網(wǎng)格失配下MIMO-STAP稀疏字典構(gòu)造方法

何 團(tuán)，唐 波，張 進(jìn)，張 玉

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術(shù)[1]是用于機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)在雜波背景下檢測(cè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的關(guān)鍵技術(shù)。STAP技術(shù)的關(guān)鍵是獲取待檢測(cè)距離單元精確的雜波協(xié)方差矩陣。根據(jù)RMB(Reed-Mallett-Brennan)準(zhǔn)則[2]，要使估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣帶來(lái)的雜波抑制性能損失小于3 dB，所需獨(dú)立同分布訓(xùn)練樣本數(shù)至少為2倍系統(tǒng)自由度。然而，實(shí)際環(huán)境中雜波分布往往是非均勻的，使得用于估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣的訓(xùn)練樣本數(shù)很難滿(mǎn)足要求。近年來(lái)，稀疏恢復(fù)技術(shù)被應(yīng)用到STAP中，只需少量訓(xùn)練樣本即可實(shí)現(xiàn)雜波譜的精確恢復(fù)[3-4]。而多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達(dá)STAP技術(shù)因其能夠?qū)崿F(xiàn)更好的性能[5-6]，稀疏恢復(fù)技術(shù)也慢慢擴(kuò)展到了MIMO雷達(dá)中。

稀疏字典對(duì)稀疏恢復(fù)技術(shù)至關(guān)重要，但傳統(tǒng)的稀疏字典還存在網(wǎng)格失配問(wèn)題。當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者針對(duì)網(wǎng)格失配問(wèn)題，提出了很多有效的算法。文獻(xiàn)[7]指出為減小網(wǎng)格失配影響，一種比較直接的方法就是增加網(wǎng)格的數(shù)量，但網(wǎng)格數(shù)過(guò)密集會(huì)使得計(jì)算復(fù)雜度顯著增加，且會(huì)導(dǎo)致鄰近導(dǎo)向矢量相關(guān)性過(guò)高，恢復(fù)精度急劇下降。文獻(xiàn)[8]結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)探索了正側(cè)視和非正側(cè)視條件下的多普勒網(wǎng)格間距調(diào)整問(wèn)題，該方法通過(guò)雜波脊線(xiàn)的關(guān)系式能夠?qū)W(wǎng)格寬度進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)[9]提出了一種參數(shù)尋優(yōu)正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法用來(lái)估計(jì)網(wǎng)格失配，通過(guò)在局部范圍內(nèi)搜尋最優(yōu)參數(shù)找到與真實(shí)導(dǎo)向矢量最匹配的原子。文獻(xiàn)[10]提出了基于局部搜索OMP的網(wǎng)格失配STAP算法，該算法先從全局找到與真實(shí)導(dǎo)向矢量最匹配的原子，然后再?gòu)木植孔值渲兴阉髯顑?yōu)原子。

目前，針對(duì)網(wǎng)格失配問(wèn)題提出的方法都是在網(wǎng)格失配的基礎(chǔ)上，盡力減小網(wǎng)格失配的影響，都沒(méi)能從字典源頭上直接避免網(wǎng)格失配問(wèn)題的產(chǎn)生。因此，本文直接從字典源頭出發(fā)，針對(duì)MIMO-STAP稀疏方法求解雜波譜時(shí)存在的網(wǎng)格失配問(wèn)題，提出了一種字典構(gòu)造方法。

1 雜波譜稀疏恢復(fù)問(wèn)題建模

1.1 MIMO雷達(dá)雜波信號(hào)模型

圖1為機(jī)載MIMO雷達(dá)正側(cè)視條件下的幾何模型[11]，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角，Φ為線(xiàn)陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角；V為載機(jī)速度，h為載機(jī)距離地面的高度。

