解構(gòu)與重構(gòu)數(shù)學(xué)問題的五分法

姬梁飛

(華中科技大學(xué)，湖北 武漢 430074)

一般地，數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展與應(yīng)用的重要推力。數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的長期漸進(jìn)過程，期間涌現(xiàn)了許多像四色猜想、哥尼斯堡土橋問題等。科學(xué)的解題活動不僅能夠促進(jìn)學(xué)生形成技能、培養(yǎng)能力，而且有助于形成良好的個(gè)性和思維品質(zhì)。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾強(qiáng)調(diào)：在解題過程中，需要善于分離問題的主要部分[1]。開展問題解決活動，如何調(diào)動學(xué)生廣闊的思維和鮮活的經(jīng)驗(yàn)，這需要掌握處理數(shù)學(xué)問題的基本方法。反思人們種種解決數(shù)學(xué)問題的過程和經(jīng)驗(yàn)，會發(fā)現(xiàn)：能夠用快速而簡明的手法剖析、分解、重構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜的問題，然后集中精力解決問題的核心部分和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這是多么的重要！然而，這個(gè)問題在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中似乎并沒有引起重視。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具備對問題進(jìn)行簡捷而有序地轉(zhuǎn)化和分解的本領(lǐng)。加強(qiáng)數(shù)學(xué)問題和思維活動之間的緊密聯(lián)系，掌握處理數(shù)學(xué)問題的基本方法，具備對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和推理能力，這也是數(shù)學(xué)教育應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1 分類討論：聚焦問題的關(guān)鍵特征

面臨錯(cuò)綜復(fù)雜的問題，若去顧及問題的方方面面，一般很難直接處理。但有一點(diǎn)，一切事物均具有其共性和個(gè)性。共性是某類事物具備的普遍性質(zhì)，決定事物的基本性質(zhì)；個(gè)性是某一事物具有的特殊性質(zhì)，揭示事物間的差異。抽離出數(shù)學(xué)問題所研究的數(shù)學(xué)對象，然后依據(jù)其本質(zhì)屬性(共性和個(gè)性)進(jìn)行分類，這樣就可以快速聚焦問題的關(guān)鍵特征。依據(jù)數(shù)學(xué)對象的共性與個(gè)性，可以將某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、運(yùn)算法則等進(jìn)行分類。比如復(fù)數(shù)可以分成實(shí)數(shù)與虛數(shù)，拋物線按照其開口方向可以分成四類，討論函數(shù)單調(diào)性可按自變量取值范圍分成幾種情況等。此外，參變量的不同取值范圍導(dǎo)致的不同結(jié)果、數(shù)學(xué)問題的結(jié)論存在多種可能性等，這些都會導(dǎo)致分類討論。分類的原則要求標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、互斥完備、多層分類、逐級遞次等[2]。

例1 一只小螞蟻E沿著某個(gè)矩形邊框ABCD爬行，它從頂點(diǎn)A出發(fā)，依次經(jīng)過其它三個(gè)頂點(diǎn)，再回到起點(diǎn)A。其中AB=2，BC=1。若m表示小螞蟻E爬行的路程，n表示AE的長度，求m、n之間的關(guān)系。

解析 通過數(shù)學(xué)抽象，易知，研究問題是關(guān)于變量m、n的函數(shù)關(guān)系，依據(jù)研究對象的個(gè)性特征，可將研究對象m進(jìn)行分類，即點(diǎn)E所處的位置或取值范圍，宜分成四類。①若點(diǎn)E在線段AB上，此時(shí)n=m，m∈[0,2]；②若點(diǎn)E在線段BC上，此時(shí)n= 4+(m-2)2，m∈(2,3]；③若點(diǎn)E在線段CD上，此時(shí)n= 1+(5-m)2，m∈(3,5]；④若點(diǎn)E在線段DA上，此時(shí)n=6-m，m∈(5,6]。

