水中懸臂圓柱附連水質(zhì)量的簡化計(jì)算方法1)

于 越 歐億鵬 劉 哲 李遇春

(同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院水利工程系，上海200092)

工程中存在大量浸入水中的圓柱結(jié)構(gòu)，例如：碼頭、海洋工程中鉆井平臺等等，這些圓柱結(jié)構(gòu)在地震、風(fēng)載荷以及波浪等動力載荷作用下會發(fā)生振動，結(jié)構(gòu)的振動與流體會發(fā)生相互作用。從結(jié)構(gòu)動力學(xué)與流體動力學(xué)的基本方程出發(fā)，對流體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行耦聯(lián)振動分析將是一個極為復(fù)雜的計(jì)算過程，從工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)考慮，一般只需考慮水體對結(jié)構(gòu)的動力影響即可，通常并不關(guān)注水體如何運(yùn)動。現(xiàn)行《水運(yùn)工程抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]給出了地震作用下水下結(jié)構(gòu)物動水壓力的計(jì)算方法，但當(dāng)其他動力載荷(如風(fēng)載荷)作用時，無法采用動水壓力的方法來計(jì)算水體對結(jié)構(gòu)的影響，動水壓力的方法也不便于計(jì)算結(jié)構(gòu)浸入水中的頻率(濕頻率)。因而在結(jié)構(gòu)與流體的相互作用分析中，還有一種方法是將流體對結(jié)構(gòu)的動力影響歸結(jié)為附加在結(jié)構(gòu)上的質(zhì)量，這個質(zhì)量稱為“附連水質(zhì)量”(added water mass)。如果一個固體結(jié)構(gòu)部分或完全浸入水中，它的動力響應(yīng)將不同于它在空氣(或真空)中的響應(yīng)，這種現(xiàn)象是由包裹在加速運(yùn)動結(jié)構(gòu)周邊上的水體慣性導(dǎo)致的，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)表面附加了一層水質(zhì)量，由此而產(chǎn)生的效應(yīng)稱為附連水質(zhì)量效應(yīng)。這種附連水質(zhì)量效應(yīng)在許多水中結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究中得到了廣泛的研究[2-4]。附連水質(zhì)量方法就是將附連水質(zhì)量效應(yīng)等效為附加在結(jié)構(gòu)表面上的質(zhì)量，研究附加質(zhì)量的大小與分布，這種方法可以方便地計(jì)算結(jié)構(gòu)浸入水中的濕頻率，且適用于任何動力載荷作用下的響應(yīng)計(jì)算，簡單實(shí)用，特別適合于工程計(jì)算。

對于工程中常見的水中圓柱結(jié)構(gòu)而言，Liaw等[5]和Chopra 等[6]分析了水中懸臂圓柱在地震激勵下的動力響應(yīng)，提出了水平地震作用下計(jì)算圓柱結(jié)構(gòu)動水附加質(zhì)量的方法；徐漢忠[7]采用附連水質(zhì)量方法得到了水中懸臂梁的自振頻率的簡便計(jì)算公式；王和慧等[8]采用附連水質(zhì)量方法研究了水中圓錐形柱腿的濕模態(tài)特性。以上的研究均是針對柱體全部浸入水中的情形。當(dāng)柱體部分浸入水中時，張邵文等[9]研究了水中懸臂結(jié)構(gòu)振動與水動力特性，給出了附連水的質(zhì)量分布，但附連水質(zhì)量分布的計(jì)算比較復(fù)雜，不便應(yīng)用于工程計(jì)算。

本文將主要研究水中圓柱附連水質(zhì)量的簡化計(jì)算方法，采用解析方法研究圓形懸臂柱結(jié)構(gòu)在部分浸入水中的附連水質(zhì)量分布，給出無量綱的質(zhì)量分布系數(shù)，通過對質(zhì)量分布系數(shù)的數(shù)值擬合計(jì)算，將附連水質(zhì)量效應(yīng)等效為浸入水中結(jié)構(gòu)的質(zhì)量密度，采用試驗(yàn)方法研究部分浸入水中的懸臂柱的濕頻率，將理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析，理論和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證附連水質(zhì)量方法。

1 圓形懸臂柱受液體作用的運(yùn)動方程

如圖1 所示，固支在地面上的等圓截面彈性懸臂柱，柱長為L，截面半徑為R，柱材料彈性模量為E，質(zhì)量密度為ρs，該懸臂柱部分浸入水中，假定水區(qū)域在xoy平面內(nèi)無限大，水深為H，水的質(zhì)量密度為ρL，設(shè)柱水系統(tǒng)承受地面運(yùn)動作用，設(shè)地面加速度與速度分別為¨Gx(t)及˙Gx(t) (假設(shè)向右為正)。