圖1 機(jī)載MIMO雷達(dá)幾何模型Fig.1 Geometric model of airborne MIMO radar

設(shè)均勻線(xiàn)陣體制下機(jī)載MIMO雷達(dá)天線(xiàn)發(fā)射的各波形滿(mǎn)足正交關(guān)系,通過(guò)匹配濾波,可以在接收端分離出各個(gè)發(fā)射陣元信號(hào)。發(fā)射陣元個(gè)數(shù)為M，接收陣元個(gè)數(shù)為N。1個(gè)相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內(nèi)發(fā)射K個(gè)脈沖，脈沖重復(fù)頻率為fr，工作波長(zhǎng)為λ；發(fā)射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問(wèn)題，假定dr=λ/2)。

設(shè)φl(shuí)為第l個(gè)距離環(huán)的俯仰角，將第l個(gè)距離環(huán)均勻切分為Nc個(gè)雜波塊，θp為第p個(gè)雜波塊的方位角。雜波塊的空間頻率為fs，多普勒頻率為fd，則對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量為：

v(fd,fs) =vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式(1)中， ?表示Kronecker積，vt為發(fā)射導(dǎo)向矢量，vr為接收導(dǎo)向矢量，vd為時(shí)域?qū)蚴噶?。發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs… ej2π(M-1)γfs]T

(2)

vr(fs)=[1 ej2πfs… ej2π(N-1)fs]T

(3)

其中，γ為發(fā)射陣元間距與接收陣元間距之比；空間頻率fs與θp、φl(shuí)關(guān)系式為：

fs(θp,φl(shuí)) =drcosθpcosφl(shuí)/λ

(4)

時(shí)域?qū)蚴噶繛椋?/p>

vd(fd)=[1 ej2πfd… ej2π(K-1)fd]T

(5)

多普勒頻率fd與θp、φl(shuí)的關(guān)系式為：

fd(θp,φl(shuí))=2Vcos(θp)cosφl(shuí)/(λfr)

(6)

正側(cè)視條件下，雜波脊線(xiàn)各點(diǎn)的多普勒頻率與空間頻率之比為定值，該比值被稱(chēng)為折疊系數(shù)，可由以下式子求得：

(7)

式(7)中，V、dr、fr都可由先驗(yàn)知識(shí)精確得到，故折疊系數(shù)β可被精確估計(jì)。

則第l個(gè)距離單元的雜波信號(hào)可表示為：

(8)

式(8)中，σp為第p個(gè)雜波塊的回波幅度，v(fd,p,fs,p)為第p個(gè)雜波塊的空時(shí)導(dǎo)向矢量。

1.2 雜波協(xié)方差矩陣的求解

雜波分布在空時(shí)二維平面上具有稀疏性[4]，可由超完備字典近似表示為：

(9)

式(9)中，v(fd, i,fs, j)表示空時(shí)二維平面上空間頻率為fs, j，多普勒頻率為fd, i時(shí)所對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量，σi,j為其幅度值；ψ為稀疏恢復(fù)使用的字典矩陣；σ為待求的稀疏參數(shù)矢量。

一般情況下，稀疏恢復(fù)的目的就是確定σ，則稀疏恢復(fù)問(wèn)題最終可表示為：

(10)

式(10)中，y為不含目標(biāo)信號(hào)的觀測(cè)信號(hào)矢量，ε為噪聲帶來(lái)的誤差閾值。

在求得稀疏參數(shù)矢量σ后，即可求得雜波空時(shí)功率譜為：

P=σ⊙σ*

(11)

在求得P后，雜波協(xié)方差矩陣可估計(jì)為：

(12)

2 克服網(wǎng)格失配的字典構(gòu)造

2.1 傳統(tǒng)字典缺點(diǎn)分析

如圖2所示，一般情況下，為獲得稀疏恢復(fù)所需的傳統(tǒng)字典，需將整個(gè)空時(shí)二維平面網(wǎng)格化，將所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量取出組成字典。設(shè)Q=NM，將fs和fd分別離散化為Ns格和Nd格，其中Ns=ρsQ，Nd=ρdK，ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數(shù)，超完備字典ψ的大小取決于ρs和ρd。目前ρs和ρd尚沒(méi)有明確的最優(yōu)值，只能結(jié)合具體問(wèn)題給出經(jīng)驗(yàn)化的取值。

