一道考研極限題的多種解法及可視化

王培穎，羅浩源，許清河，趙梓谷，謝紹龍，陳軍羽

(廣東技術(shù)師范大學(xué) 天河學(xué)院，廣東 廣州 510540)

隨著每年考研人數(shù)的增多，考研的競(jìng)爭(zhēng)力也越來(lái)越大?？v觀考研數(shù)學(xué)，極限內(nèi)容占有很大比重，下面以一個(gè)考研題說(shuō)明極限的多種解題思路，并用數(shù)學(xué)軟件驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。

1 方法一：用四次洛必達(dá)法則

大部分同學(xué)會(huì)想到用洛必達(dá)法則，不過(guò)計(jì)算過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，假如基本功不扎實(shí)，容易出錯(cuò)。

2 方法二：用四階麥克勞林公式

結(jié)果完全相同。

3 方法三：用初等函數(shù)的四階麥克勞林公式

由于

4 方法四：用一次洛必達(dá)法則和初等函數(shù)的三階麥克勞林公式

結(jié)果仍然相同。

此題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將余弦函數(shù)單獨(dú)取極限1，導(dǎo)致如下錯(cuò)誤的解法：

5 方法五：用一次洛必達(dá)法則和拉格朗日中值公式

6 方法六：用一次洛必達(dá)法則和和差化積公式[2]

7 M ATLAB驗(yàn)證

在手工計(jì)算中很容易出現(xiàn)差錯(cuò)，設(shè)計(jì)幾個(gè)小程序，用MATLAB的符號(hào)計(jì)算，很容易檢驗(yàn)結(jié)果[3]。

M 1.m

%函數(shù)的極限(用洛必達(dá)中的各階導(dǎo)數(shù))

clear%清除變量

syms x%定義符號(hào)變量

f1=sin(exp(x)-1)%第1個(gè)符號(hào)函數(shù)

df1=diff(f1)%第1個(gè)符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

d2f1=diff(f1,2)%2階導(dǎo)數(shù)

d3f1=diff(f1,3)%3階導(dǎo)數(shù)

d4f1=diff(f1,4)%4階導(dǎo)數(shù)

L1=subs(d4f1,x,0)%4階導(dǎo)數(shù)的值

f2=exp(sin(x))-1%第2個(gè)符號(hào)函數(shù)

df2=diff(f2)%第2個(gè)符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

d2f2=diff(f2,2)%2階導(dǎo)數(shù)

d3f2=diff(f2,3)%3階導(dǎo)數(shù)

d4f2=diff(f2,4)%4階導(dǎo)數(shù)

L2=subs(d4f2,x,0)%4階導(dǎo)數(shù)的值

L=(L1-L2)/3^4/factorial(4)%極限

執(zhí)行程序，可以檢查公式(4a)~(4e)的正確性，再檢查公式(5a)~(5e)的正確性，最后檢查極限的正確性

圖1

8 結(jié)論

采用多種方法求極限，是很好的思維訓(xùn)練，而用麥克勞林公式比較通用，學(xué)好麥克勞林公式可以更快速地求解極限問(wèn)題。此題采用一次洛必達(dá)法則與和差化積公式最為簡(jiǎn)單，并且用MATLAB軟件驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。數(shù)學(xué)有一種“數(shù)形結(jié)合”學(xué)習(xí)方法，有些考研題目很難理解，MATLAB具有強(qiáng)大的繪圖功能，可以將圖形畫(huà)出來(lái)，幫助學(xué)生理解，提高學(xué)習(xí)效率。