圖1 懸臂柱周邊受無窮水域作用

如圖1，將坐標(biāo)oxz固定在柱底部固支端，發(fā)生地面運(yùn)動時，oxz坐標(biāo)系相當(dāng)于牽連坐標(biāo)系，而固定坐標(biāo)o′x′z′(未在圖中顯示)在無窮遠(yuǎn)的非地震區(qū)。設(shè)柱振動的橫向位移為u=u(z,t)，其振動方程可以寫為[10]

式中，A=πR2為柱的截面面積；?Fd|r=R表示作用在柱外表面上的分布動水壓力，方向向左(為負(fù))；?ρsA¨Gx(t)表示分布地震慣性力作用，方向與地動加速度方向相反。懸臂柱的邊界條件為

式(2)表明懸臂柱在固支端(z= 0)的位移與轉(zhuǎn)角為零，在自由端(z=H)的剪力與彎矩為零。柱的自由振動方程為

設(shè)水體在柱坐標(biāo)(r,θ,z)下的速度勢函數(shù)為Φ=Φ(r,θ,z,t)，因此v=?Φ表示水體的絕對速度，水體的運(yùn)動滿足下列的Laplace方程及邊界條件[11]

式(5)表示液體在剛性地面上的法向速度為零；式(6)忽略了自由表面波的影響，由于這里主要研究柱的振動問題，柱的振動頻率遠(yuǎn)高于液體自由表面的晃動頻率，所以液體自由表面的晃動對柱振動影響可忽略不計(jì)；式(7)表明液體的局部擾動對無窮遠(yuǎn)的影響為零；式(8)表明在柱液交接面上，水體在柱外表面上的法向速度應(yīng)與柱在該方向的速度相同。水中的液動壓力為

水體與柱結(jié)構(gòu)通過式(3)，式(8)與式(9)發(fā)生耦合，于是作用在柱上的單位長度上的液動力Fd|r=R可以表達(dá)為

2 柱的濕模態(tài)方程

自由振動分析時，設(shè)柱液體系統(tǒng)的自由振動解為

式中，ω為柱的耦聯(lián)振動頻率；w(z)及φ(r,θ,z)分別為柱結(jié)構(gòu)位移及液體速度勢的幅值函數(shù)(或振型函數(shù))。將式(11)分別代入式(1)～式(8)，通過一系列推導(dǎo)，得柱結(jié)構(gòu)滿足的方程為

式(12)為懸臂柱濕頻率ω與濕振型w(z)所滿足的帶有積分的微分方程，求解式(12)就可得到懸臂柱結(jié)構(gòu)的濕模態(tài)。

3 懸臂柱的附連水質(zhì)量分布

由式(12)可以發(fā)現(xiàn)，方程第二項(xiàng)方括號中的ρsA表示懸臂柱自身的線質(zhì)量分布，后面一項(xiàng)代表了水體對柱的線質(zhì)量貢獻(xiàn)，于是懸臂柱在水深區(qū)間[0,H]內(nèi)的附連水質(zhì)量分布可以表示為

由式(13)可知，附連水質(zhì)量分布與柱的濕振型函數(shù)w(z)有關(guān)。懸臂柱的一階振型函數(shù)在一般結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中起到最重要的作用，作為近似計(jì)算，一般僅取一階振型就可獲得比較滿意的結(jié)果。以下僅考慮一階濕振型函數(shù)w1(z)所對應(yīng)的附連水質(zhì)量分布。Mciver 等[4]的計(jì)算表明：懸臂柱在水中的一階濕振型函數(shù)與其在空氣中的干振型函數(shù)相同，因此可采用懸臂柱一階干振型函數(shù)來近似替代w1(z)，根據(jù)文獻(xiàn)[4]，w1(z) 可以近似表達(dá)為其中(0ξH/L)，r1=H/L，r2=R/H，則式(13)可以重寫為