圖2 傳統(tǒng)字典Fig.2 Traditional dictionary

對(duì)于MIMO-STAP，為了確保傳統(tǒng)字典空間頻率和多普勒頻率取值范圍將整個(gè)雜波脊線(xiàn)覆蓋，字典的空間頻率范圍應(yīng)滿(mǎn)足：

(13)

式(13)中，fs max、fs min為空間頻率可取的最大值和最小值。

字典的多普勒頻率范圍應(yīng)滿(mǎn)足：

(14)

式(14)中，fd max、fd min為多普勒頻率可取的最大值和最小值。

空時(shí)二維平面橫坐標(biāo)為多普勒頻率，其單位長(zhǎng)度為：

Δfd=(fd max-fd min)/Nd

(15)

縱坐標(biāo)為空間頻率，其單位長(zhǎng)度為：

Δfs=(fs max-fs min)/Ns

(16)

則傳統(tǒng)字典的原子集合可表示為：

S={v(mΔfd,nΔfs)|m=0,±1,…,±Nd/2
n=0,±1,…,±Ns/2}

(17)

稀疏恢復(fù)技術(shù)在構(gòu)建MIMO-STAP完備字典時(shí)，一般假定離散化后的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與雜波脊線(xiàn)完全對(duì)準(zhǔn)。然而實(shí)際情況下，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與雜波脊線(xiàn)一般并不能完全對(duì)準(zhǔn)，這就是網(wǎng)格失配問(wèn)題。網(wǎng)格失配一般有兩種情況：1)正側(cè)視條件下雜波脊線(xiàn)的斜率不等于Δfs和Δfd之比；2)非正側(cè)視條件下雜波脊線(xiàn)為橢圓曲線(xiàn)，橢圓雜波脊線(xiàn)與網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)存在偏移。

因?yàn)榉钦齻?cè)視條件下網(wǎng)格失配問(wèn)題很難有效解決，且一般機(jī)載雷達(dá)都在正側(cè)視條件下進(jìn)行目標(biāo)探測(cè)，故本文只考慮解決正側(cè)視條件下的網(wǎng)格失配問(wèn)題。

如圖3所示，在正側(cè)視條件下，Δfs和Δfd的比值剛好等于雜波脊線(xiàn)斜率時(shí)，雜波脊線(xiàn)可以很好地定位在網(wǎng)格上，此時(shí)不存在網(wǎng)格失配，比如雜波脊線(xiàn)l1。當(dāng)Δfs和Δfd的比值不等于雜波脊的斜率時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格失配問(wèn)題，比如雜波脊線(xiàn)l2。網(wǎng)格失配是目前傳統(tǒng)字典存在的一個(gè)較大的問(wèn)題。為了解決此問(wèn)題，需要探尋新的字典構(gòu)造方法。

圖3 正側(cè)視條件下網(wǎng)格失配示意圖Fig.3 Schematic diagram of off-grid in side-looking case

2.2 網(wǎng)格失配字典構(gòu)造方法

正側(cè)視條件下，雜波脊線(xiàn)為一條直線(xiàn)，其斜率為：

k=1/β

(18)

折疊系數(shù)β可由先驗(yàn)知識(shí)精確得到，故斜率k也可精確得到。

如圖4所示，沿雜波脊線(xiàn)方向及其垂直方向可形成多個(gè)網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格大小完全相同。設(shè)雜波脊線(xiàn)方向網(wǎng)格數(shù)為K1(K1為偶數(shù))，雜波脊線(xiàn)垂直方向網(wǎng)格數(shù)為K2(K2為偶數(shù))。一般來(lái)說(shuō)，為保證恢復(fù)精度，K1取值相對(duì)要大，K2取值需要根據(jù)具體稀疏方法而定。如果稀疏算法只有在原子數(shù)較大的條件下才能獲得較好的恢復(fù)性能，則K2取值不宜過(guò)小。反之，如果稀疏算法在原子數(shù)較小的情況下也能獲得較好的恢復(fù)性能，則K2可取較小值，此時(shí)使用該字典在保證恢復(fù)精度的同時(shí)，還能極大地提升運(yùn)算效率。因?yàn)榭紤]到本文字典需要對(duì)所有稀疏方法具有普適性，所以直接設(shè)定K1與K2相等。