數(shù)學(xué)問題的解決一般經(jīng)歷了低級到高級、靜態(tài)到動態(tài)的過程。隨著學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)的不斷豐富，學(xué)生觀察與處理問題的主動性及其能力也在不斷地提升。曹才翰認(rèn)為數(shù)學(xué)教育歸根結(jié)底是一種文化素質(zhì)教育，而動態(tài)性是數(shù)學(xué)素質(zhì)的精髓[3]。培養(yǎng)學(xué)生洞察事物的動態(tài)性、內(nèi)外部聯(lián)系、關(guān)鍵特征以及物化結(jié)構(gòu)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。分類討論方法是研究數(shù)學(xué)對象的共性與差異，通過去粗取精，由表及里，聚焦其關(guān)鍵特征，抓住事物的本質(zhì)及其主要關(guān)系，是推動數(shù)學(xué)問題得到有效解決的利器。

2 分離提取：轉(zhuǎn)換問題的表征視角

人類在實(shí)踐活動中，為了研究事物間的數(shù)量關(guān)系或事物變化規(guī)律，往往需要從量的方面刻畫事物運(yùn)動規(guī)律。當(dāng)事物關(guān)系中涉及多種數(shù)量關(guān)系時(shí)，有必要對事物的量進(jìn)行分離、轉(zhuǎn)化及提取。在數(shù)學(xué)中，常量和變量是表征事物量的一對范疇。從辯證法上看，靜止與運(yùn)動是對立統(tǒng)一的，常量與變量的界定在一定條件或視角下是可以相互轉(zhuǎn)換的。通過對事物量的分離和提取，能夠明晰事物關(guān)系，轉(zhuǎn)換解決問題的視角，從混沌走向簡明。

分離提取法，能夠轉(zhuǎn)換問題的表征視角，常用手法有二種。第一種是分離常量法。將某一整體的量或算式進(jìn)行適當(dāng)分離，從多重變量中抽離出單一變量，化繁為簡。

第二種是分離變量法。函數(shù)是刻畫變量運(yùn)動規(guī)律的一種工具，可以解決許多關(guān)于變量運(yùn)動的問題。但對于游離函數(shù)本身之外的變量，若采用傳統(tǒng)方法未必奏效。分離變量是對函數(shù)思想的深化認(rèn)識。通過分離自變量與參變量，使得參變量游離函數(shù)自變量之外，若mf(x)對x∈R恒成立等價(jià)于m>f(x)max。

例4 若x>0,不等式mx2+(2m-4)x+m0恒成立，求m的取值范圍。

3 分解重組：解構(gòu)問題的變式形式

從哲學(xué)上看，分解與重組既是對原問題的一種批判和否定，又是對原問題的一種改進(jìn)和優(yōu)化。通過打破現(xiàn)有結(jié)構(gòu)形式，應(yīng)用創(chuàng)新手法，從原問題中剝離出部分結(jié)構(gòu)或元素，并將其打碎、分解、放縮、重構(gòu)、模型化等方式處理，使之形成新問題或新形態(tài)。在數(shù)學(xué)中，分解與重組是一種分合法，即問題要素的分開與合并，是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法。這種方法主要圍繞數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵特征、結(jié)構(gòu)形式等進(jìn)行解構(gòu)重組、變式求解。它是明晰、轉(zhuǎn)化問題形式的一種多元化手段，是對原問題和現(xiàn)有設(shè)計(jì)理念的深度思考。

此外，諸如an=Sn-Sn-1(n2),n·n!=(n+1)!-n!，等?？芍^是執(zhí)手分道去，各自還家門。分解重構(gòu)是一種化解數(shù)學(xué)問題的方法，結(jié)合不同問題特點(diǎn)，重構(gòu)手段、變式方法及設(shè)計(jì)方式也是多種多樣，在形式上也是高度自由，不一而足。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解多元化重構(gòu)問題的方式方法，針對不同的主題設(shè)計(jì)出多樣化重構(gòu)方法或變式方法。在這個(gè)過程中，學(xué)生也能夠迸發(fā)更多的變式創(chuàng)意，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂，從而形成自身獨(dú)特的設(shè)計(jì)風(fēng)格和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4 分割入微：建構(gòu)問題的境脈情景