式中

顯然I(ξ)為一個無量綱的質(zhì)量分布函數(shù)。以下根據(jù)式(16)計(jì)算懸臂圓柱在水中的附連水質(zhì)量分布I(ξ)。

算例 柱長度L=0.26 m，直徑R=0.003 m，柱材料密度ρs= 2897 kg/m3，水深變化范圍H= 0.02～0.26 m，現(xiàn)將H= 0.06 m，0.16 m，0.24 m 三個水深的I(ξ)分布結(jié)果繪成圖2 所示，從圖2 中可以發(fā)現(xiàn)，在幾乎整個水深H的范圍內(nèi)I(ξ)≈0.009 0，在水面附近(ξ=z/L ≈H/L)的很小的范圍內(nèi)迅速減小，圖2(a)，(b)，(c)中I(ξ)分別減小到2.760×10?7，5.289×10?7及6.657×10?7，在懸臂柱根部附近(ξ=z/L ≈0)的很小范圍內(nèi)I(ξ)的值迅速增大，圖2(a)，(b)，(c)中I(ξ)分別增大到21.115，3.822及1.386。對于懸臂柱而言，在其根部及頂部很小范圍內(nèi)附連水質(zhì)量的增加及減小對懸臂柱結(jié)構(gòu)的動力特性以及動力響應(yīng)的影響很小，所以在水深范圍內(nèi)均可近似取I(ξ)≈0.009 0。其他更多的算例顯示了與本算例相同的情形。

圖2 柱水中的附連水質(zhì)量分布I(ξ)

從以上算例可以發(fā)現(xiàn)，對于一般常見柱而言，其無量綱的質(zhì)量分布函數(shù)在水深范圍內(nèi)可近似取為一個常數(shù)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)與半徑R成正比，與柱長L成反比，與水深度H無關(guān)，根據(jù)更多數(shù)值擬合分析，可以近似表達(dá)為根據(jù)式(17)，在水深H范圍內(nèi)，附連水質(zhì)量分布可以表達(dá)為

設(shè)柱在水深范圍內(nèi)的等效質(zhì)量密度為ρeq，將式(17)代入式(18)，柱的線密度λ可以寫為

于是柱的等效質(zhì)量密度可以表達(dá)為

在水深范圍內(nèi)，可以通過將柱的等效質(zhì)量密度代替原始密度來考慮液體的附連水質(zhì)量影響，這樣附連水質(zhì)量的計(jì)算問題就得到大大簡化。

海洋工程中通常還會采用空心鋼柱結(jié)構(gòu)，其附連水質(zhì)量效應(yīng)將會更大。當(dāng)懸臂柱為空心管時，設(shè)管外半徑為R，內(nèi)半徑為RI，根據(jù)以上的推導(dǎo)，鋼管的線密度λ可表示為

因此鋼管的等效質(zhì)量密度可以按下式估算

4 附連水質(zhì)量分布(等效密度)的試驗(yàn)驗(yàn)證

以下采用三根不同的圓形懸臂柱模型，模型材料的尺寸與質(zhì)量密度見表1，通過測量模型柱的干頻率可分別得到三個模型柱的彈性模量(列于表1)。如圖3 所示，將懸臂柱浸入不同深度的水中，采用人工激振的方法，激發(fā)出懸臂柱的自由振動，通過激光位移傳感器測量懸臂柱頂端的自由振動位移響應(yīng)，并通過數(shù)據(jù)采集儀將試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集到計(jì)算機(jī)中，采用FFT變換的方法處理位移響應(yīng)數(shù)據(jù)，可容易得到懸臂柱的一階自振濕頻率。

表1 圓截面懸臂柱參數(shù)表

采用以上附連水質(zhì)量理論所得到的簡化方法，將浸入水中的柱段密度按等效密度公式(20) 計(jì)算ρeq≈ρs+ρL，空氣中的柱段密度取為ρs，采用Midas Civil軟件可容易計(jì)算其一階自振頻率，將附連水簡化計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)得到的測量值表示于圖4 中，由圖4可以看出，理論結(jié)果與試驗(yàn)值吻合得非常好，表明本文計(jì)算方法可很好地描述懸臂柱的附連水質(zhì)量效應(yīng)。

圖3 水中懸臂柱濕頻率的測量原理圖

圖4 L1，L2，L3 實(shí)測頻率與簡化附連水理論頻率

5 結(jié)論

本文采用解析方法研究了工程中常見的圓形懸臂柱部分浸入水中的附連水質(zhì)量分布，研究結(jié)果表明，在水深范圍內(nèi)，可以通過將柱的等效質(zhì)量密度代替原始密度來考慮液體的附連水質(zhì)量效應(yīng)，本文采用試驗(yàn)方法研究了部分浸入水中的懸臂柱的濕頻率，附連水簡化計(jì)算得到的濕頻率與試驗(yàn)得到的測量值吻合很好，表明本文計(jì)算公式能很好地描述附連水的質(zhì)量效應(yīng)，本文的計(jì)算方法可簡化附連水質(zhì)量的計(jì)算問題。