圖4 網(wǎng)格失配字典構(gòu)造Fig.4 Off-grid dictionary construction

對(duì)于單個(gè)網(wǎng)格，a，b為兩基向量，基向量a與雜波脊線(xiàn)方向一致，基向量b與雜波脊線(xiàn)方向垂直。不同倍數(shù)的基向量相互組合可擴(kuò)展成多個(gè)向量，所有向量的空時(shí)二維坐標(biāo)值即可組成能克服網(wǎng)格失配的字典的空時(shí)二維坐標(biāo)值。

基向量a，b分別為：

(19)

(20)

其中，d1，d2分別為a，b的模值，也就是單個(gè)網(wǎng)格的長(zhǎng)、寬值。

設(shè)雜波脊線(xiàn)總長(zhǎng)度為dmax，則

(21)

則基向量a的模值為：

d1=dmax/K1

(22)

基向量b的模值d2可根據(jù)實(shí)際雜波展寬程度確定，一般d2取值較小。尤其是非理想因素造成雜波展寬時(shí)，較小的d2可以提升雜波譜的恢復(fù)精度。

在確定兩個(gè)基向量模值后，不同倍數(shù)的a，b進(jìn)行組合可得到多個(gè)向量，具體表示為：

m·a+n·b

(23)

其中，

m=0，±1，…，±K1/2

(24)

n=0，±1，…，±K2/2

(25)

向量(m·a+n·b)對(duì)應(yīng)的空間頻率為：

(26)

多普勒頻率為：

(27)

則字典原子的空時(shí)二維坐標(biāo)為：

(28)

當(dāng)m，n取遍所有值時(shí)，即可得到本文字典所有的空時(shí)二維坐標(biāo)值。

還值得注意的是，本文字典空間頻率和多普勒頻率的范圍肯定會(huì)大于傳統(tǒng)字典。而過(guò)大的頻率范圍會(huì)對(duì)算法恢復(fù)性能產(chǎn)生影響，為了保證字典的性能，需要對(duì)字典進(jìn)行削減。

如圖5所示，直接將虛線(xiàn)框內(nèi)的原子取出組成最終字典，即將空時(shí)二維坐標(biāo)(fd,fs)同時(shí)滿(mǎn)足以下式子的原子取出組成最終字典。

(29)

圖5 削減字典Fig.5 Cut back on dictionary

通過(guò)對(duì)網(wǎng)格失配字典的削減即可使得其空間頻率和多普勒頻率取值范圍不超過(guò)傳統(tǒng)字典，從而保證稀疏恢復(fù)的精度。

構(gòu)造克服網(wǎng)格失配字典的步驟可總結(jié)如下：

1) 根據(jù)機(jī)載先驗(yàn)信息，確定各種參數(shù)，由參數(shù)確定折疊系數(shù)β；

2) 確定基向量a，b兩個(gè)方向的網(wǎng)格數(shù)K1，K2，并確定基向量a，b的模值d1，d2；

3) 找到所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，確定所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的空時(shí)坐標(biāo)值，根據(jù)這些空時(shí)坐標(biāo)值獲得空時(shí)導(dǎo)向矢量，將所有空時(shí)導(dǎo)向矢量取出。

4) 削減所得空時(shí)導(dǎo)向矢量集合的范圍，從而得到可有效解決網(wǎng)格失配的字典。

3 仿真分析

均勻線(xiàn)陣體制下的機(jī)載MIMO雷達(dá)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

