.06 mm，最大接觸應(yīng)力約為270 MPa。與ANSYS軟件接觸靜力學(xué)有限元分析結(jié)果236 MPa對(duì)比分析，誤差為14.4%。

4 結(jié)論

本文采用基于Winkler基體的降維接觸模型及分析方法，研究了滾柱絲杠接觸問題，分析結(jié)果經(jīng)過了有限元分析方法驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法可用于處理滾柱絲杠傳動(dòng)副接觸問題，可與赫茲接觸方法相結(jié)合，為進(jìn)一步研究滾柱絲杠傳動(dòng)副傳動(dòng)特性奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉更，馬尚君，佟瑞庭，等.行星滾柱絲杠副的新發(fā)展及關(guān)鍵技術(shù)[J].機(jī)械傳動(dòng)，2012（5）：107-112.

[2]姚琴，吳立言，劉更，等.行星滾柱絲杠副彈塑性接觸分析[J].機(jī)械傳動(dòng)，2016（11）：106-110.

[3]Popov V L，Hess M.Method of Dimensionality Reduction in Contact Mechanics and Friction[M].Beijing：Tsinghua University Press，2015.