整體與部分是一對哲學(xué)范疇，整體是部分的有機(jī)統(tǒng)一，部分則是整體的構(gòu)成要素，二者相互依存、相互影響及相互轉(zhuǎn)化。這就意味著一切客觀事物都具有統(tǒng)一性和可分性，一切事物的形成過程可分割為若干部分。它的認(rèn)識論意義揭示了深刻理解事物構(gòu)成要素以及通過各要素逐步認(rèn)識整體的重要性。部分與整體的關(guān)系也會受到外部條件的影響，二者關(guān)系也是動態(tài)變化的，處于持續(xù)的運(yùn)動變化過程中。在數(shù)學(xué)中，不僅要把握數(shù)學(xué)問題，還要把握數(shù)學(xué)問題的組成要素、要素間的結(jié)構(gòu)特征與結(jié)合方式。

在科學(xué)的認(rèn)識活動中，分割能夠使問題情境得到入微細(xì)化，建構(gòu)解決問題鏡脈。人們早期計(jì)算圓的面積，就采用了分割法，將圓形分割為盡可能多的小扇形，然后拼接為矩形。矩形的寬為圓的半徑長r,矩形的長b為圓周2πr的一半，那么圓形面積為S=ab=r·πr=πr2。再者，分割法也是不斷逼近目標(biāo)的方法，可以采用分分割法尋求復(fù)雜方程或超越方程的近似解。因此，在數(shù)學(xué)問題中，分割使得原來問題關(guān)系結(jié)構(gòu)中并不明顯的單個(gè)要素變得突出，從部分研究整體，再從整體洞察部分。

由此可見，一方面，部分的分割入微是深入把握整體的基礎(chǔ)，整體的高度把握又能進(jìn)一步深化對部分的認(rèn)識。另一方面，分割法是建構(gòu)問題鏡脈的一種工具，理解數(shù)學(xué)問題的語境文脈，探索數(shù)學(xué)知識的意蘊(yùn)與背景。在教育環(huán)境下，搜索數(shù)學(xué)知識的意義，真正破解知識的“冰冷的美麗”，才能發(fā)揮學(xué)生主體“火熱的思考”[4]，才能將知識轉(zhuǎn)化與生成數(shù)學(xué)能力及素養(yǎng)。

5 分化超越：化解問題的核心方法

在解決問題時(shí)，一方面可將統(tǒng)一的事物分化為若干個(gè)相互獨(dú)立的事物，以此對原問題進(jìn)行瓦解與分裂，強(qiáng)調(diào)分而治之，各個(gè)擊破；另一方面，又可將性質(zhì)不同的事物升華為性質(zhì)相同的新事物，新事物的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、功能等層面超越原事物，發(fā)揮其作為整體的性能，強(qiáng)調(diào)不破不立，革故鼎新。在認(rèn)識世界時(shí)，分化與超越相互影響、相互滲透，不能只見分化不見超越，或只談超越，忽略分化，而是把兩者有機(jī)地結(jié)合起來。

解析 不妨設(shè)x10。這個(gè)函數(shù)就具備了新的功能，它在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的。同時(shí)把待解決問題轉(zhuǎn)換為xg(x)>15，即f(x)>15，其中3f(3)=15。故原不等式的解集為(3,+∞)。通過對問題每個(gè)局部條件的深刻把握，將問題進(jìn)行升華與超越，利用新事物的功能結(jié)構(gòu)解決原有問題。

可見，分化與超越法是應(yīng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)原理或準(zhǔn)則對原問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)所進(jìn)行的調(diào)整、分化、重構(gòu)、超越等系列手法。通過這些可行性的操作，實(shí)現(xiàn)對問題的解析和化解，或設(shè)計(jì)問題重構(gòu)的方案與原則。

綜上所述，數(shù)學(xué)問題是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要?jiǎng)恿?。著名?shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為數(shù)學(xué)主要地是一種方法[5]。通過對數(shù)學(xué)問題的解構(gòu)與重構(gòu)，掌握基本數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣，解決問題的數(shù)學(xué)能力。矛盾分析是解決事物矛盾問題的關(guān)鍵方法，應(yīng)用矛盾分析和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的辦法，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題的鏡脈背景，提煉解決問題的思想方法。通過觀察、猜想、推理、操作等思維活動，掌握分類討論、分離提取、分解重組、分割入微、分化超越等基本技能方法，從而引導(dǎo)學(xué)生深層次地思考問題，多角度地分析和解決問題。