本節(jié)將對(duì)傳統(tǒng)字典和本文字典在網(wǎng)格失配條件下的性能進(jìn)行比較。傳統(tǒng)字典ρs取2，ρd取4，即Ns取32，Nd取32。為了比較的公平性，本文字典K1、K2都取32，d2與d1取相同值。

3.1 字典網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布圖

為直觀認(rèn)識(shí)傳統(tǒng)字典和本文字典的原子分布，本小節(jié)將β取0.7時(shí)兩種字典的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布圖進(jìn)行展示。由圖6可以看出，當(dāng)β取0.7時(shí)，雜波脊線(xiàn)不能很好地定位在傳統(tǒng)字典網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，網(wǎng)格失配問(wèn)題十分明顯。而雜波脊線(xiàn)卻能很好地定位在本文字典網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，不存在網(wǎng)格失配問(wèn)題。

圖6 字典網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布圖Fig.6 The distribution diagram of dictionary grid node

3.2 輸出SINR比較

為比較傳統(tǒng)字典和本文字典對(duì)各稀疏算法雜波譜恢復(fù)精度的影響，采用輸出信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise-Ratio, SINR)作為衡量基準(zhǔn)。SINR(無(wú)有源干擾時(shí))定義為輸出信號(hào)與輸出雜波加噪聲信號(hào)能量的比值，具體表示為：

(30)

式(30)中，vt為目標(biāo)信號(hào)矢量，R為雜波協(xié)方差矩陣與噪聲協(xié)方差矩陣之和。

考慮三種場(chǎng)景來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境:1)理想情況下，每個(gè)訓(xùn)練樣本的雜波信號(hào)獨(dú)立生成，雜波塊的復(fù)振幅為滿(mǎn)足復(fù)高斯分布的獨(dú)立隨機(jī)變量；2)存在時(shí)域非理想因素，主要考慮雜波內(nèi)部起伏，采用Ward提出的雜波內(nèi)部起伏模型[8]。模型的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)服從以下分布:

(31)

式(31)中，T為脈沖重復(fù)周期，σv為速度標(biāo)準(zhǔn)偏移量，設(shè)置為0.2。3)存在空域非理想因素，主要考慮角度獨(dú)立的陣列誤差。假設(shè)陣列誤差的幅度和相位均為窄帶模型[8]，且幅度誤差和相位誤差分別服從以下均勻分布:

(32)

(33)

設(shè)置Δea為0.01，Δep為1°。

圖7中每張圖都包括SBL和LIKES兩種算法分別使用傳統(tǒng)字典和本文字典的輸出SINR曲線(xiàn)。在理想條件下SBL、LIKES算法使用本文字典的輸出SINR性能要遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)字典。在雜波內(nèi)部起伏和陣列誤差條件下，SBL、LIKES算法使用本文字典的輸出SINR性能依舊要優(yōu)于傳統(tǒng)字典。因此，不論是在哪種條件下，存在網(wǎng)格失配時(shí)，SBL、LIKES算法使用本文字典的輸出SINR性能都要優(yōu)于傳統(tǒng)字典。

圖7 不同條件下輸出SINR比較Fig.7 Comparison of the output SINR under different conditions

4 結(jié)論

本文提出了一種網(wǎng)格失配條件下MIMO-STAP稀疏字典構(gòu)造方法。該方法利用先驗(yàn)知識(shí)確定正側(cè)視條件下的雜波脊線(xiàn)，然后沿雜波脊線(xiàn)方向及其垂直方向形成網(wǎng)格，將網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)空時(shí)導(dǎo)向矢量取出組成并將空間頻率和多普勒頻率超出最大取值范圍的原子去除以得到最終的字典。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文字典能夠有效克服網(wǎng)格失配問(wèn)題，網(wǎng)格失配條件下稀疏算法使用本文字典的輸出SINR性能要遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)字典。